Ubungsblatt 4 - IWR Heidelberg

Übungen zur Elementaren Zahlentheorie
Übungsblatt 4
Dozent: Dr. D. Vogel
Übungen: Dipl. Math. Ralf Butenuth
04.05.2011
Übung 1 (4 Punkte)
(a) Für welche n ∈ N sind n, n + 2, n + 6, n + 8, n + 12 und n + 14 prim?
(b) Zeigen Sie: 504 | (n3 − 1) · n3 · (n3 + 1) für alle n ∈ N.
Übung 2 (4 Punkte) Sei R ein nullteilerfreier Ring. Wir verallgemeinern den Begriﬀ
des größten gemeinsamen Teilers auf R wie folgt: Für a, b ∈ R gilt a | b genau dann,
wenn es ein q ∈ R gibt mit b = qa. Ein Element g ∈ R heißt größter gemeinsamer
Teiler von a und b, wenn gilt: g | a und g | b und für jedes h ∈ R mit h | a und h | b
folgt h | g. (Achtung: In der Vorlesung wurde der ggT in Z immer als eine positive
Zahl deﬁniert, und war damit eindeutig.)
R heißt euklidischer Ring genau dann, wenn eine Funktion
β : R r {0} → N0
mit folgender Eigenschaft existiert: Zu jedem Paar (x, y) ∈ R mit y 6= 0 existieren
Elemente q, r ∈ R mit x = qy + r und r = 0 oder β(r) < β(y).
(a) Zeigen Sie, dass Z ein euklidischer Ring ist, in dem sie eine explizite Funktion
β angeben und die oben angegebene Eigenschaft veriﬁzieren.
(b) Sei k ein Körper. Zeigen Sie wie in (a), dass k[X] ein euklidischer Ring ist.
(c) Ist Z[X] ein euklidischer Ring?
(d) Verallgemeinern Sie den euklidischen Algorithmus aus der Vorlesung auf beliebige euklidische Ringe und zeigen Sie, dass dieser Algorithmus immer einen
größten gemeinsamen Teiler berechnet.
Hinweis: Im Allgemeinen ist dieser nicht eindeutig!
– bitte wenden –
Übungen zur Elementaren Zahlentheorie
Übungsblatt 4
Dozent: Dr. D. Vogel
Übungen: Dipl. Math. Ralf Butenuth
04.05.2011
Übung 3 (4 Punkte, davon 2 für Teil (d)) In dieser Aufgabe zeigen wir, dass
Z[i] := {a + bi | a, b ∈ Z} ⊂ C
ein euklidischer Ring ist mit der Funktion β(x) := |x|2 mit |x| dem euklidischen
Abstand von x und 0. Zeigen Sie:
(a) β(xy) = β(x)β(y) für x, y ∈ Z[i].
(b) Zeigen Sie: Für x, y ∈ Z[i] r {0} ist c := x/y ∈ Q[i] := {a + bi | a, b ∈
Q}. Veranschaulichen Sie Z[i] in der komplexen Ebene und zeigen Sie durch
betrachten der Komponenten von c, dass ein q ∈ Z[i] existiert mit |q − c| ≤ √12 .
(c) Zeigen Sie β(x − qy) < β(y) und folgern Sie, dass Z[i] ein euklidscher Ring mit
euklidscher Funktion β ist.
(d) Implementieren Sie in sage den EEA für Z[i]. Berechnen Sie einen größten
gemeinsamen Teiler von x = 23616425 + 558023i und y = 6786651098 −
31197971330i.
Hinweis zu (d): Stellen Sie Elemente von Z[i] als Paare ganzer Zahlen dar. Implementieren Sie zunächst benötigte Grundrechenarten für Paare solcher Zahlen. Benutzen
Sie Teil (b), um die Division mit Rest zu implementieren.
Übung 4 (4 Punkte)
(a) Berechnen Sie ϕ(pq) für p 6= q zwei verschiedene Primzahlen.
(b) Zeigen Sie
lim sup
n→∞
ϕ(n)
= 1.
n
(c) Sei b ∈ Z mit ggT(b, 10) = 1. Zeigen Sie:
b | 10ϕ(b) − 1
(d) Sei x = a/b ∈ Q eine rationale Zahl. Zeigen Sie, dass die Dezimalentwicklung
von x entweder endlich oder periodisch ist. In welchen Fällen ist sie periodisch
und wie lang ist die Periode höchstens?
Diese Blatt kann bis Mittwoch, den 11.05, 9:15 im Zettelkasten neben HS6 abgegeben werden. Eine Abgabe in 2er-Teams ist gestattet und erwünscht. Bitte denken
Sie daran, Ihre Namen und Ihre Matrikelnummer mit anzugeben und alle Blätter,
zum Beispiel mit einem Schnellhefter, zusammen zu halten. Die Aufgaben werden in
den Übungen ab Freitag, den 13.05.2011 besprochen.
Weitere Hinweise zur Vorlesung ﬁnden Sie unter:
www.iwr.uni-heidelberg.de/∼Ralf.Butenuth/Zahlentheorie.