Einige Erläuterungen und Kommentare zum ¨Ubungsblatt 3

Einführung in die mathematische Behandlung der Naturwissenschaften
SS 2004
Einige Erläuterungen und Kommentare zum Übungsblatt 3
36) a) Wir können die Aufgabe mit zwei Methoden anpacken.
Methode 1: Wir unterscheiden die einzelnen Zwiebeln: R1 , R2 , R3 , W1 , W2 , W3 . Dann gibt es
6! = 720 Möglichkeiten, diese Zwiebeln nebeneinander zu setzen. Günstig sind die Fälle
R1 R2 R 3 W 1 W 2 W 3 , W 1 R1 R2 R3 W 2 W 3 , W 1 W 2 R 1 R 2 R3 W 3 , W 1 W 2 W 3 R1 R 2 R 3 ,
sowie die davon abgeleiteten Anordnungen, die man erhält, wenn man die roten und die
weissen Zwiebeln jeweils unter sich vertauscht. Dies geht jeweils auf 3! = 6 Arten, die beliebig
untereinander kombiniert werden können. Zusammen mit den 4 “Grundtypen” erhalten wir
4 · 6 · 6 = 144 günstige Fälle. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist also = 144/720 = 0.2.
Methode 2: (einfacher) Wir unterscheiden die einzelnen Zwiebeln nicht und konzentrieren
uns
6
auf die Plätze, die rot oder weiss belegt werden. Aus den 6 Plätzen können wir auf 3 = 20
Arten die Plätze für “rot” auswählen. Günstig sind dann die 4 Fälle
RRRW W W, W RRRW W, W W RRRW, W W W RRR.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt also 4/20 = 0.2 (wie vorher).
b) Methode 2: Von den 20 möglichen Farbenverteilungen sind 2 günstig:
RW RW RW, W RW RW R. Die Wahrscheinlichkeit beträgt 2/20 = 0.1. (Methode 1 geht
natürlich auch!)
37) Es gibt 50
Möglichkeiten, aus 50 Artikeln 5 auszuwählen. Wir berechnen die Gegen5
wahrscheinlichkeit: Es gibt 46
Möglichkeiten, die 5 Kontrollartikel aus den guten auszu5
wählen. (In diesen Fällen wird die Sendung akzeptiert.) Für die Gegenwahrscheinlichkeit gilt
also
46
46 · 45 · 44 · 43 · 42
4257
5
p = 50 =
=
.
50 · 49 · 48 · 47 · 46
6580
5
Damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit p = 1 − p = 2323/6580 = 0.353.
38) Total sind 12 Gummibärli vorhanden. Es gibt also 12
= 66 Möglichkeiten, 2 auszuwählen.
2
5
4
Für “zwei rote” gibt es 2 = 10, für “zwei grüne” 2 = 6 und für “zwei gelbe” 32 = 3
Möglichkeiten. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gleich (10 + 6 + 3)/66 = 19/66 = 0.2879.
39) Bei einem Wurf gibt es 5 Möglichkeiten dafür, dass keine Sechs fällt. Bei n Würfen gibt
es somit 5n Möglichkeiten dafür, dass keine Sechs fällt. Da es bei n Würfen total 6n
Möglichkeiten gibt, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, in n Würfen keine Sechs zu erzielen,
gleich (5/6)n . a) Gesucht ist n (möglichst gross) mit (5/6)n ≥ 0.04. Logarithmieren liefert
n·ln(5/6) ≥ ln 0.04, in Zahlen n·(−0.1823) ≥ −3.2189 und somit n ≤ (−3.2189)/(−0.1823) =
17.66. Man darf also höchstens 17 mal werfen. (Beachten Sie, dass bei der Division durch die
negative Zahl −0.1823 das Ungleichheitszeichen die Richtung wechselt, vgl. (26.7).) b) Eine
analoge Rechnung
führt auf die Zahl 34.
40) Es gibt 62 = 15 mögliche Zweierkombinationen von Themen. a) Jedes Thema kann mit
5 andern Themen drankommen. (Beispiel: Wenn X Thema 1 gewählt hat, dann sind
(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6) günstig für ihn.) Somit sind von den 15 Möglichkeiten 5 gut:
p = 5/15 = 1/3. b) Wir berechnen die Gegenwahrscheinlichkeit: Es kommen genau die beiden Themen dran, die Y nicht gewählt hat. Dafür gibt es nur 22 = 1 Möglichkeiten: 14
Fälle sind günstig: p = 14/15 = 0.933. c) Wir machen den gleichen Ansatz wie bei b): Z
hat n Themen gelernt (0 ≤ n ≤ 6). Schlechte
aus
Varianten: Die 2 Themen werden6−n
den
nicht gelernten 6 − n Themen gewählt: 6−n
Möglichkeiten.
Somit
gibt
es
15
−
gute
2
2
15−(6−n
)
(6−n)(6−n−1)
2
1
1
Varianten. Es folgt p =
= 1 − 15
= 1 − 30
(6 − n)(5 − n). Gesucht ist
15
2
das kleinste n mit p ≥ 0.75. Hier ist es am einfachsten, zu probieren. Für n = 2 folgt p = 0.6,
für n = 3 ist p = 0.8. Somit muss Z mindestens 3 Themen lernen.