Einführung in die Topologie Blatt 5 - math.uni

Prof. Dr. B. Hanke
Einführung in die Topologie
Blatt 5
Übung 1 Man zeige, dass kompakte Hausdorffräume und metrisierbare Räume normal sind. Ist jeder
normale Raum Hausdorffsch?
Übung 2 Es sei Z ein topologischer Raum. Ein Unterrraum Y ⊂ Z heißt Retrakt von Z, falls es eine
stetige Funktion f : Z → Y gibt mit f |Y = idY .
a) Zeigen Sie: Ist Z Hausdorffsch und Y ein Retrakt von Z, dann ist Y ⊂ Z eine abgeschlossene
Teilmenge.
b) Seien p, q ∈ R2 verschiedene Punkte. Zeigen Sie, dass {p, q} kein Retrakt von R2 ist.
c) Zeigen Sie, dass die verknotete x-Achse“ (siehe Bild) ein Retrakt von R3 ist. Hinweis: Tietze.
”
Übung 3 Es sei X ein normaler Hausdorffraum und J die Menge aller stetiger Funktionen f : X →
[0, 1]. Zeigen Sie: Die Abbildung
F : X→
Y
[0, 1],
x 7→ (f (x))f ∈J
f ∈J
ist eine Einbettung (d. h. ein Homöomorphismus aufs Bild F (X)). Wenn X kompakt ist, dann ist das
Bild von F abgeschlossen.
Hinweis: Der Beweis geht analog zum Beweis des Metrisierbarkeitssatzes.
Übung 4 Man beweise folgende Variante des Satzes von Banach-Alaoglu: Es sei (V, k · k)) ein reeller normierter Vektorraum. Wir nehmen zusätzlich an, dass V separabel ist, d.h. es existiere eine
abzählbare dichte Teilmenge C ⊂ V . (Dicht bedeutet, dass C = V ). Dann ist die abgeschlossene Einheitskugel B ⊂ (V ∗ , k · k) folgenkompakt in der schwach-∗-Topologie. (Zur Erinnerung: In allgemeinen
topologischen Räumen impliziert kompakt nicht folgenkompakt, vgl. Blatt 4).
Q
Anleitung: Man betrachte das abzählbare Produkt c∈C [−kck, kck] mit der Produkttopologie. Dieses
ist nach Aufgabe 1 auf Blatt 4 metrisierbar und kompakt, somit folgenkompakt. Man beweise nun,
dass jede Folge (fn )n∈N in B eine Teilfolge (fnk )k∈N besitzt, so dass für alle c ∈ C die Folge (fnk (c))k∈N
in R konvergiert. Daraus folgere man die Behauptung der Aufgabe.
Abgabe spätestens Montag, den 19. Mai, um 10 Uhr im Übungskasten.