Ubungsblatt 4 - IWR Heidelberg

Übungen zur Einführung in die Geometrie
Übungsblatt 4
Dozent: Dr. D. Vogel
Übungen: Dipl. Math. Ralf Butenuth
10.11.2010
Übung 1 (4 Punkte) Sei H = (P, G, ?, ∼
=, ') eine Hilbertebene. In dieser Aufgabe
wird gezeigt, dass der Kongruenzsatz “Seite-Seite-Seite” für Dreiecke gilt.
−
→
(a) Sei α = ∠bac ∈ W und ad im Inneren von α. Seien β = ∠d0 a0 c0 , γ = ∠b0 a0 d0 ∈ W
−→
−→
mit β ' ∠dac und γ ' ∠bad. Gelte weiterhin, dass a0 b0 und a0 c0 auf verschiedenen Seiten von a0 ∨ d0 sind. Zeigen Sie:
−→
−→
(i) a0 b0 und a0 c0 bilden einen Winkel δ.
(ii) δ ' α.
−→
(iii) a0 d0 liegt im Inneren von δ.
Was bedeutet dies anschaulich?
(b) Seien a, b, c, a0 , b0 , c0 Punkte mit a, b, c in allgemeiner Lage, a0 , b0 , c0 in allgemeiner
Lage. Gelte ab ∼
= a0 b0 , ac ∼
= a0 c0 und bc ∼
= b0 c0 . Zeigen Sie: 4(a, b, c) ∼
= 4(a0 , b0 , c0 ).
Definition: Ein Dreieck 4(a, b, c) heißt gleichschenklig mit Basis ab, falls ac ∼
= bc
gilt.
Übung 2 (4 Punkte) Sei H = (P, G, ?, ∼
=, ') eine Hilbertebene.
(a) Sei ∆ = 4(a, b, c) ein Dreieck in H mit ∠acb ' ∠cba. Zeigen Sie, dass dann
ac ∼
= ab gilt. ∆ ist also gleichschenklig.
(b) Zu zwei Punkten a, b ∈ P mit a 6= b existiert ein gleichschenkliges Dreieck mit
Basis ab.
Übung 3 (4 Punkte) Seien {a1 , . . . , an } Punkte einer Hilbertebene. Zeigen Sie, dass
es eine Gerade G gibt, so dass alle Punkte auf der selben Seite von G liegen.
Übung 4 (4 Punkte) Sei H eine Hilbertebene, in der der Wechselwinkelsatz gilt.
Zeigen Sie, dass dann in H auch das Parallelenaxiom gilt.
Dieses Blatt kann bis spätestens 9:15 Uhr am Mittwoch, den 17.11, im Zettelkasten neben Hörsaal 6 eingeworfen werden. Bitte denken Sie daran, Ihre Namen
und Ihre Matrikelnummern mit anzugeben und alle Blätter, zum Beispiel mit einem
Schnellhefter, zusammen zu halten.
Die Aufgaben werden in der Übung ab Freitag, den 19.11 besprochen.
Weitere Hinweise zur Vorlesung finden Sie unter:
www.iwr.uni-heidelberg.de/∼Ralf.Butenuth/Geometrie.