¨Ubungsblatt P1, Präsenzblatt 2. Woche
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Übungen zur Geometrischen Linearen Algebra (2-Fach-Bachelor), L. Hille Wintersemester 2012/13 Übungsblatt P1, Präsenzblatt 2. Woche Euklidischer Algorithmus: Gegeben seien zwei Zahlen oder Polynome p0 und p1 , wobei der Grad von p0 größer oder gleich dem von p1 sei (für ganze Zahlen ist der Grad der Absolutbetrag, für Polynome der übliche Grad). Dann bestimmt man das eindeutige p2 mit einem kleineren Grad als p1 , sodass: p0 = an p1 + p2 Rekursiv fährt man fort, mit pn = an pn+1 + pn+2 bis pn+2 = 0 gilt. Der größte gemeinsame Teiler von p0 und p1 ist dann gerade pn+1 . Aufgabe 1. (Euklidischer Algorithmus über Z) Berechnen Sie mit dem euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von a) 172 und 64, b) 1342 und 2432, c) an und an−1 für die Fibonacci-Folge mit an+1 = an + an−1 und a1 = a0 = 1, d) an und an−2 für die Fibonacci-Folge. Aufgabe 2. (Polynomdivision mit Rest) Berechnen Sie den Rest bei der Division von p durch q folgender Polynome. a) p = x3 + 2X 2 + 1, q = X 2 − 2X + 1, b) p = x4 + 1, q = x2 + 1, c) p = X n − 1, q = X m + 1 für m < n. Aufgabe 3. (Euklidischer Algorithmus für Polynome) Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler folgender Polynome p und q: a) p = X 2 − X + 1, q = X 3 − X 2 + X − 1, b) p = X 4 − 1, q = X 4 + 1, c) p = X 5 − 1, q = X 3 − 1, d) p = X 4 + 3X 3 − 1, q = X 3 + 2X 2 + 1. Aufgabe 4. (Elementarteiler) Bestimmen Sie die Elementarteiler folgender Matrizen. Bringen Sie dazu die Matrix durch zulässige Zeilen- und Spaltenoperationen auf Diagonalform, so dass a1,1 ein Teiler von a2,2 , a2,2 ein Teiler von a3,3 usw. ist. 2 3 4 2 2 4 2 6 3 4 6 , 2 4 4 , 4 10 4 6 8 4 4 8
