Blatt 8 SS 2009, Prof. Dr. J. Klüners Abgabe

Übungen zu Elementare Zahlentheorie — Blatt 8
SS 2009, Prof. Dr. J. Klüners
Abgabe: Mi, 17.6.2009, bis 9 Uhr in der Vorlesung
29. Aufgabe: Es sei a0 , b0 ∈ Z und an , bn ∈ N für alle n ∈ N sowie r, s ∈ R mit r, s > 1. Zeigen Sie:
(a) [a0 ; a1 , . . . , an ] = [a0 ; a1 . . . , an−1 , an − 1, 1], falls an > 1 oder n = 0
(b) [a0 ; a1 , . . . , an ] = [a0 ; a1 , . . . , an−1 + 1], falls an = 1 und n ≥ 1.
(c) Es sei [a0 ; a1 , . . . , an , r] = [b0 ; b1 , . . . , bn , s]. Dann gelten ai = bi für 1 ≤ i ≤ n sowie r = s.
(d) Zeigen Sie, dass abgesehen von obigen Möglichkeiten die Darstellung einer rationalen Zahl als
Kettenbruch eindeutig ist.
30. Aufgabe: Es sei [a0 ; a1 , a2 . . .] die Kettenbruchentwicklung einer reellen Zahl r und
die n-ten Näherungsbrüche. Zeigen Sie:
pn
qn
bezeichnen
(a) Es gilt qn+1 > qn ∀n ∈ N, sowie q1 ≥ q0 und q1 = q0 ⇔ a1 = 1.
(b) pn qn−2 − pn−2 qn = (−1)n an ∀n ∈ N.
31. Aufgabe: Bestimmen Sie die folgenden periodischen Kettenbrüche als Wurzelausdruck“.
”
(a) r = [1; 6].
(b) r = [1; 2, 1, 2].
32. Aufgabe:
(a) Zeigen Sie, dass es in Z + Zi eine Division mit Rest gibt. Das heißt, es existiert eine Abbildung
δ : Z + Zi → N0 , so dass für a, b ∈ Z + Zi, b 6= 0 Zahlen q, r ∈ Z + Zi existieren mit a = bq + r
und δ(r) < δ(b). (Hinweis: Wählen Sie δ(a) = |a|2 .)
(b) Berechnen Sie mit Euklids Algorithmus einen größten gemeinsamen Teiler von 6 − 17i und 18 + i.