(a) Zeige, daß die metrische Topologie eine Topologie ist.

TU Graz
Höhere Analysis
1. Übungsblatt
16-10-2014
Übung 1
(a) Zeige, daß die metrische Topologie eine Topologie ist.
(b) Zeige, daß die beiden Definitionen von Stetigkeit äquivalent sind.
Übung 2
Sei (X, τ ) ein topologischer Raum und A ⊆ X.
(a) Finde notwendige und hinreichende Bedingungen dafür, daß χA von oben
bzw. von unten halbstetig ist.
(b) Sei (fi )i∈I eine Familie von Funktionen fi : X → R. Zeige, daß
1) wenn alle fi von unten halbstetig sind, dann auch sup fi ;
2) wenn alle fi von oben halbstetig sind, dann auch inf fi .
(c) Seien X kompakt und f : X → R von unten halbstetig. Dann nimmt f auf
X ihr Infimum an.
Übung 3
In diesem Beispiel bezeichne X einen separablen metrischen Raum.
(a) Ist (Ui )i∈I eine Familie paarweise disjunkter offener Mengen in X, so ist I
höchstens abzählbar.
(b) Die Menge der isolierten Punkte von X ist höchstens abzählbar.
(c) Jede offene Überdeckung von X besitzt eine abzählbare Teilüberdeckung.
Übung 4
Sei E ein Banachraum und p eine von unten halbstetige Halbnorm auf E. Zeige,
daß p stetig ist. Finde eine subadditive halbstetige Funktion f , die nicht stetig sei.
Übung 5
Sei (X, τ ) ein topologischer Raum, K ⊆ X kompakt und F ⊆ X abgeschlossen.
Zeige, daß K ∩ F kompakt ist.
Übung 6
Sei (X, τ ) lokalkompakt aber nicht kompakt, ω 6∈ X. Zeige, daß auf der Menge
X̂ = X ∪ {ω} durch τ̂ = τ ∪ {{ω} ∪ U : U ⊆ X, X \ U kompakt} eine Topologie
erklärt wird, die (X̂, τ̂ ) zu einem kompakten topologischen Raum macht.
Übung 7
Sei fn : R → R eine Folge reeller Funktionen, sodaß fn (x) ≥ 0, ∀x ∈ R.
(a) Wenn f1 und f2 von oben halbstetig sind, dann ist f1 +f2 von oben halbstetig.
(b) Wenn f1 und f2 von unten halbstetig sind, dann ist f1 + f2 von unten halbstetig.
P
(c) Wenn jede Funktion fn von oben halbstetig ist, dann ist n≥1 fn von oben
halbstetig.
P
(d) Wenn jede Funktion fn von unten halbstetig ist, dann ist n≥1 fn von unten
halbstetig.
Zeige, daß nur drei von diesen Sätzen richtig sind und einer falsch ist. Was
passiert, wenn wir die Eigenschaft fn ≥ 0 weglassen? Was passiert, wenn R
durch einen anderen topologischen Raum ersetzt wird?