diplomarbeit - Universität Wien

DIPLOMARBEIT
Titel der Diplomarbeit
Einführung in die Theorie der p-adischen Zahlen
und nichtarchimedischen Absolutbeträge
Verfasserin
Julia Neidhardt
angestrebter akademischer Grad
Magistra der Naturwissenschaften (Mag.rer.nat.)
Wien, 2009
Studienkennzahl lt. Studienblatt:
Studienrichtung lt. Studienblatt:
Betreuer:
A 405
Mathematik
Univ.-Prof. Dr. Johannes Schoißengeier
0
Zusammenfassung
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit Körpern, die mit einem nichtarchimedischen Absolutbetrag ausgestattet sind, insbesondere mit dem Körper der p-adischen Zahlen, und stellt
eine Einführung in dieses Gebiet dar.
Nichtarchimedische Absolutbeträge sind dadurch gekennzeichnet, dass sie einer stärkeren Form
der Dreiecksungleichung genügen: Der Betrag der Summe zweier Elemente ist nicht nur kleiner oder gleich der Summe ihrer Beträge sondern sogar kleiner oder gleich dem Maximum der
einzelnen Beträge. Ist ein Körper mit einem solchen Absolutbetrag ausgestattet, hat das weitreichende Auswirkungen auf die Topologie, die Metrik sowie die algebraische Struktur dieses
Körpers. Auf dem Körper der rationalen Zahlen kann der p-adische Absolutbetrag definiert werden. Jeder andere nichtarchimedische Absolutbetrag auf Q ist diesem äquivalent. Der Körper der
p-adischen Zahlen stellt die Vervollständigung der rationalen Zahlen bezüglich des p-adischen
Absolutbetrags dar. Die Voraussetzungen, eine nichtarchimedische Analysis zu entwickeln, sind
somit gegeben. Ebenso wenig wie die reellen Zahlen ist der Körper der p-adischen Zahlen algebraisch abgeschlossen, doch es erweist sich als deutlich aufwändiger als im reellen Fall, einen
Erweiterungskörper zu finden, der sowohl algebraisch abgeschlossen als auch vollständig ist.
0
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
1
1 Grundlagen
7
1.1
1.2
1.3
Absolutbeträge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.1
Der p-adische Absolutbetrag auf Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.2
Nichtarchimedische Absolutbeträge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Ultrametrische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.2.1
Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.2.2
Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2 Absolutbeträge auf Q
23
2.1
Äquivalente Absolutbeträge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.2
Der Satz von Ostrowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.3
Die Vollständigkeit der rationalen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3 Die Vervollständigung metrischer Räume
33
4 Der Körper der p-adischen Zahlen Qp
39
4.1
P-adische und ganze p-adische Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
4.2
Die p-adische Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
i
INHALTSVERZEICHNIS
4.3
Algebraische und topologische Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
4.4
Rechnen in Qp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
4.5
Henselsches Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
4.5.1
Quadratwurzeln in Qp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
4.5.2
Einheitswurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
Analysis in Qp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.6.1
Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.6.2
Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
4.6.3
Stetigkeit und Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
4.6
5 Der algebraische Abschluss von Qp
75
5.1
Normierte Vektorräume über vollständigen, bewerteten Körpern
. . . . . . . .
75
5.2
Die Norm einer Köpererweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
5.3
Endliche Körpererweiterungen über Qp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
5.3.1
Die Fortsetzung des p-adischen Absolutbetrags | |p . . . . . . . . . . . .
84
5.3.2
Eigenschaften endlicher Körpererweiterungen über Qp . . . . . . . . . .
89
5.4
Der algebraische Abschluss Qp und dessen Vervollständigung Cp . . . . . . . .
99
5.5
Analysis in Cp
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
Symbolverzeichnis
107
Literaturverzeichnis
109
ii
0
Einleitung
Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.
Leopold Kronecker1
Die p-adischen Zahlen wurden vom deutschen Mathematiker Kurt Hensel (1861-1941) um das
Jahr 1900 in die Zahlentheorie eingeführt. Dabei steht „p“ für eine beliebige, jedoch in den
Betrachtungen jeweils fest gewählte Primzahl. Seine Motivation dafür war, so heißt es, auch
diesem Gebiet der Mathematik das mächtige Werkzeug der Potenzreihenentwicklung zugänglich
zu machen.
Basierend auf den Arbeiten von Ernst Kummer (1810-1893), Leopold Kronecker (1823-1891),
Richard Dedekind (1831-1916) und Heinrich Weber (1842-1913) verfolgte Hensel die Analogie,
die sich von einem algebraischen Standpunkt aus zwischen den ganzen Zahlen Z und dem
Polynomring C [X] ergibt, weiter.
Diese Analogie beruht zunächst darauf, dass sowohl in Z als auch in C [X] eine eindeutige
Primfaktorzerlegung möglich ist. Jede ganze Zahl n 6= 0 kann daher als Produkt
n = · p1 · p2 · · · pk
dargestellt werden, wobei die Faktoren pi Primzahlen sind und = ±1 gilt, und jedes Polynom
f (X) 6= 0 über C lässt sich als Produkt
f (X) = a · g1 (X) · g2 (X) · · · gk (X)
schreiben, wobei alle gi (X) normierte, irreduzible Polynome über C sind und a eine komplexe
Zahl ist. Diese Darstellungen sind bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig.
Weiters sind Z und C [X] Hauptidealbereiche. Im ersten Fall werden die Hauptideale von den
Primzahlen erzeugt und sind von der Form
(p) = pZ.
1 vgl.
[7], S. 9
1
EINLEITUNG
Der Restklassenkörper κ = Z/pZ ist zu Fp isomorph, und wir können eine ganze Zahl n folgendermaßen „zur Basis p“ entwickeln:
Zuerst wählen wir jenes a0 ∈ {0, 1, . . . , p − 1} , das
n ≡ a0
(mod p)
erfüllt, und schreiben n als n = a0 + pn1 . Wiederholen wir diesen Schritt zunächst für n1 , dann
für ein n2 , und so weiter, so erhalten wir die Darstellung
n = a0 + a1 p + · · · + am p
m
=
m
X
ai pi ,
i=0
und da ai ∈ {0, 1, . . . , p − 1} für 0 ≤ i ≤ m gilt, ist diese eindeutig bestimmt.
Die komplexen Zahlen sind algebraisch abgeschlossen, also sind die irreduziblen Polynome über
C genau jene vom Grad Eins. Die Hauptideale in C [X] ergeben sich daher durch
℘ = (X − a) = {(X − a) g (X) : g (X) ∈ C[X]}
mit a ∈ C. Wir können so jeder komplexen Zahl a genau ein Hauptideal zuordnen.
Der Restklassenkörper C[X]/℘ ist isomorph zu C. Denn betrachten wir den Substitutionshomomorphismus Φa : C [X] → C, f (X) 7→ f (a) , so ist dieser surjektiv, und der Kern dieses
Homomorphismus ist (X − a), da ja f (a) = 0 genau dann gilt, wenn X − a ein Teiler von f (X)
ist.
Es sei nun f (X) ein Polynom über C, dann ist für ein α0 ∈ C
f (X) ≡ α0
(mod ℘),
und wir können f (X) schreiben als f (X) = α0 + (X − a) f1 . So gelangen wir zur Entwicklung
des Polynoms f (X) um den Punkt a ∈ C :
f (X) = α0 + α1 (X − a) + · · · + αn (X − a)
n
X
i
αi (X − a)
=
n
i=0
mit αi ∈ C für 0 ≤ i ≤ n.
Hensel ging aber noch einen Schritt weiter und betrachtete auch die Quotientenkörper. Jener
von C [X] ist der Körper der rationalen Funktionen über den komplexen Zahlen, das heißt,
n
o
(X)
C (X) = ff21 (X)
: f1 (X) , f2 (X) ∈ C[X] , f2 6= 0 .
Für eine Funktion g(X) ∈ C (X) kann ebenfalls eine Entwicklung im Punkt a gefunden werden.
Diese können wir uns als Quotient der entsprechenden Entwicklungen von f1 (X) durch f2 (X)
denken, und sie ist von der Form
m
f (X) = αm (X − a) + αm+1 (X − a)
∞
X
i
=
αi (X − a)
i=m
2
m+1
+ ··· =
EINLEITUNG
mit αi ∈ C für i ≥ m. Ist a eine Nullstelle von f2 (X) , jedoch keine von f1 (X) beziehungsweise
ist die Vielfachheit der Nullstelle a von f2 (X) größer als jene von f1 (X) , so gilt m < 0, und
die Reihe beginnt mit einem negativen Exponenten. Auch wird eine derartige Entwicklung in
den meisten Fälle nicht abbrechen. Solche Reihenentwicklungen heißen Laurentreihen.
Zu den p-adischen Zahlen gelangte Hensel nun dadurch, dass er auch Elemente des Quotientenkörpers von Z – also rationale Zahlen – in eine Reihe „zur Basis p“ entwickelte:
Es sei x = ab eine rationale Zahl, und wir nehmen zunächst an, dass b nicht von p geteilt wird.
Hier kann das gleiche Vorgehen wie oben gewählt werden, das heißt, wir suchen zunächst jenes
Element a0 ∈ {0, 1, . . . , p − 1} , das x ≡ a0 (mod p) erfüllt und schreiben x als x = a0 + px1 .
So fahren wir fort, bis wir die gesuchte Entwicklung erhalten.
Nun kann es allerdings auch vorkommen, dass b von der Primzahl p geteilt wird. Ist dies der
Fall, so betrachten wir stattdessen y = pm x, wobei m die größte ganze Zahl ist, sodass pm ein
Teiler von b ist. Die gewünschte Darstellung für x ergibt sich dann durch
x = p−m y = p−m a0 + p−m+1 a1 + · · · + am + am+1 p + · · · .
Kurt Hensel, der 1884 bei jenem Mann promovierte, von dem der eingangs zitierte Ausspruch
stammt, vollbrachte also „ein Menschenwerk“ indem er die p-adischen Zahlen als die Menge
aller „Laurentreihen in p“ festlegte. Diese bilden einen Körper.
Hensel wandte seine p-adischen Methoden zunächst in der Zahlentheorie und in der Theorie
von quadratischen Formen an und beschäftige sich insbesondere auch mit der Entwicklung
algebraischer Zahlen in Potenzreihen. Später galt sein Interesse immer mehr dem Körper der
p-adischen Zahlen als eigenständiges mathematisches Objekt.
Die Arbeit von Kurt Hensel hatte großen Einfluss auf Ernst Steinitz (1871-1928), in dessen
Veröffentlichung Algebraische Theorie der Körper aus dem Jahre 1910 erstmalig eine abstrakte,
algebraische Definition eines Körpers zu finden ist, und auf József Kürschák (1864-1933), der
im Jahre 1912 die Bewertungstheorie begründete.
Der wichtige Satz über die Äquivalenz von Absolutbeträgen auf den rationalen Zahlen, den
wir in Abschnitt 2.2 behandeln werden, wurde 1917 vom russischen Mathematiker Alexander
Markowich Ostrowski (1893-1986) gezeigt. Das alles waren Voraussetzungen, die das Entstehen
einer p-adischen Analysis ermöglichten.
Auch Helmut Hasse (1898-1979) wurde von Hensels p-adischen Methoden stark beeinflusst.
Daher ging er 1920 nach Marburg, um bei Hensel, der dort seit 1902 arbeitete, zu studieren.
Im Oktober desselben Jahres entdeckte er bei Untersuchungen von quadratischen Formen das
sogenannte Lokal-Global-Prinzip, welches besagt, dass manche Gleichungen, die in den reellen
Zahlen und für jede Primzahl p im Körper der p-adischen Zahlen eine nichttriviale Lösung
besitzen, auch über Q lösbar sind.
Dadurch zeigte sich erst das große Potential, das in der Theorie der p-adischen Zahlen steckt,
denn es konnten nun p-adische Methoden bei Fragen der Lösbarkeit diophantischer Gleichungen eingesetzt werden. Wir werden das Lokal-Global-Prinzip in Bemerkung 8 auf Seite 58 besprechen.
Ab Mitte des 20. Jahrhunderts wurden p-adische Methoden in vielen verschiedenen mathematischen Gebieten eingeführt, sowie Theorien aus der reellen Analysis auf den Körper der
p-adischen Zahlen übertragen.
Einige Bücher, die heute zu den Standardwerken auf dem Gebiet der p-adischen Zahlen und
der p-adischen Analysis gehören, erschienen zu dieser Zeit. So zum Beispiel Introduction to
3
EINLEITUNG
P-Adic Numbers and Valuation Theory von George Bachman (1964, vgl. [1]), Number theory
von Z.I. Borevich und I.R. Shafarevich (1966, vgl. [2]), A Course in Arithmetic von Jean-Pierre
Serre (1973, vgl. [22]) und ebenfalls 1973 Introduction to p-adic numbers and their functions
von Kurt Mahler (vgl. [16]).
Mahler (1903-1988) gibt übrigens an, durch Vorlesungen bei Emmy Noether (1882-1935), die er
Mitte der 1920er Jahre in Göttingen besuchte, die p-adischen Zahlen kennengelernt zu haben.
Diese blieben für ihn sein ganzes Leben lang von größtem Interesse und eines seiner Hauptforschungsgebiete.
Weitere erwähnenswerte Bücher sind P-Adic Numbers, P-Adic Analysis, and Zeta-Functions
(1977, vgl. [14]) und P-adic Analysis: A Short Course on Recent Work (1980, vgl. [15]) von
Neal Koblitz, Ultrametric Calculus: An Introduction to P-Adic Analysis von W.H. Schikhof
(1984, vgl. [19]) sowie Local Fields von J.W.S. Cassels (1986, vgl. [6]).
Es werden regelmäßig internationale, mathematische Konferenzen abgehalten, die sich ganz
der p-adischen Analysis oder speziell der p-adischen Funktionalanalysis widmen. So fand im
Sommer 2008 die 10th International Conference on P-Adic and Non-Archimedean Analysis an
der Michigan State University statt, die Website zu dieser Konferenz ist zurzeit noch unter der
Adresse http://bt.pa.msu.edu/NA08 erreichbar.
Aber auch in die Physik fand die Theorie der p-adischen Zahlen und ultrametrischen Räume
Einzug, und p-adische Methoden werden in immer mehr physikalischen Teilgebieten angewandt.
Im September dieses Jahres wird die vierte internationale Konferenz zu p-adischer mathematischer Physik stattfinden. Diese Konferenz gibt es seit 2003, und sie wird alle zwei Jahre
abgehalten, dieses Jahr in Hrodna, Belarus.
Auf der Website der heurigen Konferenz, die unter http://www.padics2009.org zu finden
ist, heißt es, dass die p-adische mathematische Physik ein schnell wachsendes Gebiet mit vielen Anwendungen in verschiedenen Feldern ist. Diese reichen von der Quantentheorie über
Stringtheorie, Planck-Skala-Effekte, Nanosysteme, Spin-Glas und chaotische Systeme bis hin zur
molekularen Biologie und Informationswissenschaft. Aktuelle Forschungsergebnisse aus diesen
Gebieten werden auf der Konferenz präsentiert.
Die vorliegende Arbeit bietet eine Einführung in die Theorie der p-adischen Zahlen und nichtarchimedischen, bewerteten Körper, also Körper, die mit einem nichtarchimedischen Absolutbetrag ausgestattet sind.
Im ersten Kapitel lernen wir grundlegende Eigenschaften von nichtarchimedischen Absolutbeträgen und ultrametrischen Räumen kennen, und wir überlegen uns, wie diese die algebraische
Struktur eines Körpers beeinflussen.
In Kapitel 2 definieren wir zunächst, was wir unter äquivalenten Absolutbeträgen verstehen,
um uns dann mit dem Satz von Ostrowski zu befassen. Dieser besagt, dass am Körper der
rationalen Zahlen jeder nichttriviale Absolutbetrag entweder dem „gewöhnlichen“ oder einem
p-adischen Absolutbetrag äquivalent ist, also dieselbe Topologie wie der entsprechende Absolutbetrag induziert.
Wir beschließen das Kapitel indem wir zeigen, dass die rationalen Zahlen bezüglich keines
nichttrivialen Absolutbetrags vollständig sind.
Dass es zu jedem metrischen Raum eine Vervollständigung gibt, besagt Kapitel 3.
Kapitel 4 befasst sich mit Qp – dem Körper der p-adischen Zahlen. Dieser stellt die Vervollständigung der rationalen Zahlen bezüglich des p-adischen Absolutbetrags dar.
4
EINLEITUNG
Nach der Definition von p-adischen und ganzen p-adischen Zahlen soll mit Hilfe der p-adischen
Entwicklung einerseits eine konkretere Vorstellung dieser Objekte entwickelt und andererseits
ihre Handhabung ermöglicht werden. Algebraische und topologische Eigenschaften von Qp werden in Abschnitt 4.3 untersucht. Danach widmen wir uns dem Rechnen mit p-adischen Zahlen.
Dass Qp nicht algebraisch abgeschlossen ist, sehen wir in Abschnitt 4.5. Danach lernen wir
zwei Versionen des Henselschen Lemmas kennen. Dieses wichtige Resultat erleichtert es, bei
der Betrachtung von Polynomen eine Aussage über die Existenz von Wurzeln zu treffen. In
diesem Zusammenhang betrachten wir Quadratwurzeln und Einheitswurzeln in Qp . Auch das
Lokal-Global-Prinzip findet Erwähnung.
Wir beenden das Kapitel mit einem Blick auf die p-adische Analysis. Dazu untersuchen wir
das Konvergenzverhalten von Folgen und Reihen über Qp , widmen uns Potenzreihen und ihrem
Konvergenzradius und lernen den p-adischen Logarithmus und die p-adische Exponentialfunktion kennen. Auch mit Stetigkeit und Differenzierbarkeit befassen wir uns.
Beim Körper der p-adischen Zahlen handelt es sich wie bei den reellen Zahlen um eine Vervollständigung von Q. Keine dieser Vervollständigungen ist algebraisch abgeschlossen. Die komplexen Zahlen stellen
den algebraischen Abschluss von R dar, und wir erhalten diesen Abschluss
√
indem wir i = −1 zu R adjungieren. Wie R ist C vollständig.
Um einen Köper zu erhalten, der sowohl algebraisch abgeschlossen als auch vollständig ist,
genügt es also, eine Körpererweiterung über R vom Grad 2 zu betrachten, denn es ist i eine
Lösung der quadratischen Gleichung X 2 + 1 = 0.
Analog dazu setzt sich Kapitel 5 zur Aufgabe, den algebraischen Abschluss von Qp zu finden.
Dies ist jedoch bei weitem aufwändiger als im reellen Fall.
Zunächst betrachten wir endliche Körpererweiterungen über Qp . Um ihre Eigenschaften genau
untersuchen zu können, werden in den ersten beiden Abschnitten des fünften Kapitels einige Resultate über endlichdimensionale, normierte Vektorräume hergeleitet und algebraische Grundlagen zu Körpererweiterungen in Erinnerung gerufen. Insbesondere soll die auf einer Körpererweiterung definierte Norm besprochen werden, denn diese benötigen wir, um den p-adischen
Absolutbetrag auf den betrachteten Körpererweiterungen fortzusetzen.
Außerdem betrachten wir die Unterscheidung endlicher Körpererweiterungen in unverzweigte,
verzweigte und total verzweigte, und sehen dann, dass über Qp endliche Körpererweiterungen
beliebigen Grades gefunden werden können.
Das führt uns schließlich zum algebraischen Abschluss Qp . Dieser stellt eine unendliche Körpererweiterung über Qp dar. Im Gegensatz zum algebraischen Abschluss von R ist Qp jedoch
nicht vollständig.
Wiederum ist es notwendig, die Theorie aus Kapitel 3 anzuwenden, und wir gelangen endlich zu
einem Körper, der nicht nur vollständig, sondern, wie wir zeigen, auch algebraisch abgeschlossen
ist.
Diesen Körper bezeichnen wir mit Cp , was die Analogie zu den komplexen Zahlen ausdrückt.
Abschließend werfen wir noch einen Blick auf die Analysis in Cp .
Diese Arbeit basiert vor allem auf drei neueren Bücher zu diesem Gebiet: P-Adic Numbers:
An Introduction von Fernando Q. Gouvêa, das 1993 in einer ersten Version erschien und in
der Zwischenzeit schon mehrmals neu aufgelegt und überarbeitet wurde (vgl. [9]), A Course
in P-Adic Analysis von Alain M. Robert aus dem Jahr 2000 (vgl. [18]) sowie P-Adic Analysis
Compared with Real von Svetlana Katok, das 2007 erschien (vgl. [13]).
5
EINLEITUNG
Von den oben erwähnten Werken wurden alle als Literatur für diese Arbeit verwendet, insbesondere sind aber Introduction to P-Adic Numbers and Valuation Theory von George Bachman (vgl.
[1]) sowie P-Adic Numbers, P-Adic Analysis, and Zeta-Functions von Neal Koblitz (vgl. [14])
zu nennen.
Am Ende eines jeden Kapitels findet sich eine ausführliche Quellenangabe.
Bei unseren Betrachtungen werden Grundbegriffe aus verschiedenen mathematischen Gebieten
benötigt. Einige von ihnen sind mit Erklärungen versehen, welche für Begriffe aus der Algebra
nachzulesen sind in [3], für Begriffe aus der Zahlentheorie in [5] und für Begriffe aus der Topologie
in [12]. Die vor allem in Abschnitt 4.6 erwähnten Definitionen und Resultate aus der reellen
Analysis finden sich in [10].
Die hier skizzierte historische Entwicklung ist nachzulesen in [7], S. 126-128, [9], S. 7-14, [15],
S. 6, 7, [17], Biographies of H. Hasse, K. Hensel, J. Kürschák, K. Mahler, E. Steinitz, [24],
S. 376-377, 392 und [25], S. 127.
In das Symbolverzeichnis, welches auf Seite 107 beginnt, wurden Symbole aufgenommen, die im
Verlauf der Abhandlung eingeführt werden oder für diese Arbeit von besonderem Interesse sind.
Die üblichen, in der Mathematik gebräuchlichen Schreibweisen werden als bekannt vorausgesetzt
und nicht angeführt.
Diese Arbeit wurde mit LATEX unter der Verwendung verschiedener Makropakete erstellt.
Danksagung
Ich möchte an dieser Stelle meinem Betreuer Prof. Johannes Schoißengeier für die große Unterstützung beim Erstellen dieser Arbeit danken. Der Fakultät für Mathematik an der Universität
Wien danke ich für die mir gebotenen Möglichkeiten, während meines Studiums als Tutorin bei
den Linux-Übungen viele interessante Erfahrungen zu sammeln sowie im Rahmen der Frauenförderungsaktivitäten der Fakultät wichtige Projekte zu planen und umzusetzen.
Meinen Eltern Frieda Neidhardt und Wolfgang Sagerschnig danke ich für ihre Unterstützung
und Geduld in all der Zeit und meinem Freund Ernst Lammer, dass er mir immer zur Seite
gestanden ist und die Diplomarbeit sorgfältig lektoriert hat. Außerdem danke ich meinen
Freundinnen Kerstin Ammann und Liselotte Tschepen, denen ich mich durch einen gemeinsamen Weg durch das Studium, die Tätigkeit in der ÖH und die Arbeit an der Fakultät sehr
verbunden fühle, sowie meinen Freundinnen Sophie Lampl und Katerina Vrtikapa, die mir immer wichtige Gesprächspartnerinnen waren. Indem sie mir die Buchhandlung Gibert Joseph
auf dem Boulevard St. Michel in Paris gezeigt hat, hat mir meine Freundin Ina Markova die
Literatursuche für diese Arbeit sehr erleichtert, dafür möchte ich ihr danken. Und ich danke
auch meiner Freundin Norma Goicochea Estenoz: ¡Voy a mi!
6
1
Grundlagen
In diesem Kapitel werden wir grundlegende Eigenschaften von nichtarchimedischen Absolutbeträgen kennenlernen und ihre Auswirkungen auf die Metrik und die Topologie eines Körpers,
der mit einem solchen Absolutbetrag ausgestattet ist, untersuchen.
1.1
Absolutbeträge
1.1.1
Der p-adische Absolutbetrag auf Q
Zunächst wollen wir uns in Erinnerung rufen, wie ein Absolutbetrag definiert ist:
Definition 1: Es sei K ein beliebiger Körper. Eine Abbildung | | : K → R heißt Absolutbetrag
auf K, wenn für alle Elemente x und y des Körpers folgende Bedingungen erfüllt sind:
(A1) |x| ≥ 0,
|x| = 0 ⇐⇒ x = 0,
(A2) |xy| = |x| |y| ,
(A3) |x + y| ≤ |x| + |y| .
Die letzte Bedingung wird Dreiecksungleichung genannt.
Proposition 1: Es sei K ein Körper und | | ein beliebiger Absolutbetrag auf K. Dann gilt:
1. |1K | = 1,
2. |xn | = 1, x ∈ K =⇒ |x| = 1,
3. |−1K | = 1,
7
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN
4. |−x| = |x| für alle x ∈ K,
5. ||x| − |y|| ≤ |x − y| für alle x, y ∈ K.
Beweis. Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die einzige reelle Zahl r > 0 mit der Eigenschaft r2 = r beziehungsweise rn = 1 die Zahl r = 1 ist, sind diese Behauptungen leicht zu
zeigen.
2
1. |1K | = |1K · 1K | = |1K | |1K | = |1K | =⇒ |1K | = 1,
n
2. 1 = |xn | = | |x ·{z
· · x} | = |x| · · · |x| = |x| =⇒ |x| = 1,
| {z }
n mal
n mal
2
3. |1K | = |(−1K ) (−1K )| = |−1K | =⇒ |−1K | = 1,
4. |−x| = |−1K · x| = |−1K | |x| = |x| ,
5. |x| = |x − y + y| ≤ |x − y| + |y| =⇒ |x| − |y| ≤ |x − y| . Durch Vertauschen von x und y
erhalten wir − |x| + |y| ≤ |x − y| . Insgesamt folgt also
||x| − |y|| ≤ |x − y| .
Der „gewöhnliche“ Absolutbetrag am Körper der reellen Zahlen, der für alle x ∈ R definiert
ist durch |x| = x im Falle x ≥ 0 beziehungsweise durch |x| = −x für x < 0, ist sicher der
vertrauteste.
Ein anderes Beispiel ist der auf den
pkomplexen Zahlen definierte Absolutbetrag, der für z =
x + iy ∈ C gegeben ist durch |z| = x2 + y 2 .
Auf jedem beliebigen Körper K kann der sogenannte triviale Absolutbetrag τK definiert werden,
indem für das Nullelement der Absolutbetrag gleich Null und für alle anderen Elemente des
Körpers dieser gleich Eins gesetzt wird, also |0| = 0 und |x| = 1 für alle x ∈ K, x 6= 0.
Auf einem endlichen Körper gibt es nur den trivialen Absolutbetrag. Ist nämlich q < ∞ die
Anzahl der Elemente dieses Körpers, so gilt xq = x für jedes x ∈ Fq . Es ist somit xq−1 = 1,
und die Behauptung folgt aus Proposition 1.
Der nächste Absolutbetrag, den wir betrachten, ist grundlegend für die gesamte Theorie, die
im weiteren Verlauf entwickelt werden soll.
Definition 2: Sei p eine Primzahl, n 6= 0 eine ganze Zahl und ordp (n) die größte ganze Zahl, für
die n = pordp (n) m gilt. Dann heißt ordp (n) die p-adische Ordnung von n. Für n = 0 setzen wir
ordp (n) = +∞.
Die p-adische Ordnung einer rationalen Zahl x = ab , x 6= 0 ist definiert als die Differenz der
p-adischen Ordnung des Zählers und jener des Nenners, also als ordp (x) = ordp (a) − ordp (b),
wenn ggT(a, b) = 1.
Es ist leicht einzusehen, dass für zwei ganze Zahlen m und n gilt ordp (m·n) = ordp (m)+ordp (n).
Die p-adische Ordnung weist also in gewissem Sinne Ähnlichkeiten mit dem Logarithmus auf.
Daraus ergibt sich, dass die p-adische Ordnung einer rationalen Zahl x nur von der Zahl selbst
und nicht von ihrer Darstellung abhängt, das heißt, schreiben wir die eben betrachtete rationale
Zahl x = ab als x = ac
bc für ein c ∈ Z, c 6= 0, dann bleibt ihre p-adische Ordnung dieselbe, denn
ordp (x) = ordp (ac) − ordp (bc) = ordp (a) + ordp (c) − ordp (b) − ordp (c) = ordp (a) − ordp (b).
8
1.1. ABSOLUTBETRÄGE
Definition 3:
x 6= 0
Sei x ∈ Q und ordp (x) wie oben. Wir definieren eine Funktion | |p indem wir für
|x|p = p−ordp (x)
sowie |x|p = 0 für x = 0 setzen.
Proposition 2:
Die Funktion | |p ist ein Absolutbetrag auf Q.
Beweis. Wir müssen zeigen, dass die Eigenschaften (A1)-(A3) aus der Definition des Absolutbetrags erfüllt sind.
Die Wertemenge von | |p umfasst für x 6= 0 alle Potenzen der Primzahl p und ist per Definition
für x = 0 gleich Null, insgesamt also {pn : n ∈ Z} ∪ {0}. Somit ist (A1) gezeigt.
Es gilt |xy|p = p−ordp (xy) = p−ordp (x)−ordp (y) = p−ordp (x) p−ordp (y) = |x|p |y|p , (A2) ist also
erfüllt.
Bei der Dreiecksungleichung (A3) ist für x = 0 oder y = 0 oder x + y = 0 nichts zu zeigen.
Wir setzen nun voraus, dass diese Werte ungleich Null sind. Weiters sollen x = ab und y = dc in
gekürzter Form vorliegen. Dann ist x + y = ad+cb
und ordp (x + y) = ordp (ad + cb) − ordp (b) −
bd
ordp (d). Nun ist die höchste Potenz von p, die die Summe zweier Zahlen teilt, zumindest so
groß wie die höchste Potenz von p, durch die sowohl die erste Zahl als auch die zweite noch
teilbar ist. Daher gilt
ordp (x + y) ≥ min {ordp (ad), ordp (cb)} − ordp (b) − ordp (d)
= min {ordp (a) + ordp (d), ordp (c) + ordp (b)} − ordp (b) − ordp (d)
= min {ordp (a) − ordp (b), ordp (c) − ordp (d)}
= min {ordp (x), ordp (y)} .
Es ist somit
|x + y|p = p−ordp (x+y) ≤ p− min{ordp (x), ordp (y)}
n
o
= max p−ordp (x) , p−ordp (y)
o
n
= max |x|p , |y|p ,
und das ist sicher ≤ |x|p + |y|p .
Es heißt | |p der p-adische Absolutbetrag auf Q.
Eine rationale Zahl ist bezüglich dieses Absolutbetrags also „klein“, wenn sie durch eine große
Potenz von p teilbar ist.
1.1.2
Nichtarchimedische Absolutbeträge
Wir haben eben gesehen, dass der p-adische Absolutbetrag | |p auf Q einer noch stärkeren
Bedingung als der Dreiecksungleichung genügt, der Betrag der Summe ist nicht nur kleiner oder
gleich der Summe der Beträge sondern sogar kleiner oder gleich dem Maximum der einzelnen
Beträge. Diese „starke“ Dreiecksungleichung ist fundamental für unsere weiteren Betrachtungen,
und die folgende Definition ist Grundlage der gesamten p-adischen Analysis.
9
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN
Definition 4: Ein nichttrivialer Absolutbetrag | | auf einem Körper K heißt nichtarchimedisch,
wenn |x + y| ≤ max {|x| , |y|} für alle x, y ∈ K gilt. Ein nichttrivialer Absolutbetrag, der dieser
Ungleichung nicht genügt, heißt archimedisch.
Bemerkung 1: Auf einem Körper K mit nichtarchimedischem Absolutbetrag | | kann für x ∈ K
folgendermaßen eine Funktion ν definiert werden
(
− log |x| für x 6= 0,
ν(x) :=
+∞
für x = 0.
Diese Abbildung ν von K nach R∪{∞} heißt Bewertung auf K und hat folgende Eigenschaften:
1. ν(x + y) ≥ min {ν(x), ν(y)} für alle x, y ∈ K,
2. ν(xy) = ν(x) + ν(y) für alle x, y ∈ K,
3. ν(x) = ∞ ⇐⇒ x = 0.
Umgekehrt definiert jede Bewertung ν für r ∈ R, r > 1 durch |x| = r−ν(x) einen nichtarchimedischen Absolutbetrag.
Betrachten wir in diesem Zusammenhang den p-adischen Absolutbetrag. Für ein x ∈ Q, x 6= 0
ist dieser |x|p = p−ordp (x) . Wird auf die eben beschriebene Weise eine Bewertung ν definiert,
so ergibt das ν(x) = ordp (x) · log p. Die Bewertung ν unterscheidet sich also nur um die multiplikative Konstante log p von der p-adischen Ordnung und ihr Bild ist log p · Z, also eine
zu Z isomorphe Untergruppe von R. Viele Autorinnen und Autoren bezeichnen die p-adische
Ordnung ordp als die p-adische Bewertung νp , definieren also νp (x) := ordp (x).
In manchen Fällen bietet es sich an, statt des Absolutbetrags die entsprechende Bewertung zu
betrachten.
Proposition 3: Sei | | ein nichttrivialer Absolutbetrag auf einem Körper K. Dann sind folgende
Aussagen äquivalent:
1. | | ist nichtarchimedisch.
2. Es ist |n · 1K | ≤ 1 für alle n ∈ Z.
Beweis. (1) =⇒ (2) Für n = 1 stimmt die Aussage, durch vollständige Induktion kann sie für
alle n ∈ N gezeigt werden:
|(n + 1) · 1K | ≤ max{|n · 1K |, 1}.
| {z }
≤1
Für n < 0 folgt das Gewünschte wegen |−n · 1K | = |n · 1K | , und klarerweise ist |n| = 0 für
n = 0.
(1) ⇐= (2) Für x ∈ K gilt
X
m m
m
m m k X
m k X
k X
m
k
m
x ≤
x =
|x + 1| = x ≤
|x| ≤ (m + 1) max {|x| , 1} .
k k
k=0
k=0 | {z }
k=0
k=0
∈Z
10
1.1. ABSOLUTBETRÄGE
Wenn wir auf beiden Seiten die m-te Wurzel nehmen, so ergibt sich
|x + 1| ≤
√
m
m + 1 max {|x| , 1} ,
und für m → ∞ folgt
|x + 1| ≤ max {|x| , 1} .
Es seien nun x, y zwei Elemente von K. Ist y = 0, so gilt auf jeden Fall
|x + y| ≤ max {|x| , |y|} .
Für y 6= 0 erhalten wir
x
+ 1 ≤ max x , 1 ,
y
y
können das also auf das eben Gezeigte zurückführen.
Bemerkung 2: Dieses Resultat erklärt auch, warum wir von nichtarchimedischen Absolutbeträgen sprechen, denn ein Körper K besitzt eine sogenannte archimedische Ordnung, wenn es zu
je zwei positiven Elementen x und y eine natürliche Zahl n gibt mit nx > y.
Es gilt also, dass ein Absolutbetrag | | archimedisch ist, genau dann, wenn die Menge {1, 2, 3, . . .}
nicht beschränkt ist, das heißt, wenn sup {|n| : n ∈ Z} = +∞ ist. Umgekehrt ist ein nichttrivialer Absolutbetrag | | nichtarchimedisch, genau dann, wenn sup {|n| : n ∈ Z} = 1 ist.
Hier noch eine wichtige Konsequenz der nichtarchimedischen Ungleichung:
Proposition 4: Sei K ein Körper mit einem nichtarchimedischen Absolutbetrag | | . Ist |x| =
6 |y|
für x, y ∈ K, dann gilt für den Absolutbetrag der Summe
|x + y| = max {|x| , |y|} .
Beweis. Es sei o.B.d.A. |x| > |y| . Dann wissen wir, dass
|x + y| ≤ |x| = max {|x| , |y|}
gelten muss. Anderseits ist
|x| = |x + y − y| ≤ max {|x + y| , |y|} .
Das ergibt insgesamt
|x + y| = |x| = max {|x| , |y|} .
Dieses Resultat ist nicht intuitiv und deshalb etwas „gewöhnungsbedürftig“, wird aber klarer,
wenn wir es uns anhand des p-adischen Absolutbetrags überlegen:
11
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN
Beispiel 1:
Es seien x, y ∈ Z, ordp (x) = n beziehungsweise ordp (y) = m und so, dass
0
0
0
0
x = pn x , y = pm y , p - x y .
Es ist dann |x|p = p−n , |y|p = p−m , und es sei zunächst n < m, also |x|p > |y|p . Daraus folgt
für die Summe
0
0
x + y = pn (x + pm−n y ).
0
0
0
Da p - x wird auch x + pm−n y nicht von p geteilt, und es gilt
n
o
|x + y|p = p−n = max |x|p , |y|p .
Gilt andererseits n = m, also |x|p = |y|p , dann ist
0
0
x + y = pn (x + y ).
0
0
0
0
Die Primzahl p teilt ja weder x noch y , aber es ist möglich, dass die Summe x + y von p
geteilt wird, das heißt, ordp (x + y) ≥ n = min {ordp (x), ordp (y)} , und somit ist
n
o
|x + y|p ≤ max |x|p , |y|p = |x|p = |y|p .
1.2
Ultrametrische Räume
1.2.1
Metrik
In diesem Abschnitt soll die Metrik und die Topologie eines Körpers betrachtet werden, der
mit einem nichtarchimedischen Absolutbetrag ausgestattet ist. Wie wir wissen, gibt uns ein
Absolutbetrag die Möglichkeit, einen Abstandsbegriff für die Elemente eines Köpers, also eine
Metrik, zu definieren.
Zunächst rufen wir uns die Definition einer Metrik in Erinnerung, um danach zu präzisieren,
wie diese mit dem Absolutbetrag zusammenhängt.
Definition 5: Unter einem metrischen Raum verstehen wir eine Menge X zusammen mit einer
Abbildung d : X × X → R, die folgenden Bedingungen genügt:
(M1) d (x, y) ≥ 0 für alle x, y ∈ X,
d (x, y) = 0 ⇐⇒ x = y,
(M2) d (x, y) = d (y, x) für alle x, y ∈ X,
(M3) d (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, z) für alle x, y, z ∈ X.
Diese Abbildung heißt dann Metrik. Die Eigenschaft (M3) wird als Dreiecksungleichung bezeichnet analog zur Eigenschaft (A3) in der Definition des Absolutbetrags auf Seite 7.
Eine Menge X kann mit verschiedenen Metriken ausgestattet sein. Damit eindeutig ist, auf
welche Metrik Bezug genommen wird, schreiben wir für den metrischen Raum X auch (X, d).
12
1.2. ULTRAMETRISCHE RÄUME
Definition 6: Sei K ein Körper und | | ein Absolutbetrag auf K. Dann wird durch
d(x, y) = |x − y|
für x, y ∈ K eine Metrik auf K induziert. K wird so zu einem metrischen Raum.
Es ist unmittelbar einzusehen, dass die so definierte Metrik tatsächlich die Eigenschaften (M1)
bis (M3) besitzt.
Analog zur nichtarchimedischen Ungleichung bei Absolutbeträgen betrachten wir auch hier eine
„stärkere“ Form der Dreiecksungleichung:
Definition 7: Ein metrischer Raum X, dessen Metrik d der Ungleichung
d (x, z) ≤ max {d (x, y) , d (y, z)}
mit x, y, z ∈ X genügt, wird ultrametrischer Raum genannt. Die Metrik d wird demzufolge
auch als Ultrametrik bezeichnet und die Ungleichung als ultrametrische Ungleichung.
Proposition 5: Sei | | ein Absolutbetrag auf einem Körper K. Der Absolutbetrag | | ist nichtarchimedisch genau dann, wenn die von ihm induzierte Metrik d(x, y) = |x − y| der ultrametrischen
Ungleichung genügt.
Beweis. Es sei | | nichtarchimedisch. Dann gilt
|x − y| = |x − z + z − y| ≤ max{|x − z| , |z − y| },
| {z }
| {z } | {z }
=d(x, y)
=d(x, z) =d(z, y)
das Gewünschte folgt also unmittelbar.
Umgekehrt sei für alle Elemente des Körpers
d (x, y) ≤ max {d (x, z) , d (z, y)} .
Setzen wir y = −y und z = 0, so folgt
d (x, −y) ≤ max{d (x, 0), d (0, y)}.
| {z }
| {z } | {z }
=|x+y|
=|x|
=|y|
Folgende Proposition, die eng mit Proposition 4 aus dem vorigen Abschnitt zusammenhängt,
spiegelt ein wichtiges Prinzip wider, das weitreichende Konsequenzen für die Topologie und die
Geometrie eines ultrametrischen Raumes hat und welches oft folgendermaßen veranschaulicht
wird: In einem ultrametrischen Raum sind alle Dreiecke gleichschenklig mit höchstens einer
kurzen Seite.
Proposition 6: Es sei X ein ultrametrischer Raum mit der Metrik d, und es seien x, y, z ∈ X.
Ist d(x, y) 6= d(y, z), so gilt
d(x, z) = max {d (x, y) , d (y, z)} .
Beweis. Die Seiten des „Dreiecks“ haben die Längen d(x, y) = |x − y| , d(y, z) = |y − z| , und
d(x, z) = |x − z| . Da |x − z| = |x − y + y − z| gilt und vorausgesetzt wurde, dass |x − y| =
6
|y − z| ist, folgt mit Hilfe von Proposition 4 auf Seite 11 das Gewünschte.
13
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN
1.2.2
Topologie
Auf einem metrischen Raum kann durch die Metrik d eine Topologie induziert werden. Dieser
wird so zu einem topologischen Raum, und es können topologische Konzepte und Begriffe
wie Konvergenz, offene Menge, Kompaktheit oder Stetigkeit verwendet werden. Es wird sich
herausstellen, dass dies bei der Betrachtung ultrametrischer Räume noch einige überraschende
und nichtintuitive Ergebnisse mit sich bringen wird.
Definition 8: Es sei (X, d) ein metrischer Raum, a ∈ X und r eine positive reelle Zahl. Die
offene Kugel mit Radius r und Mittelpunkt a sei die Menge
Br (a) = {x ∈ X : d(a, x) < r} .
Eine Menge U ⊆ X heißt offen bezüglich der durch die Metrik d induzierten Topologie, wenn
es zu jedem x ∈ U ein r > 0 gibt, sodass Br (x) ⊆ U gilt. Damit wird der metrische Raum zu
einem topologischen Hausdorffraum.
Es soll nun wiederum ein Zusammenhang zu einem mit einem Absolutbetrag ausgestatteten
Körper hergestellt werden.
Definition 9: Ein topologischer Körper K ist ein Körper mit einer Topologie, sodass die Abbildungen
(x, y) 7→ x + y : K × K → K,
(x, y) 7→ xy : K × K → K,
x 7→ x−1 : K × → K ×
stetig sind.
Proposition 7: Sei K ein Körper mit Absolutbetrag | | , dann ist K bezüglich der durch d(x, y) =
|x − y| induzierten Metrik ein topologischer Körper.
Beweis.
• Addition (x, y) 7→ x + y und Multiplikation (x, y) 7→ xy sind stetige Abbildungen von
K × K nach K. Sind nämlich x0 , y0 ∈ K fix, d(x, x0 ) < δ sowie d(y, y0 ) < δ, dann gilt
d(x + y, x0 + y0 ) = |x + y − (x0 + y0 )|
= |x − x0 + y − y0 |
≤ |x − x0 | + |y − y0 | < ,
| {z } | {z }
δ=/2
δ=/2
d(xy, x0 y0 ) = |xy − x0 y0 |
= |(x − x0 ) (y − y0 ) + x0 (y − y0 ) + y0 (x − x0 )|
≤ |(x − x0 ) (y − y0 )| + |x0 (y − y0 )| + |y0 (x − x0 )|
= |x − x0 | |y − y0 | + |x0 | |y − y0 | + |y0 | |x − x0 | .
| {z } | {z } |{z} | {z } |{z} | {z }
<δ
14
<δ
fix
<δ
fix
<δ
1.2. ULTRAMETRISCHE RÄUME
• Die Abbildung x 7→ x−1 von K × nach K × ist stetig. Es sei x0 fest gewählt und δ <
Für alle x mit d(x, x0 ) < δ ist dann |x| > |x20 | , und es gilt
1
1 1
1 x0 − x |x0 − x|
2δ
d
=
,
= − =
<
2.
x x0
x x0
x · x0
|x| |x0 |
|x0 |
|x0 |
2 .
Als Nächstes wollen wir die Auswirkungen der ultrametrischen Ungleichung auf die Topologie
eines Raumes betrachten.
Den Begriff der offenen Kugel haben wir bereits spezifiziert, damit zusammenhängend hier
einige weitere Definitionen:
Definition 10: Die abgeschlossene Kugel mit Radius r und Mittelpunkt a sei die Menge
B r (a) = {x ∈ X : d(a, x) ≤ r} .
Unter dem Durchmesser einer nichtleeren Teilmenge A von X verstehen wir
d(A) = sup {d(x, y) : x, y ∈ A} ,
und A heißt beschränkt, wenn d(A) < ∞. Der Abstand zweier nichtleerer Teilmengen A und B
ist definiert als
d(A, B) = inf {d(x, y) : x ∈ A, y ∈ B}
und der Abstand zwischen einem Element x ∈ X und einer nichtleeren Teilmenge A als
d(x, A) = d({x}, A).
Allerdings sei darauf hingewiesen, dass Bezeichnungen wie „offene Kugel“ oder „abgeschlossene
Kugel“ in ultrametrischen Räumen auf gewisse Weise ihre Sinnhaftigkeit verlieren, wie wir gleich
sehen werden.
Proposition 8: Es sei (X, d) ein ultrametrischer Raum. Dann gilt:
1. Die Kugel Br (a) ist sowohl offen als auch abgeschlossen.
2. Die Kugel B r (a) ist für r > 0 sowohl offen als auch abgeschlossen.
Beweis.
1. In einem beliebigen metrischen Raum ist Br (a) eine offene Menge. Um zu zeigen, dass
Br (a) in einem ultrametrischen Raum auch abgeschlossen ist, betrachten wir einen Randpunkt b. Jede Umgebung von b muss also Punkte von Br (a) enthalten. Sei nun s ≤ r und
c ∈ Br (a) ∩ Bs (b), dann ist
d(a, b) ≤ max {d(a, c), d(b, c)} < max{r, s} = r.
Die Kugel Br (a) enthält also alle ihre Randpunkte und ist somit abgeschlossen.
2. B r (a) ist in einem metrischen Raum abgeschlossen. Dass B r (a) in einem ultrametrischen
Raum auch offen ist, sehen wir, indem wir zeigen, dass jeder Punkt b ∈ B r (a) eine
Umgebung besitzt, die ganz in B r (a) liegt. Seien also b ∈ B r (a), s ≤ r sowie c ∈ Bs (b)
beliebig, dann gilt
d(a, c) ≤ max {d(b, c), d(a, b)} ≤ r.
Es ist also c ∈ Bs (b) ⊆ B r (a).
15
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN
Bemerkung 3: Die Voraussetzung r > 0 in Punkt 2 obiger Proposition ist deshalb notwendig,
da ansonsten jede einelementige Menge und somit jede Menge offen wäre. Wir hätten es also
mit der diskreten Topologie zu tun, die vom trivialen Absolutbetrag induziert wird, was wir im
nichtarchimedischen Fall aber ausgeschlossen haben.
In Punkt 1 hingegen erhalten wir für r = 0 die leere Menge. Diese ist immer offen und abgeschlossen.
Proposition 9: Es sei (X, d) ein ultrametrischer Raum. Dann ist die Sphäre
Sr (a) = {x ∈ X : d(a, x) = r}
sowohl offen als auch abgeschlossen.
Beweis. Die Sphäre ist als Durchschnitt der abgeschlossenen Kugel mit dem Komplement der
offenen Kugel, also zweier abgeschlossener Mengen, abgeschlossen. Das gilt bezüglich jeder
Metrik.
Im ultrametrischen Fall ist Sr (a) aber auch offen. Es sei nämlich b ∈ Sr (a) und s < r. Ist nun
c ∈ Bs (b), so folgt wegen d(a, c) = max{d(b, c), d(a, b)} = r, dass jeder Punkt auf der Sphäre
eine offene Umgebung besitzt, die ganz in Sr (a) enthalten ist.
Bemerkung 4: Die Sphäre ist nicht der Rand der Kugel. Denn wäre dies der Fall, dann müsste
in jeder Umgebung eines Punktes auch ein Element, das nicht zum Rand gehört, liegen. Das
widerspräche aber der Sphäre als offener Menge. Der Rand der Kugel ist also leer.
Bemerkung 5: Da es in ultrametrischen Räumen so viele Mengen gibt, die sowohl offen als auch
abgeschlossen sind, wird in der englischsprachigen Literatur dafür meistens der Begriff „clopen“
als Synthese von „open“ und „closed“ verwendet.
Auch für die Geometrie eines ultrametrischen Raumes ergeben sich überraschende Konsequenzen:
Proposition 10: Es sei (X, d) ein ultrametrischer Raum. Dann gilt:
1. Jeder Punkt einer Kugel kann als ihr Mittelpunkt gewählt werden.
0
2. Sind zwei Kugeln B und B nicht disjunkt, dann ist die eine in der anderen enthalten.
0
0
3. Sind zwei Kugeln B und B disjunkt, dann gilt d(a, b) = d(B, B ) für alle a ∈ B und für
0
alle b ∈ B .
4. Der Durchmesser einer Kugel ist kleiner oder gleich ihrem Radius.
Beweis.
1. Es sei b ∈ Br (a), dann ist d(a, b) < r, und es gilt
c ∈ Br (a) ⇐⇒ d(a, c) < r ⇐⇒ d(b, c) ≤ max{d(a, b), d(a, c)} < r ⇐⇒ c ∈ Br (b).
Es ist also Br (a) = Br (b). Dies gilt analog für eine abgeschlossene Kugel, im Beweis ist
an den entsprechenden Stellen lediglich „<“ durch „≤“ zu ersetzen.
16
1.2. ULTRAMETRISCHE RÄUME
0
2. Es seien B und B beliebig offen oder abgeschlossen. Angenommen, keine der Aussagen
0
0
0
B ∩ B = ∅, B ⊆ B beziehungsweise B ⊆ B wäre wahr. Dann gäbe es ein Element
0
0
a ∈ B ∩ B , das nach Punkt 1 als Mittelpunkt von B und auch von B aufgefasst werden
0
0
kann. Weiters gäbe es ein b ∈ B\B sowie ein Element c ∈ B \B. Es folgt
d(c, a) > d(b, a), da b ∈ B und c ∈
/ B,
0
0
d(b, a) > d(c, a), da c ∈ B und b ∈
/B,
ein Widerspruch.
0
0
3. Es seien B und B beliebig offen oder abgeschlossen, a, b ∈ B und c ∈ B . Dann ist
d(a, b) < d(a, c) und d(a, b) < d(b, c), woraus d(a, c) = d(b, c) folgt. Aus Symmetriegründen
0
ist auch d(a, c) = d(a, d) für alle d ∈ B . Es ist somit (a, c) 7→ d(a, c) für alle a ∈ B,
0
c ∈ B konstant.
4. Der Durchmesser einer Kugel B (beziehungsweise B) ist definiert als sup{d(a, b) : a, b ∈
B}. Aus dem bis jetzt Gezeigten folgt, dass d(a, b) ≤ r für alle a, b ∈ B ist.
Beispiel 2: Wir betrachten den p-adischen Absolutbetrag auf Q. Dieser nimmt nur die Werte
{pn : n ∈ Z} und Null an. Da {x ∈ Q : |x − a|p < 1} = {x ∈ Q : |x − a|p ≤ p−1 }, ist B1 (a) =
B r (a) = Br (a) für alle r ∈ (p−1, 1). Ist zum Beispiel p = 3, dann ist B1 (a) = B1/2 (a) = B 1/3 (a).
Eine Kugel hat somit unendlich viele Radien. Der Durchmesser ist hier immer p−1 , also kleiner
oder gleich r.
Beispiel 3: Bezüglich des p-adischen Absolutbetrags auf Q ist B 1 (0) genau die Menge {x ∈ Q :
|x|p ≤ 1}. Diese lässt sich als disjunkte Vereinigung von B1 (0) und S1 (0) schreiben, denn es gilt
p | x ⇐⇒ |x|p < 1 ⇐⇒ x ∈ B1 (0) beziehungsweise p - x ⇐⇒ |x|p = 1 ⇐⇒ x ∈ S1 (0).
Für jedes x ∈ S1 (0) ist also x ≡ c (mod p) mit c ∈ {1, 2, . . . , p − 1}. Das heißt, p | x − c
beziehungsweise |x − c|p < 1. Das lässt sich auch interpretieren als x ∈ B1 (c). Es folgt somit
S1 (0) = B1 (1) ∪ B1 (2) ∪ · · · ∪ B1 (p − 1). Das ergibt insgesamt
B 1 (0) = B1 (0) ∪ B1 (1) ∪ B1 (2) ∪ · · · ∪ B1 (p − 1),
das heißt, die abgeschlossene Kugel lässt sich als disjunkte Vereinigung von p offenen Kugeln
schreiben.
Die Tatsache, dass es in dieser Topologie so viele Menge gibt, die offen und abgeschlossen
sind, hat auch für die Zusammenhangskomponenten ultrametrischer Räume interessante Konsequenzen.
Definition 11: Ein topologischer Raum X heißt unzusammenhängend, wenn es zwei nichtleere,
disjunkte, offene Mengen O1 , O2 gibt, deren Vereinigung X ist, also O1 ∩ O2 = ∅ und X =
O1 ∪ O2 .
Kann ein topologischer Raum nicht auf diese Weise zerlegt werden, heißt er zusammenhängend.
Eine Teilmenge A eines topologischen Raumes heißt zusammenhängend beziehungsweise unzusammenhängend, wenn sie bezüglich der Spurtopologie zusammenhängend beziehungsweise
unzusammenhängend ist.
17
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN
Unter der Zusammenhangskomponente eines Punktes x verstehen wir die Vereinigung aller
zusammenhängenden Mengen, in denen x enthalten ist, also die größte zusammenhängende
Menge, die diesen Punkt enthält.
Besteht die Zusammenhangskomponente eines jeden Punktes x nur aus diesem Punkt, das heißt,
nur aus der Einpunktmenge {x}, dann heißt der topologische Raum total unzusammenhängend.
Proposition 11:
hängend.
In einem ultrametrischen Raum ist jede Kugel mit Radius r > 0 unzusammen-
Beweis. Jede Kugel ist sowohl offen als auch abgeschlossen. Betrachten wir eine in ihr enthaltene
Kugel mit kleinerem Radius, dann ist diese offen und abgeschlossen. Das ist schon die Zerlegung,
die wir suchen.
Proposition 12: Ein ultrametrischer Raum X ist total unzusammenhängend.
Beweis. Wir betrachten einen Punkt x mit der Zusammenhangskomponente S. Angenommen S
enthält noch einen weiteren Punkt y, dann ist r = d(x, y) der Abstand zwischen den Punkten.
Es sei O1 = Br/2 (x) die offene Kugel mit Radius 2r um x. In dieser ist y nicht enthalten.
Wir wissen, dass diese Kugel auch abgeschlossen ist. Es ist also O2 = S\O1 offen, und wir
haben eine Zerlegung in zwei disjunkte offene Mengen gefunden, deren Vereinigung S ist. Die
Zusammenhangskomponente von x besteht also nur aus diesem Punkt.
Bemerkung 6: Das bedeutet, dass es in ultrametrischen Räumen keine zusammenhängenden
Mengen gibt, die aus mehr als einem Element bestehen. Andererseits ist die Menge {x} nicht
offen. Wäre dies nämlich für alle x der Fall, wäre jede Teilmenge des Raumes offen. Es würde
somit die durch den trivialen Absolutbetrag induzierte diskrete Topologie vorliegen, was wir
aber ausgeschlossen haben.
1.3
Algebra
In diesem Abschnitt betrachten wir den Zusammenhang zwischen der algebraischen Struktur
eines Körpers und eines auf ihm definierten, nichtarchimedischen Absolutbetrags.
Proposition 13: Es sei K ein Körper mit einem nichtarchimedischen Absolutbetrag | | . Dann
ist die Menge
O = B 1 (0) = {x ∈ K : |x| ≤ 1}
ein Teilring von K, und die Menge
P = B1 (0) = {x ∈ K : |x| < 1}
ist ein Ideal von O. P ist sogar ein maximales Ideal von O und O ein maximaler Teilring von
K. Weiters ist jedes Element in O\P invertierbar.
Beweis. Das meiste folgt unmittelbar aus den Eigenschaften eines nichtarchimedischen Absolutbetrags, die wir in Abschnitt 1.1.2 hergeleitet haben. Wir sehen sofort, dass O sowohl 0 als
18
1.3. ALGEBRA
auch 1 enthält. Sind x und y in O, dann sind es auch −x, x + y und x · y, denn |−x| = |x| ≤ 1,
|x + y| ≤ max{|x| , |y|} ≤ 1 sowie |xy| = |x| |y| ≤ 1. O ist also tatsächlich ein Teilring.
0
Es ist O ein maximaler Teilring, denn angenommen, es gäbe einen Teilring O , der O echt
0
0
enthält, dann gäbe es ein y ∈ O mit |y| > 1. Es wäre auch y n ∈ O für alle n ∈ N.
0
Sei r = |y| , dann ist B rn (0) = y n O ⊆ O .
Für rn = |y n | → ∞ sehen wir, dass K =
echt enthält muss der ganze Raum sein.
S
0
n≥1
y n O = O gilt. Das heißt, ein Teilring, der O
Analog können wir zeigen, dass P abgeschlossen unter Addition ist. Ist x ∈ O und y ∈ P, dann
ist x · y ∈ P, denn es gilt ja |x| ≤ 1, |y| < 1 und somit |xy| < 1.
Für ein x ∈ O\P ist |x| = 1. Somit ist x invertierbar in O, denn es ist dann x1 = 1, also x1 ∈ O.
Daraus folgt auch, dass P maximales Ideal ist, denn ein Ideal, das echt größer ist als P, enthält
eine Einheit und stimmt daher mit ganz O überein.
Definition 12: Es sei K ein Körper und | | ein nichtarchimedischer Absolutbetrag auf K. Der
Teilring
O = {x ∈ K : |x| ≤ 1}.
heißt der Bewertungsring von | | . Das Ideal
P = {x ∈ K : |x| < 1}.
heißt das Bewertungsideal von | | .
Ein Ring R mit genau einem eindeutig bestimmten maximalen Ideal I heißt lokaler Ring. Dieses
Ideal ist das Komplement der Einheitengruppe, das heißt, I = R\R× .
Definition 13: Es sei K ein Körper und | | ein nichtarchimedischer Absolutbetrag auf K. Der
Quotient κ des maximalen Teilrings O von K durch das maximale Ideal P, also
κ = O/P ,
heißt der Restklassenkörper von | | .
Bemerkung 7: Wegen dieses Zusammenhangs ist es manchmal sinnvoll, Problemstellungen von
einem algebraischen Standpunkt aus zu betrachten. Gesuchte Eigenschaften eines nichtarchimedischen Absolutbetrags werden so zu Eigenschaften des entsprechenden Bewertungsrings.
So kann Beispiel 3 auf Seite 17, in dem gezeigt wurde, dass die abgeschlossene Einheitskugel
als disjunkte Vereinigung offener Kugeln mit Radius 1 darstellbar ist, algebraisch ausgedrückt
werden, indem die offenen Kugeln als die Restklasse des Ideals P in O angesehen werden.
Betrachten wir nun die Resultate dieses Abschnitts in Zusammenhang mit dem p-adischen
Absolutbetrag.
19
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN
Proposition 14: Es sei K = Q und | | = | |p der p-adische Absolutbetrag. Dann gilt:
1. Der assoziierte Bewertungsring ist O = Z(p) = { ab ∈ Q : p - b}.
2. Das Bewertungsideal ist P = pZ(p) = { ab ∈ Q : p - b und p | a}.
3. Der Restklassenkörper ist isomorph zum endlichen Körper mit p Elementen, das heißt,
κ∼
= Fp .
Beweis. Für die ersten zwei Punkte müssen wir uns nur die Definitionen des p-adischen Abso0
lutbetrags in Erinnerung rufen: Für x = ab ∈ Q gilt ab p = p−ordp (x) , wobei ab = pordp (x) ab0 ist
0
0
und so, dass a b nicht von p geteilt wird.
Wir sehen, dass ab genau dann ein Element von O ist, wenn ordp (x) ≥ 0 ist. Da der Bruch
gekürzt vorliegt, ist das genau dann der Fall, wenn p kein Teiler von b ist. Analog sehen wir,
dass ab genau dann in P liegt, wenn ordp (a) > 0 ist, wenn also p - b und p | a gelten.
Nun zur dritten Behauptung: Wir müssen zeigen, dass es einen Isomorphismus zwischen O/P
und Fp ∼
= Z/pZ gibt.
Dazu definieren wir eine Abbildung f: Z(p) → Z/pZ, ab 7→ a + pZ b−1 + pZ , wobei b−1 + pZ
die inverse Restklasse von b + pZ bezeichnet, die ja wegen b - p jedenfalls existiert.
0
0
0
0
0
Betrachten wir nun ein Element ab0 in Z(p) , welches ab0 = ab mit p - bb erfüllt. Dann ist a b = ab ,
und es folgt
0
0
a + pZ b + pZ = a + pZ b + pZ .
0 −1
Multiplizieren wir beide Seiten dieser Gleichung mit b−1 + pZ
b
+ pZ , so sehen wir,
dass
0 −1
0
a + pZ b
+ pZ = a + pZ b−1 + pZ
0 ist. Das bedeutet aber auch, dass f ab0 = f ab gilt. Somit ist die Abbildung f wohldefiniert.
Die Abbildung f ist surjektiv, denn für a ∈ {0, 1, . . . , p − 1} und für b = 1 erhalten wir wegen
a
f
= a + pZ 1−1 + pZ = a + pZ
1
jede Restklasse modulo p. Insbesondere ist f (1) = 1 + pZ , und da außerdem
a
c
ad + cb
+
= (ad + cb) + pZ (bd)−1 + pZ
f
=f
b
d
bd
= (ad) + pZ (bd)−1 + pZ + (cb) + pZ (bd)−1 + pZ
= a + pZ b−1 + pZ + c + pZ d−1 + pZ
a
c
=f
+f
,
b
d
f
20
a
b
·
c
= (ac) + pZ (bd)−1 + pZ
d
= a + pZ c + pZ d−1 + pZ b−1 + pZ
= a + pZ b−1 + pZ · c + pZ d−1 + pZ
a c ·f
=f
b
d
1.3. ALGEBRA
gelten, handelt es sich bei f um einen Ringepimorphismus.
Der Kern dieses Epimorphismus ist gleich pZ(p) , denn es ist
f ab = a + pZ b−1 + pZ = 0
genau dann, wenn a ≡ 0 (mod p) gilt.
Wir haben somit auch die dritte Behauptung gezeigt, denn mit dem Homomorphiesatz für
Ringe folgt jetzt unmittelbar, dass
Z(p)/pZ(p) ∼
= Z/pZ
ist.
Quellen und Literatur zu Kapitel 1
Abschnitt 1.1 basiert auf [1], S. 4-8, [9], S. 23-26, 29-31, 33, 34, [13], S. 7, 11-13, 20, [14], S. 2-6,
[18], S. 25, 26, 77-79 und [19], S. 18-20.
Zu Abschnitt 1.2 vergleiche [1] S. 15, [9], S. 34-39, [13], S. 53-56, [14], S. 6, [18], S. 69-73 und
zu Abschnitt 1.3 [9], S. 39-41 sowie [18], S. 79.
21
2
Absolutbeträge auf Q
In diesem Kapitel werden wir uns überlegen, wie viele verschiedene Absolutbeträge es auf den
rationalen Zahlen gibt. Um zu einer sinnvollen Einteilung zu gelangen, muss definiert werden,
was es für Absolutbeträge bedeutet, „verschieden“ oder eben „gleich“ zu sein.
2.1
Äquivalente Absolutbeträge
Definition 1: Es seien d1 und d2 zwei Metriken. Wir nennen sie äquivalent, wenn sie dieselbe
Topologie induzieren, wenn also jede offene Menge bezüglich d1 auch eine offene Menge bezüglich
d2 ist und umgekehrt. Das ist gleichbedeutend damit, dass jede Folge, die bezüglich der einen
Metrik eine Nullfolge bildet, auch eine Nullfolge bezüglich der anderen Metrik ist.
Zwei Absolutbeträge | |1 und | |2 heißen äquivalent, wenn sie äquivalente Metriken induzieren.
Oft wird dafür auch | |1 ∼ | |2 geschrieben.
Mit Hilfe des folgenden Lemmas kann leicht entschieden werden, ob zwei gegebene Absolutbeträge äquivalent sind:
Lemma 1: Es seien | |1 und | |2 zwei nichttriviale Absolutbeträge auf einem Körper K. Folgende
Aussagen sind äquivalent:
1. | |1 und | |2 sind äquivalente Absolutbeträge.
2. Für jedes x ∈ K mit |x|1 < 1 folgt |x|2 < 1.
α
Es gibt dann eine positive, reelle Zahl α, sodass für jedes x ∈ K gilt |x|2 = |x|1 .
n
Beweis. (1) =⇒ (2) Es sei |x|1 < 1. Da |xn |1 = |x|1 gilt, ist (xn )n≥0 eine Nullfolge bezüglich
| |1 und wegen der Äquivalenz der Absolutbeträge auch eine bezüglich | |2 . Das bedeutet, dass
n
limn→∞ |x|2 = 0 und somit |x|2 < 1 ist.
23
KAPITEL 2. ABSOLUTBETRÄGE AUF Q
(1) ⇐= (2) Da die Absolutbeträge nichttrivial sind, gibt es ein x0 ∈ K × mit |x0 |1 > 1. Es sei
log|x |
β
y0 6= 0 ein weiteres Element des Körpers, dann ist |x0 |1 = |y0 |1 mit β = log|y00|1 .
1
m
Es
n
n sei
−m
x0 y 0
1
m
n
∈ Q so gewählt, dass
> β und n > 0 ist. Es ist |x0 |1 < |y0 |1 beziehungsweise
n
m
< 1. Aus der Voraussetzung folgt xn0 y0−m 2 < 1, das heißt |x0 |2 < |y0 |2 beziehungsm
n
m
β
weise |x0 |2 < |y0 |2n . Somit ist |x0 |2 ≤ |y0 |2 .
Es sei nun
m
n
m
< β. Dann gilt |x0 |1 > |y0 |1n beziehungsweise xn0 y0−m 1 > 1.
Wir können uns leicht überlegen, dass, wenn (2) vorausgesetzt wird, für jedes x mit |x|1 > 1
−1
auch |x|2 > 1 ist, denn ist |x|1 > 1 dann ist |x|1 = x−1 1 < 1, somit auch x−1 2 < 1, und es
gilt |x|2 > 1.
m
m
n
Also ist auch xn0 y0−m 2 > 1, woraus |x0 |2 > |y0 |2 beziehungsweise |x0 |2 > |y0 |2n folgt. Somit
β
ist |x0 |2 ≥ |y0 |2 .
β
Insgesamt muss also |x0 |2 = |y0 |2 gelten. Nun ist β =
log|y0 |2
log|y0 |1
log|x0 |1
log|y0 |1
=
log|x0 |2
log|y0 |2
und daher log |x0 |2 =
· log |x0 |1 .
log|y |
α
Wir setzen α = log|y00 |2 und erhalten |x0 |2 = |x0 |1 für x0 ∈ K × . Da diese Gleichung offensichtlich
1
α
auch von x0 = 0 erfüllt wird, gilt sie für alle Elemente des Körpers, und wir können | |2 = | |1
schreiben.
Es bleibt noch zu zeigen, dass die beiden Absolutbeträge äquivalent sind. Dazu betrachten wir
eine Nullfolge (xn )n≥0 bezüglich | |2 , das heißt, limn→∞ |xn |2 = 0.
α
Dann ist auch limn→∞ |xn |1 = 0 und somit limn→∞ |xn |1 = 0. Mit derselben Argumentation
folgt, dass auch jede Nullfolge bezüglich | |2 eine Nullfolge bezüglich | |1 ist.
Es ist uns nun möglich, die Beispiele für Absolutbeträge, die wir im ersten Kapitel kennengelernt haben, auf ihre Äquivalenz hin zu untersuchen. Das soll im Folgenden geschehen.
Proposition 1: Es sei | | der „gewöhnliche“ Absolutbetrag auf den rationalen Zahlen und α eine
α
positive reelle Zahl. Es ist | | ein Absolutbetrag auf Q genau dann, wenn α ≤ 1 ist. Dieser
Absolutbetrag ist dem „gewöhnlichen“ äquivalent.
α
Beweis. Es sei α ≤ 1. Dann sind für | | die Eigenschaften (A1) und (A2) des Absolutbetrags
aus Definition 1 auf Seite 7 offensichtlich erfüllt.
Es bleibt noch die Dreiecksungleichung zu zeigen. Es seien x, y ∈ Q, und wir nehmen o.B.d.A.
an, dass |y| ≤ |x| ist. Dann gilt
α
|y|
α
α
α
|x + y| ≤ (|x| + |y|) = |x| 1 +
|x|
|y|
α
≤ |x| 1 +
|x|
α |y|
α
α
α
≤ |x| 1 +
= |x| + |y| .
|x|
Bei dieser Ungleichung haben wir beim Schritt von der ersten auf die zweite Zeile verwendet,
dass für eine reelle Zahl r ≥ 1 und α wie vorausgesetzt r ≥ rα ist, und beim darauffolgenden
Schritt, dass r ≤ rα für 0 ≤ r ≤ 1 und α ≤ 1 gilt.
24
2.1. ÄQUIVALENTE ABSOLUTBETRÄGE
Die Äquivalenz der Absolutbeträge folgt aus Lemma 1.
Ist umgekehrt α > 1, so ist die Dreiecksungleichung nicht erfüllt. Es sei zum Beispiel x = y = 1,
α
α
α
dann ist |1 + 1| = 2α , und das ist jedenfalls größer als |1| + |1| = 2. Es handelt sich somit
α
unter diesen Voraussetzungen bei | | um keinen Absolutbetrag.
α
Proposition 2: Ist | | ein nichtarchimedischer Absolutbetrag, dann ist | | für jedes beliebige
α > 0 ebenfalls ein nichtarchimedischer Absolutbetrag. Dieser ist zu | | äquivalent.
α
Beweis. Es sei | | ein nichtarchimedischer Absolutbetrag und α > 0 beliebig. Für | | sind dann
die Eigenschaften (A1) und (A2) des Absolutbetrags klarerweise erfüllt, und auch die „starke“
Dreiecksungleichung gilt, denn für x, y ∈ Q ist
α
α
|x + y| ≤ (max {|x| , |y|})
α
α
= max {|x| , |y| } .
Die beiden Absolutbeträge sind äquivalent, da sie äquivalente Metriken induzieren, wie wir in
Lemma 1 gezeigt haben.
Bemerkung 1: Ist ein Absolutbetrag | | dem trivialen Absolutbetrag τK äquivalent, dann ist
α
trivial, denn für jedes α > 0 gilt τK (x) = 1α = 1 für x 6= 0 sowie τK (x)α = 0α = 0
auch | | = τK
für x = 0.
Korollar 1: Für zwei verschiedene Primzahlen p und q sind | |p und | |q nicht äquivalent.
n p
Beweis. Wenn wir die Folge (xn )n≥1 =
betrachten, folgt die Aussage unmittelbar
q
n≥1
aus Lemma 1, denn für diese ist limn→∞ |xn |p = 0 aber limn→∞ |xn |q = ∞.
Bemerkung 2: Es sei ρ < 1 eine positive reelle Zahl, dann ist |x| = ρordp (x) ein Absolutbetrag
auf Q. Dieser ist dem p-adischen Absolutbetrag äquivalent. Um das einzusehen, müssen wir
einfach die reelle Zahl α aus Lemma 1 so wählen, dass ρα = p−1 ist.
Bemerkung 3: Für zwei nichttriviale, äquivalente Absolutbeträge | |1 und | |2 gilt, dass sie entweder beide archimedisch oder beide nichtarchimedisch sind. Denn, wie wir im ersten Kapitel besprochen haben, wird ein Absolutbetrag genau dann „archimedisch“ respektive „nichtarchimedisch“ genannt, wenn für jede ganze Zahl n 6= 0 gilt, dass |n| ≥ 1 respektive |n| ≤ 1 ist, und wir
sehen mit Lemma 1 sofort, dass ein archimedischer Absolutbetrag einem nichtarchimedischen
nicht äquivalent sein kann.
Bemerkung 4: Um Verwechslungen zu vermeiden, bezeichnen wir im Folgenden den „gewöhnlichen“ Absolutbetrag auf den rationalen Zahlen mit | |∞ , verwenden also den Index „∞“.
Diese Wahl ist nicht zufällig und in diesem Zusammenhang in der Literatur weit verbreitet.
Den genauen Grund dafür werden wir im Anschluss an den Satz von Ostrowski diskutieren.
25
KAPITEL 2. ABSOLUTBETRÄGE AUF Q
2.2
Der Satz von Ostrowski
Satz 1 (Satz von Ostrowski): Jeder nichttriviale Absolutbetrag auf Q ist entweder dem „gewöhnlichen“ Absolutbetrag | |∞ oder einem der p-adischen Absolutbeträge | |p äquivalent.
Beweis. Es sei | | ein nichttrivialer Absolutbetrag auf Q. Wir unterscheiden zwei Fälle:
1. Wir nehmen zunächst an, dass | | archimedisch sei. Da der Absolutbetrag nichttrivial ist,
gibt es eine kleinste positive ganze Zahl n0 mit |n0 | > 1. Daher können wir eine reelle
Zahl α > 0 finden mit |n0 | = nα
0.
α
Wir wollen zeigen, dass |x| = |x|∞ für dieses α und für alle rationalen Zahlen x gilt, der
betrachtete Absolutbetrag also dem „gewöhnlichen“ äquivalent ist. Es genügt, dies für
positive ganze Zahlen n zu zeigen, denn mit Hilfe der Eigenschaften (A1) und (A2) aus
Definition 1 auf Seite 7 lässt sich die Aussage auf alle rationalen Zahlen verallgemeinern.
Es sei also n eine beliebige positive ganze Zahl, die wir sozusagen zur Basis n0 darstellen
wollen, das heißt,
n = a0 + a1 n0 + a2 n20 + · · · + ak nk0 ,
mit ak 6= 0 und 0 ≤ ai ≤ n0 − 1 für i = j0, . . . k, k, wobei k durch die Ungleichung
log n
nk0 ≤ n < nk+1
festgelegt ist. Es gilt also k = log
0
n0 . Betrachten wir den Absolutbetrag
von n, erhalten wir
|n| = a0 + a1 n0 + a2 n20 + · · · + ak nk0 2α
kα
≤ |a0 | + |a1 | nα
0 + |a2 | n0 + · · · + |ak | n0 .
Da n0 nach Voraussetzung die kleinste natürliche Zahl mit Absolutbetrag größer als Eins
ist, muss |ai | ≤ 1 für i = 0, . . . , k gelten. Das ergibt
2α
kα
|n| ≤ 1 + nα
0 + n0 + · · · + n0
−2α
= nkα
1 + n−α
+ · · · + n−kα
0
0 + n0
0
∞
X
≤ nkα
n−iα
0
0
i=0
=
nkα
0
nα
0
−1
nα
0
≤ nα C.
Beim letzten Schritt haben wir berücksichtigt, dass nk0 ≤ n ist. Außerdem haben wir
nα
0
C = nα −1
gesetzt, und es sei darauf hingewiesen, dass diese Konstante nicht von n
0
abhängt.
Betrachten wir nun
die ja für jede beliebige natürliche Zahl gilt,
nN ,
N die Ungleichung,
√ für
N
α
N
α
so erhalten wir n ≤ Cn
beziehungsweise als N -te Wurzel davon |n| ≤ Cn . Für
den Grenzwert N → ∞ ergibt sich |n| ≤ nα .
Um auf die Gleichheit der beiden Seiten schließen zu können, müssen wir noch zeigen,
dass auch |n| ≥ nα gilt.
Es ist
(k+1)α
= n + nk+1 − n ≤ |n| + nk+1 − n ,
n0
= nk+1
0
0
0
26
2.2. DER SATZ VON OSTROWSKI
beziehungsweise
(k+1)α
|n| ≥ n0
da ja
α
(k+1)α
−n ,
− n ≥ n0
− nk+1
− nk+1
0
0
k+1
α
n
−n
− n ≤ nk+1
0
0
> n ≥ nk0 folgt
gilt. Mit nk+1
0
α
− nk0
− nk+1
0
α 1
(k+1)α
= n0
1− 1−
n0
(k+1)α
|n| ≥ n0
(k+1)α
= n0
C
0
0
> nα C .
0
Die positive Konstante C hängt wiederum nicht von n ab. Wenn wir wie oben die Ungleichung für nN betrachten, die N -te Wurzel nehmen und den Grenzwert bilden, erhalten
wir |n| ≥ nα .
Insgesamt ist also |n| = nα und somit der betrachtete Absolutbetrag | | dem „gewöhnlichen“ Absolutbetrag | |∞ auf Q äquivalent.
2. Es sei nun | | nichtarchimedisch. Da | | nach Voraussetzung nichttrivial ist, gibt es eine
kleinste positive ganze Zahl n0 mit |n0 | < 1.
Es muss n0 eine Primzahl sein, denn angenommen, n0 wäre eine zusammengesetzte Zahl,
so könnten wir diese als Produkt zweier positiver ganzer Zahlen n1 und n2 darstellen, also
n0 = n1 · n2 mit n1 , n2 kleiner als n0 .
Wegen unserer Wahl von n0 müsste |n1 | = |n2 | = 1 gelten. Das kann aber nicht sein, also
ist n0 tatsächlich eine Primzahl, die wir mit p bezeichnen.
Für jede Primzahl q 6= p gilt |q| =
es wäre |q| < 1, dann gäbe es
N1, dennNangenommen,
1
ein hinreichend großes N, sodass q = |q| < 2 wäre.
Da |p| < 1 ist, gibt es jedenfalls ein M ∈ N, sodass pM < 21 ist, und, weil pM und q N
relativ prim sind, ganze Zahlen n und m, sodass mpM + nq N = 1 ist. Es gilt weiters
1 = |1| = mpM + nq N ≤ mpM + nq N = |m| pM + |n| q N .
Der betrachtete Absolutbetrag ist nichtarchimedisch, es sind somit |m| ≤ 1 und |n| ≤ 1,
und es ergäbe sich für |q| < 1 ein Widerspruch:
1 1
1 ≤ pM + q N < + = 1.
2 2
Also gilt für jede Primzahl q 6= p, dass |q| = 1 ist.
Jede positive ganze Zahl n kann als Produkt ihrer Primfaktoren dargestellt werden, das
k
k
k
heißt n = pk11 pk22 · · · pkr r . Es ist dann |n| = |p1 | 1 |p2 | 2 · · · |pr | r, wobei ja nur für die
Primzahl p gilt, dass |p| =
6 1 ist, wie wir uns eben überlegt haben. Die p-adische Ordnung
von n ist dann genau das zu diesem p gehörende ki .
Wir setzen ρ = |p| < 1 und erhalten
|n| = ρordp (a) .
Mit Hilfe der Eigenschaften (A1) und (A2) aus Definition 1 auf Seite 7 kann leicht gezeigt
werden, dass diese Formel für alle rationalen Zahlen x gilt. Der betrachtete Absolutbetrag
ist also äquivalent zu | |p und der Satz somit vollständig bewiesen.
27
KAPITEL 2. ABSOLUTBETRÄGE AUF Q
Wir kennen nun alle verschiedenen Absolutbeträge auf den rationalen Zahlen. Durch die sogenannte Produktformel wird ein Zusammenhang all dieser ersichtlich:
Proposition 3 (Produktformel): Für jedes x ∈ Q, x 6= 0 gilt
Y
|x|∞ ·
|x|p = 1.
p∈P
Beweis. Wir müssen die Formel nur für positive ganze Zahlen beweisen, der allgemeine Fall
folgt aus den Eigenschaften (A1) und (A2) des Absolutbetrags. Es sei also n ∈ N, n 6= 0 mit
i
für
der Primfaktorzerlegung n = pk11 pk22 · · · pkr r . Dann gilt |n|q = 1 falls q 6= pi , |n|pi = p−k
i
k1 k2
kr
i = 1, 2, . . . , k und |n|∞ = p1 p2 · · · pr . Das Resultat folgt nun sofort.
Q
Es sei darauf hingewiesen, dass das Produkt p |x|p über alle Primzahlen p wohldefiniert ist,
denn, wie wir eben gesehen haben, gilt |x|pi 6= 1 nur für endlich viele Primzahlen pi .
Bemerkung 5: Aus der Produktformel folgt, dass für eine natürliche Zahl |n|p ≥ n1 ist. Es ist
|n|∞ = n, und n = pk11 pk22 · · · pkr r sei wieder die Primfaktorzerlegung von n. Betrachten wir nun
eine fixe Primzahl pi , dann ist |n|pi = 1 ≥ n1 falls pi nicht in der Primfaktorzerlegung auftritt
i
=
beziehungsweise |n|pi = p−k
i
vorkommt.
k
k
k
i+1
i−1
r
···pk
p1 1 ···pi−1
pi+1
r
n
≥
1
n
falls pi in der Primfaktorzerlegung
Bemerkung 6: Die Produktformel ist ein Beispiel dafür, dass die Betrachtung aller Absolutbeträge auf den rationalen Zahlen zu interessanten Resultaten führt. Um den engen Zusammenhang der Absolutbeträge hervorzuheben, hat es sich bei vielen Autorinnen und Autoren
durchgesetzt, dem „gewöhnlichen“ Absolutbetrag als Analogie auch eine Art Primzahl, nämlich die „Primzahl im Unendlichen“, zuzuordnen und mit „p ≤ ∞“ auf alle Absolutbeträge | |p
zu verweisen.
Das ist auch der Grund für die Verwendung des Index „∞“ beim „gewöhnlichen“ Absolutbetrag.
2.3
Die Vollständigkeit der rationalen Zahlen
Wie wir wissen, sind die rationalen Zahlen bezüglich des „gewöhnlichen“ Absolutbetrags | |∞
nicht vollständig. Wir haben weiter Absolutbeträge auf Q kennengelernt und im letzten Abschnitt sogar zeigen können, dass es sich bei diesen – bis auf Äquivalenz – um alle Absolutbeträge, die möglich sind, handelt. Eine naheliegende Frage ist, ob die rationalen Zahlen bezüglich
dieser Absolutbeträge vollständig oder ebenfalls unvollständig sind.
Zunächst wiederholen wir zwei für diese Fragestellung grundlegende Begriffe:
Es sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Folge (xn )n≥1 von Elementen aus X heißt Cauchyfolge,
wenn es für jedes > 0 ein N ∈ N gibt, sodass d(xn , xm ) < für alle n, m ≥ N ist.
Ein metrischer Raum (X, d) heißt vollständig bezüglich der Metrik d, wenn jede Cauchyfolge
in X konvergiert. Ein Körper mit Absolutbetrag | | heißt vollständig, wenn jede Cauchyfolge
bezüglich der durch | | induzierten Metrik konvergiert.
28
2.3. DIE VOLLSTÄNDIGKEIT DER RATIONALEN ZAHLEN
Lemma 2: Eine Folge (xn )n≥1 rationaler Zahlen ist genau dann eine Cauchyfolge bezüglich
eines nichtarchimedischen Absolutbetrags | | , wenn gilt:
lim |xn+1 − xn | = 0.
n→∞
Beweis. (=⇒) Es sei (xn )n≥1 eine Cauchyfolge, dann gilt klarerweise limm,n→∞ |xm − xn | = 0.
Für m = n + 1 erhalten wir obige Gleichung.
(⇐=) Es sei m > n. Da der Absolutbetrag nichtarchimedisch ist, gilt:
|xm − xn | = |xm − xm−1 + xm−1 − xm−2 + · · · − xn |
≤ max {|xm − xm−1 | , |xm−1 − xm−2 | , . . . , |xn−1 − xn |} .
Daraus folgt die Behauptung.
Bemerkung 7: Dass eine Cauchyfolge der Bedingung limn→∞ |xn+1 − xn | = 0 genügt, gilt
bezüglich jedes Absolutbetrags. Für die Umkehrung hingegen lassen sich bezüglich eines archimedischen Absolutbetrags Gegenbeispiele finden. Betrachten wir etwa in R Folgeglieder der Form
1
xn = 1 + 21 + 31 + · · · + n1 , dann gilt zwar, dass der Betrag der Differenz |xn+1 − xn |∞ = n+1
für n → ∞ gegen Null konvergiert, jedoch ist die Cauchybedingung aus obiger Definition nicht
erfüllt, weil die Folge sonst konvergent wäre.
Für den Beweis folgender Proposition ist es hilfreich, sich die Tatsache vor Augen zu führen,
dass es eine Cauchyfolge rationaler Zahlen (xn )n≥1 gibt, die der Bedingung x2n − 2∞ ≤ 10−n
√
genügt, deren Grenzwert – die irrationale Zahl 2 – aber nicht in Q liegt.
Proposition 4:
ständig.
Die rationalen Zahlen sind bezüglich keines nichttrivialen Absolutbetrags voll-
Beweis. Bezüglich des „gewöhnlichen“ Absolutbetrags | |∞ setzten wir dies als bekannt voraus.
Nun zu den p-adischen Absolutbeträgen:
Wir wollen eine Cauchyfolge rationaler Zahlen (xn )n≥0 bezüglich | |p finden, deren Grenzwert
a jedoch nicht in Q liegt.
Es sei also p eine Primzahl, p 6= 2 und a ∈ Z so, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
1. a ist kein Quadrat in Q,
2. p - a,
3. X 2 ≡ a (mod p) besitzt eine Lösung, das heißt a ist ein quadratischer Rest modulo p.
√
Es gibt 21 (p − 1) quadratische Reste unterhalb von p, aber nur p Quadrate. Das heißt, wir
√
können so ein a jedenfalls finden, denn es gilt ja 21 (p − 1) > p außer für p = 3 und p = 5. In
diesen Fällen wählen wir für a einfach 7 beziehungsweise 6.
Als Nächstes konstruieren wir eine Cauchyfolge bezüglich | |p :
1. Es sei x0 eine beliebige Lösung von x20 ≡ a (mod p).
29
KAPITEL 2. ABSOLUTBETRÄGE AUF Q
2. Für x1 soll gelten, dass x1 ≡ x0 (mod p) und x21 ≡ a (mod p2 ) ist.
3. In weiterer Folge wählen wir die xn so, dass
xn ≡ xn−1
(mod pn )
und x2n ≡ a (mod pn+1 )
erfüllt sind.
So eine Folge gibt es. Unsere Konstruktion
Pn entspricht dem Lösen der algebraischen Kongruenzen
f (x) ≡ 0 (mod pn ), wobei f (X) = i=0 ai X i ein Polynom mit Koeffizienten aus Z ist.
In unserem Fall ist f (X) = X 2 − a. Die erste Kongruenz f (x) ≡ 0 (mod p) ist lösbar, wir
haben die Funktion ja entsprechend gewählt.
Wir zeigen den Rest durch Induktion. Es sei also die Kongruenz f (x) ≡ 0 (mod pn−1 ) schon
gelöst, An−1 sei die Menge ihrer inkongruenten Lösungen. Gesucht sind nun alle Lösungen von
f (x) ≡ 0 (mod pn ). Es sei xn eine solche. Da dieses xn auch f (x) ≡ 0 (mod pn−1 ) erfüllt, gibt
es ein y ∈ An−1 mit xn ≡ y (mod pn−1 ). Somit können wir xn schreiben als xn = y + kpn−1 .
Es ist y eine Nullstelle von f (X) − f (y) , daher gilt f (x) − f (y) ≡ (x − y) q (x) (mod pn ),
Pn
Pi−1
wobei q (X) ∈ Z [X] von der Form i=1 ai j=0 y i−j−1 X j sein muss. Somit ist f (xn ) − f (y) ≡
0
(xn − y) q (xn ) ≡ kpn−1 f (xn ) (mod pn ). Dies lässt sich zu
f (y)
pn−1
0
+ kf (xn ) ≡ 0 (mod p) ver0
0
einfachen, da ja f (xn ) ≡ 0 (mod pn ) ist. Es ist xn ≡ y (mod p), also auch f (xn ) ≡ f (y)
0
(y)
+ kf (y) ≡ 0 (mod p) untersuchen.
(mod p). Insgesamt müssen wir also die Kongruenz pfn−1
Mehrere Fälle können auftreten:
0
0
(y)
1. Es sei f (y) 6≡ 0 (mod p). Dann hat kf (y) ≡ − pfn−1
(mod p) genau eine Lösung in k
modulo p. Die Nullstelle y modulo pn−1 von f (x) ≡ 0 (mod pn−1 ) kann eindeutig zu
einer Nullstelle xn = y + kpn−1 von f (x) ≡ 0 (mod pn ) fortgesetzt werden.
0
2. Es sei f (y) ≡ 0 (mod p).
0
(y)
(mod p).
(a) Es sei f (y) ≡ 0 (mod pn ). Dann ist jedes k Lösung von kf (y) ≡ − pfn−1
In diesem Fall ist jede Fortsetzung von y Nullstelle von f (x) modulo pn .
(b) Es sei f (y) 6≡ 0 (mod pn ). Dann gibt es keine Fortsetzung von y.
0
In der von uns konstruierten Folge ist x20 ≡ a (mod p) und f (X) = 2X. Da laut Voraussetzung
0
p - a ist, gilt auch p - x0 , somit liegt Fall 1 vor, nämlich f (x0 ) 6≡ 0 (mod p). Es gibt also eine
eindeutige Fortsetzung zu x1 = x0 + kp. Da auch in weiterer Folge xn ≡ xn−1 ≡ · · · ≡ x0
(mod p) gilt, liegt bei jedem Schritt von xn nach xn+1 Fall 1 vor, die Folge ist somit nicht
endend und eindeutig.
0
Für den Fall p = 2 ist obige Folge wegen p | f (X) = 2X nicht geeignet. Um auch hier eindeutige
Lösungen zu erhalten, eignet sich zum Beispiel eine kubische Gleichung wie f (X) = X 3 − 3.
Als Nächstes müssen wir zeigen, dass tatsächlich ein Cauchyfolge vorliegt. Das folgt aus Lemma 2, denn nach Konstruktion gilt
|xn+1 − xn | = kpn+1 ≤ p−(n+1) → 0,
p
für n → ∞ und k ∈ Z.
30
p
2.3. DIE VOLLSTÄNDIGKEIT DER RATIONALEN ZAHLEN
Weiters gilt
2
xn − a = lpn+1 ≤ p−(n+1) → 0,
p
p
für n → ∞ und l ∈ Z, sodass der Grenzwert, wenn er existiert, ein Wurzel von a sein muss.
Da wir aber a so gewählt haben, dass es kein Quadrat ist, gibt es keinen Grenzwert in Q, die
rationalen Zahlen sind also nicht vollständig bezüglich | |p .
Wir müssen keine weiteren Absolutbeträge berücksichtigen, das folgt aus Satz 1, dem Satz von
Ostrowski.
Bemerkung 8: Die rationalen Zahlen sind bezüglich des trivialen Absolutbetrags τQ vollständig,
denn da nur die Werte 0 und 1 angenommen werden, ist eine Folge genau dann eine Cauchyfolge
bezüglich τQ , wenn es ein N ∈ N gibt, sodass τQ (xm − xn ) = 0 für alle n, m ≥ N und somit
xm = xn ist. Das heißt, die Folge ist ab einem bestimmten Index konstant und damit konvergent.
Dieser Fall ist aber von keinem weiteren Interesse.
Beispiel 1: Wir betrachten die Kongruenzen X 2 ≡ 2 (mod 7n ), n = 1, 2, 3, . . . , das heißt, es
0
ist f (X) = X 2 − 2 sowie f (X) = 2X.
Für n = 1 gibt es die zwei Lösungen x0 ≡ +3 (mod 7) und x0 ≡ −3 ≡ +4 (mod 7).
Nun sei n = 2.
0
1. Wir suchen die Fortsetzung von +3. Da f (3) = 7 und f (3) = 6 gilt, ist k · 6 ≡ −1
(mod 7) zu lösen. Also ist k = 1 und x1 = 3 + 1 · 7 = 10.
0
2. Es sei nun x0 = +4. Dann gilt f (4) = 14 und f (4) = 8. Wir müssen k · 8 ≡ −1 (mod 7)
lösen. Es ist dann k = 5 und x1 = 4 + 5 · 7 = 39.
Wir wollen noch den Fall n = 3 genauer betrachten.
0
1. Zunächst suchen wir die Fortsetzung von 10. Wegen f (10) = 98 und f (10) = 20 müssen
wir die Kongruenz k·20 ≡ −2 (mod 7) lösen. Es ist k = 2 und somit x2 = 10+2·49 = 108.
0
2. Es ist die Fortsetzung von 39 zu berechnen. Es ist f (39) = 1519 und f (39) = 78, und es
gilt k · 78 ≡ −31 (mod 7) zu lösen. Als Ergebnis erhalten wir k = 4. Es ist in diesem Fall
x2 = 39 + 4 · 49 = 235.
u.s.w.
Für jede Lösung x0 von X 2 ≡ 2 (mod 7) erhalten wir also eine eindeutig bestimmte Folge, die
bezüglich des p-adischen Absolutbetrags eine Cauchyfolge bildet, jedoch in Q nicht konvergiert.
Quellen und Literatur zu Kapitel 2
Abschnitt 2.1 basiert auf [1], S. 13, 16-18, [2], S. 37, [9], S. 43-45, [13], S. 9-11, 21, [18], S. 83-85
sowie [19], S. 20, 21, Abschnitt 2.2 auf [2], S. 37, 38, [9], S. 46-49, [13], S. 43-46, [14], S. 3-5,
[18], S. 85, 86 und Abschnitt 2.3 auf [9], S. 50-52.
Für den Beweis von Proposition 4 sowie für Beispiel 1 vergleiche Kapitel VIII: Algebraische
Kongruenzen aus [11] S. 51-55.
31
.
.
.
3
Die Vervollständigung metrischer Räume
Im letzten Abschnitt von Kapitel 2 haben wir definiert, was es bedeutet, dass ein metrischer
Raum vollständig ist. Wir haben gesehen, dass die rationalen Zahlen bezüglich keines auf ihnen
definierten, nichttrivialen Absolutbetrags vollständig sind. Jedoch wissen wir, dass Q bezüglich
des „gewöhnlichen“ Absolutbetrags vervollständigt werden kann und wir so zur „lückenlosen“
Zahlengeraden der reellen Zahlen R gelangen. Im Folgenden werden wir diese Frage allgemein behandeln und uns überlegen, unter welchen Umständen es eine Vervollständigung eines
metrischen Raumes gibt.
0
0
Es seien (X, d) und (X , d ) zwei metrische Räume, und es sei x0 ∈ X. Eine Abbildung
0
f : X → X heißt stetig in x0 , wenn es für jedes > 0 ein δ > 0 gibt, sodass für alle x ∈ X
0
mit d (x, x0 ) < δ auch d (f (x) , f (x0 )) < gilt.
Die Abbildung heißt gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem > 0 ein δ > 0 gibt, sodass für alle
0
x, y ∈ X mit d (x, y) < δ folgt, dass auch d (f (x) , f (y)) < ist.
Jede gleichmäßig stetige Funktion ist stetig. Ist (xn )n≥1 eine Cauchyfolge in X und f gleich0
mäßig stetig, so ist (f (xn ))n≥1 eine Cauchyfolge in X .
Proposition 1: Es sei X ein vollständiger metrischer Raum und A ⊆ X. Dann sind folgende
Aussagen äquivalent:
1. A ist ein vollständiger Teilraum von X.
2. A ist abgeschlossen.
Beweis. (1) =⇒ (2) Es sei x ∈ Ā. Dann gibt es eine Folge von Elementen in A, die gegen x
konvergiert. Da A vollständig ist, liegt auch der Grenzwert dieser Folge in A, es ist also x ∈ A.
(1) ⇐= (2) Jede Cauchyfolge (an )n≥1 in A ist auch eine Cauchyfolge in X, wo sie wegen der
Vollständigkeit von X jedenfalls auch konvergiert. Dieser Grenzwert muss im Abschluss von A
liegen, und da Ā = A gilt, liegt er sogar in A.
33
KAPITEL 3. DIE VERVOLLSTÄNDIGUNG METRISCHER RÄUME
Proposition 2: Es sei (X, d) ein metrischer Raum und A ⊆ X eine dichte Teilmenge. Weiters sei
0
0
0
(X , d ) ein vollständiger metrischer Raum und f : A → X eine gleichmäßig stetige Abbildung.
0
¯
Dann gibt es genau eine stetige Abbildung f : X → X , die auf A mit f übereinstimmt. Diese
ist wieder gleichmäßig stetig.
Beweis. Es sei x ∈ X. Dann gibt es eine Folge (an )n≥1 in A mit x = limn→∞ an . Somit ist
0
(an )n≥1 eine Cauchyfolge in X und (f (an ))n≥1 eine Cauchyfolge in X , die wegen der Voll0
ständigkeit von X auch konvergiert. Ist (bn )n≥1 nun eine andere Folge in A mit x = limn→∞ bn ,
0
dann ist limn→∞ d (an , bn ) = 0 und somit auch limn→∞ d (f (an ) , f (bn )) = 0. Das bedeutet,
dass limn→∞ f (an ) = limn→∞ f (bn ) sein muss. Somit ist durch f¯ (x) := limn→∞ f (an ) eindeutig eine Funktion definiert, die auf A mit f übereinstimmt, wobei wir für x ∈ A berücksichtigen, dass natürlich x = limn→∞ x ist.
Es sei nun > 0. Dann gibt es ein δ > 0, sodass aus (a, b) ∈ A × A mit d (a, b) < δ wegen
0
der gleichmäßigen Stetigkeit von f folgt, dass d (f (a) , f (b)) < ist. Nun sei d (x, y) < δ für
x, y ∈ X. Dann gibt es in A Folgen (an )n≥1 und (bn )n≥1 mit x = limn→∞ an beziehungsweise
y = limn→∞ bn . Wegen limn→∞ d (an , bn ) = d (x, y) < δ ist für hinreichend große n jedenfalls
0
d (an , bn ) < δ und somit d (f (an ) , f (bn )) < . Betrachten wir den Grenzwert, so folgt, dass
0
d f¯ (x) , f¯ (y) ≤ gilt. Das heißt, f¯ ist gleichmäßig stetig.
¯1 und f¯2 zwei Fortsetzungen von f mit den gegebenen VorausNun nehmen wir an, dass f
setzungen sind. Die Menge x ∈ X : f¯1 (x) = f¯2 (x) ist abgeschlossen und enthält auf jeden
Fall A. Da A eine dichte Teilmenge ist, bedeutet das, dass die eben betrachtete Menge mit X
übereinstimmt. Somit gilt f¯1 = f¯2 .
Bemerkung 1: Das Prinzip der Fortsetzbarkeit der Identitäten, das wir in diesem Abschnitt
öfters verwenden, besagt Folgendes: Ist eine Formel auf einer dichten Teilmenge einer Menge
X erfüllt und setzt sich diese Formel aus stetigen Funktionen zusammen, so lässt sie sich auf
ganz X fortsetzen.
Analog dazu besagt das Prinzip der Fortsetzbarkeit von Ungleichungen, dass, falls f (x) ≤ g (x)
auf einer dichten Teilmenge erfüllt ist, die Ungleichung überall gilt, wenn f und g stetige
Funktionen sind.
0
0
0
Definition 1: Es seien (X, d) und (X , d ) zwei metrische Räume und f : X → X eine surjektive
Abbildung, sodass
0
d (x, y) = d (f (x) , f (y))
0
für alle x, y ∈ X gilt. Dann heißt f eine Isometrie, und die Räume X und X heißen isometrisch.
Isometrien sind immer injektiv und gleichmäßig stetig.
Definition 2: Es sei (X, d) ein metrischer Raum und X̂, dˆ ein vollständiger metrischer Raum.
Gibt es eine Abbildung j : X → X̂, sodass j (X) dicht in X̂ liegt und weiters für x, y ∈ X
d (x, y) = dˆ(j (x) , j (y))
ˆ j eine Vervollständigung von (X, d) .
gilt, dann heißt X̂, d,
34
Ist X eine Menge, so bezeichnet l∞ (X) den Raum der beschränkten, reellwertigen Funktionen
auf X. Dieser ist vollständig, wenn auf ihm die Metrik
d(f, g) := sup |f (x) − g (x)|
x∈X
definiert wird. Denn ist (fn )n≥1 eine Cauchyfolge, so gibt es für jedes > 0 ein N ∈ N,
sodass |fn (x) − fm (x)| ≤ d (fn , fm ) < für alle m, n ≥ N () und alle x ∈ X ist. Daher ist
(fn (x))n≥1 für alle x ∈ X eine Cauchyfolge in R und somit konvergent. Es sei f : X → R,
f (x) = limn→∞ fn (x) . Dann ist
|f (x) − fn (x)| ≤ für n ≥ N () und alle x ∈ X. Setzen wir
= 1, so erhalten wir |f (x)| ≤ fN (1) (x) + 1. Es ist f also beschränkt, das heißt f ∈ l∞ (X) .
Aus d (f, fn ) ≤ für n ≥ N () ergibt sich die Konvergenz von (fn )n≥1 gegen f.
Satz 1: Es sei (X, d) ein metrischer
Raum. Dann gibt es eine Vervollständigung von X. Sind
X̂1 , dˆ1 , j1 und X̂2 , dˆ2 , j2 zwei solche, so gibt es genau eine Isometrie j : X̂1 → X̂2 mit
j ◦ j1 = j2 .
Beweis. Wir zeigen zunächst die zweite Behauptung. Da j1 injektiv ist, gibt es eine Abbildung
j : j1 (X) → X̂2 mit j ◦ j1 = j2 . Für (x, y) ∈ X × X ist
dˆ2 (j (j1 (x)) , j (j1 (y))) = dˆ2 (j2 (x) , j2 (y)) = d (x, y) = dˆ1 (j1 (x) , j1 (y)) .
Es ist j gleichmäßig stetig und lässt sich somit nach Proposition 2 auf X̂1 zu einer eindeutig
bestimmten, gleichmäßig stetigen Funktion j̄ fortsetzen. Diese wollen wir wieder mit „j“ bezeichnen.
Die Gleichung dˆ2 (j (a) , j (b)) = dˆ1 (a, b) gilt auf einer in X̂1 × X̂1 abgeschlossenen Menge,
denn beide Seiten sind stetige Funktionen in (a, b) . Da diese Identität auf der dichten Menge
j1 (X) × j1 (X) erfüllt ist, gilt sie wegen des Prinzips der Fortsetzbarkeit auf ganz X̂1 × X̂1 .
Es ist j X̂1 ein vollständiger Teilraum von X̂2 und somit abgeschlossen. Da er j2 (X) enthält,
ist j X̂1 = X̂2 , das heißt, j ist surjektiv.
Wir betrachten zum Nachweis der Existenz ein beliebiges a ∈ X und setzen
j : X → RX ,
j (x) (y) = d (x, y) − d (a, y) .
Für x, y ∈ X ist |j (x) (y)| ≤ d (x, a) . Das bedeutet, dass j (x) ∈ l∞ (X) ist. Wir bezeichnen
mit dˆ die Metrik auf l∞ (X) und setzen X̂ := j(X). Dann ist einerseits
dˆ(j (x) , j (y)) = sup |j (x) (z) − j (y) (z)| = sup |d (x, z) − d (y, z)| ≤ d (x, y)
z∈X
und andererseits
z∈X
dˆ(j (x) , j (y)) ≥ |d (x, y) − d (y, y)| = d (x, y) .
Da l∞ (X) vollständig und X̂ abgeschlossen ist, ist auch X̂ vollständig.
ˆ j eine Vervollständigung von X, so ist j injektiv. Es kann also auf kanonische Weise
Ist X̂, d,
eine Vervollständigung von X gefunden werden, die X mengentheoretisch als Teilraum enthält.
Wir nennen sie die Vervollständigung von X. In diesem Fall ist j : X → X̂ die Einbettung.
35
KAPITEL 3. DIE VERVOLLSTÄNDIGUNG METRISCHER RÄUME
Satz 2: Es sei K ein Körper, | | ein Absolutbetrag auf K. K̂ sei die Vervollständigung von K.
Dann gilt:
1. Die Abbildungen + und · von K ×K nach K̂ lassen sich eindeutig zu stetigen Abbildungen
auf K̂ × K̂ fortsetzen.
2. K̂ ist dann ein topologischer Körper.
∧
3. | | : K → R+ lässt sich eindeutig zu einer stetigen Abbildung | | : K̂ → R+ fortsetzen.
∧
4. | | ist ein Absolutbetrag auf K̂, der die Topologie auf K̂ induziert.
Beweis.
1. Die Aussage folgt für + mit Hilfe von Proposition 2, weil + auf K × K gleichmäßig stetig
ist.
Um die Aussage für · zu zeigen, verwenden wir ein Resultat aus der allgemeinen Topologie:
0
0
Eine Abbildung f : A × B → G heißt Z−bilinear, wenn für alle x, x ∈ A und y, y ∈ B
folgende Bedingungen erfüllt sind:
0
0
f x + x , y = f (x, y) + f x , y ,
0
0
f x, y + y = f (x, y) + f x, y .
Es seien G1 , G2 und G3 metrisierbare, abelsche, topologische Gruppen, G3 darüber hinaus
auch vollständig, A ⊆ G1 , B ⊆ G2 dichte Untergruppen und f eine stetige, Z−bilineare
Abbildung von A×B nach G3 . Dann gibt es genau eine stetige Fortsetzung f¯ : G1 ×G2 →
G3 von f (siehe zum Beispiel [4], S. 277).
0
Die von uns betrachtete Abbildung · ist Z−bilinear, denn es ist ja x + x y = xy +
0
0
0
x y beziehungsweise x y + y = xy + xy . Daraus können wir nun schließen, dass die
Abbildung · auf K̂ × K̂ eindeutig zu einer stetigen Abbildung fortsetzbar ist.
2. Dass in K̂ alle Rechenregeln für einen Ring gelten, folgt aus dem Prinzip der Fortsetzbarkeit von Identitäten. Betrachten wir zum Beispiel das Distributivgesetz, so ist
x · (y + z) = x · y + x · z jedenfalls auf der dichten Teilmenge K × K × K von K̂ × K̂ × K̂
erfüllt. Da, wie wir eben gezeigt haben, + und · stetig sind, gilt die Formel überall.
Die Abbildung x 7→ −x ist auf K̂ stetig, da sie wegen |−x − (−y)| = |x − y| gleichmäßig
stetig ist.
Es bleibt noch zu zeigen, dass ι : K × → K̂, ι (x) = x−1 auf K̂\ {0} stetig fortsetzbar ist.
Dazu verwenden wir ein Resultat, das besagt, dass für einen metrischen Raum (X, d),
0
0
einen vollständigen metrischen Raum (X , d ), eine dichte Teilmenge A ⊆ X und eine
0
stetige Abbildung f : A → X folgende Aussagen äquivalent sind:
0
(a) Es gibt eine stetige Fortsetzung f¯ : X → X von f.
(b) Für jede in X konvergente Folge (an )n≥1 mit an ∈ A ist (f (an ))n≥1 eine Cauchyfolge,
0
die wegen der Vollständigkeit von X konvergiert.
Es sei also (xn )n≥1 eine Cauchyfolge in K̂, limn→∞ xn ∈ K̂\ {0} . Es gibt somit ein c > 0,
x −x −1 m
n
sodass |xn | > c für alle n ≥ 1 ist. Es folgt x−1
−
x
≤ 12 |xm − xn | , und ι
n
m = xm xn
lässt sich daher auf K̂ × zu einer stetigen Abbildung ι̂ fortsetzen.
36
c
3. Es gilt ||x| − |y|| ≤ |x − y| . Daraus folgt, dass | | gleichmäßig stetig ist.
ˆ Für x, y ∈ K gilt
4. Die Metrik auf K̂ bezeichnen wir mit d.
∧
dˆ(x, y) = d (x, y) = |x − y| = |x − y| .
∧
Beide Seiten sind stetig. Daher gilt die Gleichung für alle x, y ∈ K̂. Ist |x| = 0, x ∈ K̂,
dann ist dˆ(x, 0) = 0, also x = 0. Wegen des Prinzips der Fortsetzbarkeit von Identitäten
∧
∧
∧
∧
∧
beziehungsweise Ungleichungen gelten |xy| = |x| |y| beziehungsweise |x + y| ≤ |x| +
∧
∧
ˆ
|y| . Wegen d (x, y) = |x − y| erhalten wir, dass beide Topologien übereinstimmen.
∧
Wir nennen ab jetzt K̂, | |
die Vervollständigung von (K, | |) .
Ist K ein Körper und | | ein Absolutbetrag auf K, dann schreiben wir für die Wertemenge
{r ∈ R : r = |x| für x ∈ K} kurz |K| .
∧
Korollar 1: Es sei K̂, | |
äquivalent:
die Vervollständigung von (K, | |) . Die folgenden Aussagen sind
1. | | ist nichtarchimedisch.
∧
2. | | ist nichtarchimedisch.
∧
Es ist dann K̂ = |K| .
∧
∧
∧
Beweis. (1) =⇒ (2) Aus der Fortsetzbarkeit von Ungleichungen folgt |x + y| ≤ max |x| , |y| ,
da die Maximumsfunktion stetig ist. (1) ⇐= (2) Diese Implikation gilt klarerweise.
∧
∧
Es sei nun x ∈ K̂, x 6= 0. Da K in K̂ dicht ist, gibt es ein y ∈ K mit |x − y| < |x| . Dann ist
∧
∧
∧
∧
∧
|y| = |y| = |(y − x) + x| = max |y − x| , |x| = |x| .
∧
Es folgt also |x| ∈ |K| .
Quellen und Literatur zu Kapitel 3
Dieses Kapitel basiert auf §3 Metrische Räume des Kapitels Grundlagen aus [20] sowie auf
§4 Die Sätze von Gelfand-Mazur und Ostrowski des Kapitels Absolutbeträge aus [21].
37
4
Der Körper der p-adischen Zahlen Qp
Jeder metrische Raum besitzt eine Vervollständigung bezüglich der betrachteten Metrik – das
haben wir in Kapitel 3 gesehen, und ab jetzt werden wir uns mit jenem Körper beschäftigen, der
die Vervollständigung der rationalen Zahlen bezüglich des p-adischen Absolutbetrags darstellt.
4.1
P-adische und ganze p-adische Zahlen
Definition 1: Es sei p eine Primzahl und | |p der p-adische Absolutbetrag auf Q. Die Vervollständigung von Q bezüglich | |p heißt der Körper der p-adischen Zahlen und wird mit Qp
bezeichnet.
Aus dem vorangegangenen Kapitel folgt sofort:
Die rationalen Zahlen Q liegen dicht in Qp . Der p-adische Absolutbetrag | |p auf Q lässt sich
eindeutig auf Qp fortsetzen. Diese Fortsetzung ist nach Korollar 1 im vorigen Kapitel ebenfalls
nichtarchimedisch, und wir bezeichnen sie wieder mit | |p . Die Wertemenge von | |p auf Qp
stimmt mit jener auf Q überein, es gilt somit
|Qp |p = |Q|p = {pn : n ∈ Z} ∪ {0} .
Das bedeutet also, dass es für jede p-adische Zahl x, x 6= 0 ein n ∈ Z gibt mit |x|p = p−n .
Da Qp ein Körper mit nichtarchimedischem Absolutbetrag ist, können wir den Bewertungsring
aus Kapitel 1.3 betrachten:
Definition 2: Als ganze p-adische Zahlen bezeichnen wir die Elemente des Rings
n
o
Zp := x ∈ Qp : |x|p ≤ 1 .
Da für jede ganze Zahl a gilt, dass |a|p ≤ 1 ist, liegt a als p-adische Zahl in Zp .
Der folgende Satz ermöglicht es uns, eine konkretere Vorstellung von den ganzen p-adischen
Zahlen zu entwickeln:
39
KAPITEL 4. DER KÖRPER DER P-ADISCHEN ZAHLEN QP
Satz 1: Ist x ∈ Zp , so gibt es genau eine Folge (ai )i≥0 ganzer Zahlen, sodass für alle i ≥ 0 sowohl
0 ≤ ai < pi+1 als auch ai ≡ ai+1 (mod pi+1 ) erfüllt ist. Die betrachtete Folge konvergiert dann
bezüglich des p-adischen Absolutbetrags | |p gegen x. Insbesondere liegt Z dicht in Zp .
Beweis. Da Q dicht in Qp ist, gibt es eine Folge abnn n≥0 rationaler Zahlen mit ggT (an , bn ) = 1
für alle n, sodass bezüglich des p-adischen Absolutbetrags x = limn→∞ abnn ist.
Für hinreichend große n ist p kein Teiler von bn . Denn wäre dies der Fall, so würde wegen
|an |
ggT (an , bn ) = 1 der Zähler an nicht von p geteilt werden, und wir hätten |bn | p = |bn1| ≥ p > 1.
p
p
Da dies der Annahme widerspräche, dass die Folge gegen |x|p ≤ 1 konvergiert, ist das nicht
möglich.
Wir können also ein un ∈ Z finden mit bn un ≡ 1 (mod pn ). Da |bn |p = 1 und |an |p ≤ 1 ist,
folgt:
|x − an un |p = |bn |p |x − an un |p = |bn x − bn an un |p
≤ |bn x − an |p + |an − bn an un |p
an = |bn |p x −
+ |an |p |1 − bn un |p
bn p
an ≤ x −
+ p−n ,
bn p
für n → ∞ gilt also |x − an un |p → 0.
0
0 Das bedeutet, dass Z dicht in Zp liegt. Es gibt also ein a0 ∈ Z mit x − a0 ≤ p−1 , und wir
p
0
wählen a0 ∈ {1, . . . , p − 1} so, dass a0 ≡ a0 (mod p) gilt. Dann ist
n
0
o
0 |x − a0 |p ≤ max x − a0 p , a0 − a0 p ≤ p−1 .
Wir behaupten nun, dass es Elemente a0 , . . . , at ∈ Z gibt mit 0 ≤ ai < pi+1 , |x − ai |p ≤ p−i−1
für 0 ≤ i ≤ t sowie ai ≡ ai+1 (mod pi+1 ) für 0 ≤ i < t und wollen dies durch Induktion zeigen.
Für t = 0 gilt die Behauptung, wie wir soeben gesehen haben.
t
Es seien a0 , . . . , at schon auf diese Weise konstruiert. Dann ist x−a
pt+1 ∈ Zp . Somit gibt es ein
−1
t
g ∈ Z, 0 ≤ g < p mit x−a
. Wir setzen at+1 = at + gpt+1 , und es gilt dann
pt+1 − g ≤ p
p
at+1 ≡ at (mod pt+1 ) sowie 0 ≤ at+1 < pt+1 + (p − 1) pt+1 = pt+2 . Weiters folgt
t+1 x − at
t+1 −
g
|x − at+1 |p = x − at − gp
=
p
p
p
pt+1
p
≤ p−t−1 p−1 = p−t−2 .
Somit ist |x − ai |p ≤ p−i−1 für alle i, und die Folge (ai )i≥0 konvergiert bezüglich des p-adischen
Absolutbetrags | |p .
Die Folge (ai )i≥0 ist eindeutig bestimmt, denn angenommen, das wäre nicht der Fall, so gäbe
0
es eine weitere Folge ai i≥0 mit den gesuchten Eigenschaften und einem kleinsten Index i0 mit
0
ai0 6= ai0 . Nun gilt jedoch
0
0
ai0 ≡ ai0 −1 = ai0 −1 ≡ ai0
0
0
(mod pi0 +1 )
mit 0 ≤ ai0 , ai0 < pi0 +1 . Somit ist ai0 = ai0 und die Folge eindeutig bestimmt.
40
4.2. DIE P-ADISCHE ENTWICKLUNG
Bemerkung 1: Wir wissen aus Satz 1, dass Z dicht in Zp liegt. Außerdem ist Zp als abgeschlossene Menge im vollständigen Körper Qp ebenfalls vollständig.
Da sich der p-adische Absolutbetrag | |p eindeutig von Q auf Qp fortsetzen lässt, gilt natürlich
auch für alle ganzen Zahlen x und y, dass |x − y|p in Z den gleichen Wert annimmt wie |x − y|p
in Zp . Wir können also nach Definition 2 in Kapitel 3 die ganzen p-adischen Zahlen Zp als die
Vervollständigung der ganzen Zahlen Z bezüglich des p-adischen Absolutbetrags | |p ansehen.
4.2
Die p-adische Entwicklung
Betrachten wir nun noch einmal die Folge (ai )i≥0 ganzer Zahlen aus Satz 1, die gegen die ganze
p-adische Zahl x konvergiert. Aus der Bedingung 0 ≤ ai < pi+1 ergibt sich, dass wir ihre Glieder
folgendermaßen „zur Basis p“ darstellen können:
a0 = x0 ,
a1 = x0 + x1 p,
...,
ai = x0 + x1 p + · · · + xi pi ,
wobei alle Ziffern xi in der Menge {0, 1, . . . , p − 1} liegen. Wegen der Bedingung ai ≡ ai+1
(mod pi+1 ) in Satz 1 gilt für das nächste Folgeglied ai+1 , dass seine Ziffern x0 bis xi mit denen
von ai übereinstimmen:
ai+1 = x0 + x1 p + · · · + xi pi + xi+1 pi+1 .
Diesen Überlegungen folgend zeigt
P∞ es sich, dass die betrachtete ganze p-adische Zahl x als
Summe der unendlichen Reihe n=0 xn pn aufgefasst werden kann:
Korollar 1: Jedes x ∈ Zp kann eindeutig in der Form
x=
∞
X
xi pi
i=0
mit 0 ≤ xi < p − 1 dargestellt werden.
P∞
Beweis. Wir müssen zeigen, dass die Reihe i=0 xi pi gegen x konvergiert. Die n-te Partialsumme ist von der Form x0 + x1 p + x2 p2 + · · · + xn pn . Das bedeutet, dass die Partialsummen
genau den Folgegliedern an aus Satz 1 entsprechen, von denen wir bereits wissen, dass sie die
geforderte Eigenschaft besitzen.
Die Darstellung ist eindeutig, denn die Eindeutigkeit der Folgeglieder ai impliziert auch jene
der Ziffern xi .
Wir können dieses Resultat auf alle p-adischen Zahlen verallgemeinern:
Erfüllt x ∈ Qp nicht |x|p ≤ 1, dann ist |x|p = pm für eine positive ganze Zahl m. Multiplizieren
0
m
wir nun x mit
0 dieser Potenz von p, dann erfüllt die so erhaltene p-adische Zahl x = x · p die
Bedingung x p = 1 und kann als unendliche Reihe dargestellt werden. Also ist
0
0
0
∞
xm−1
0
0
0
1 X 0 i
x0
x1
x= m
x p = m + m−1 + · · · +
+ xm + xm+1 p + xm+2 p2 + · · · .
p i=0 i
p
p
p
Zusammenfassend gilt:
41
KAPITEL 4. DER KÖRPER DER P-ADISCHEN ZAHLEN QP
Korollar 2: Jedes x ∈ Qp kann in der Form
x=
∞
X
xi pi
i=−m
geschrieben werden, wobei x−m 6= 0 ist und alle xi in der Menge {0, 1, . . . , p − 1} liegen.
Diese Darstellung ist eindeutig und heißt die p-adische Entwicklung von x oder die kanonische
Darstellung von x.
Die folgende Proposition zeigt, wie der p-adische Absolutbetrag eines Elementes von Qp mit
dessen kanonischer Darstellung zusammenhängt:
P∞
Proposition 1: Ist x = i=0 xi pi mit xi = 0 für 0 ≤ i < k und xk 6= 0, dann ist |x|p = p−k ,
P∞
und ist x = i=−m xi pi mit x−m 6= 0, dann ist |x|p = pm .
P∞
Beweis. Wir wissen, dass die Partialsummen an der Reihe i=0 xi pi gegen x konvergieren. Im
ersten Fall ist
X
X
∞
n
i
i
xi p , xi p ≤ max p−n−1 , p−k .
|x|p = |x − an + an |p ≤ max i=n+1
p
i=k
p
Somit ist |x|p = p−k für alle n ≥ k.
Der zweite Fall kann auf analoge Weise gezeigt werden.
Bemerkung 2: Diese Proposition zeigt, dass wir den in Abschnitt 1.1.1 auf Q definierten Begriff
der p-adischen Ordnung ordp problemlos auf ganz Qp erweitern können.
Wir haben die p-adische Ordnung eines Elementes als den Exponenten der größten Potenz von
p definiert, die dieses Element teilt. In der kanonischen Darstellung einer p-adischen Zahl x
entspricht das genau dem Index der ersten Ziffer, die ungleich Null ist.
In Proposition 1 ist im ersten Fall ordp (x) = k, im zweiten Fall ist ordp (x) = −m.
Bemerkung 3: Es wird also jede p-adische Zahl durch eine unendliche Reihe repräsentiert, oder
genauer, durch eine „Äquivalenzklasse“ unendlicher Reihen, die alle dieselbe kanonische Darstellung besitzen.
P∞
Umgekehrt stellt jede unendliche Reihe der Form i=−m xi pi mit xi ∈ Z für alle i eine p-adische
Zahl dar, denn dass eine derartige Reihe bezüglich des p-adischen Absolutbetrags konvergiert,
ist klar, und da die p-adischen Zahlen vollständig sind, liegt der Grenzwert in Qp .
Außerdem sei darauf hingewiesen, dass die kanonische Darstellung einer p-adischen Zahl in
jedem
eindeutig ist – im Gegensatz zur g-adischen Entwicklung reeller Zahlen, wo dies für
PFall
∞
x = n=n0 zn g −n nur durch die Bedingung, dass unendlich viele zn 6= g − 1 sind, erreicht wird.
Ansonsten gilt ja für g = 10 zum Beispiel 1,000 . . . = 0,999 . . ..
Diese Eindeutigkeit der p-adischen Entwicklung ergibt unmittelbar, dass Zp gleichmächtig ist
Z
mit {0, . . . , p − 1} + – was nichts anderes bedeutet, als dass die p-adischen Zahlen von der
Mächtigkeit des Kontinuums sind.
42
4.3. ALGEBRAISCHE UND TOPOLOGISCHE EIGENSCHAFTEN
Proposition 2: Die Einheitengruppe Z×
p der ganzen p-adischen Zahlen besteht genau aus jenen
Elementen, deren p-adische Entwicklung nicht mit Null beginnt. Das heißt
∞
n
o X
i
Z×
=
x
∈
Z
:
|x|
=
1
=
x
=
x
p
:
x
=
6
0
.
p
i
0
p
p
i=0
Beweis. Der Beweis folgt sofort aus Proposition 1.
Aus Proposition 2 und unseren bisherigen Überlegungen lässt sich unmittelbar folgendes Resultat über die Darstellbarkeit p-adischer Zahlen ableiten:
Proposition 3:
Jede p-adische Zahl x mit Absolutbetrag |x|p = p−n mit n ∈ Z kann als Produkt
x = · pn
dargestellt werden, wobei eine p-adische Einheit ist.
4.3
Algebraische und topologische Eigenschaften
In Kapitel 1 haben wir bereits einige Eigenschaften und Besonderheiten von ultrametrischen
Räumen beziehungsweise von Körpern, die mit einem nichtarchimedischen Absolutbetrag ausgestattet sind, kennengelernt. Die dort besprochenen Resultate sollen nun im Kontext der padischen Zahlen betrachtet werden.
Wir haben die ganzen p-adischen Zahlen Zp als die abgeschlossene Einheitskugel in Qp definiert,
sie entsprechen also dem Bewertungsring von | |p . Das ist ein lokaler Ring, dessen maximales
Ideal sich folgendermaßen ergibt:
∞
n
o X
i
Zp \Z×
=
x
∈
Z
:
|x|
<
1
=
x
=
x
p
:
x
=
0
p
i
0
p
p
i=0
=
x=p
∞
X
xi+1 pi
= pZp .
i=0
Die Abbildung
x=
∞
X
xi pi 7→ x0
i=0
definiert einen Epimorphismus von Zp nach Fp = Z/pZ. Dieser heißt Reduktion modulo p und
hat den Kern
∞
X
i
x=
xi p ∈ Zp : x0 = 0 = pZp .
i=0
Nun folgt aus dem Homomorphiesatz für Ringe, dass
Zp/pZp
zu Fp isomorph ist, und das gilt
somit auch für den auf Seite 19 in Abschnitt 1.3 definierten Restklassenkörper κ von | |p , denn
es ist
κ = Zp/pZp .
43
KAPITEL 4. DER KÖRPER DER P-ADISCHEN ZAHLEN QP
Für den Bewertungsring Z(p) und das Bewertungsideal pZ(p) von | |p auf Q, die wir ebenfalls
in Abschnitt 1.3 betrachtet haben, ergeben sich folgende Zusammenhänge:
na
o
Zp ∩ Q =
∈ Q : p - b = Z(p) ,
b
na
o
pZp ∩ Q =
∈ Q : p - b und p | a = pZ(p) ,
b
o
na
×
∈ Q : p - ab = Z(p) \pZ(p) .
Zp ∩ Q = Zp \pZp ∩ Q =
b
Ein Integritätsbereich R, also ein nullteilerfreier Ring, heißt ein Hauptidealbereich, wenn jedes
Ideal I ⊆ R von einem Element von R erzeugt werden kann. Ein solches Ideal heißt dann
Hauptideal. Es gilt:
Proposition 4: Der Ring Zp ist ein Hauptidealbereich mit den Hauptidealen {0} und pk Zp für
alle ganzen Zahlen k ≥ 0.
Beweis. Der Ring Zp ist klarerweise ein Integritätsbereich, denn er ist ja in einem Körper –
nämlich in Qp – enthalten.
Es sei I 6= {0} ein Ideal in Zp , und es sei x 6= 0 ein Element im Ideal I von maximalem
Betrag. Da der p-adische Absolutbetrag eine diskrete Wertemenge besitzt, kann ein solches
Element immer gefunden werden. Es sei k die p-adische Ordnung von x. Also ist x = pk ,
wobei
p-adische Einheit und somit invertierbar ist. Dann ist pk = −1 x ∈ I, und es gilt
eine
k
k
p = p Zp ⊆ I.
0
0
Umgekehrt gilt für jedes y ∈ I, dass |y|p = p−l ≤ p−k ist. Dann ist y = pl = pk pl−k ∈ pk Zp
und somit I ⊆ pk Zp . Insgesamt ergibt sich I = pk Zp .
Da die ganzen p-adischen Zahlen ein Integritätsbereich sind, können wir Qp auch als den Quotientenkörper von Zp ansehen. Dieser kann folgendermaßen dargestellt werden:
Qp = Zp p−1 .
Schreiben wir eine ganze p-adische Zahl x, x 6= 0 als Produkt von einer p-adischen Einheit
und einer Potenz von p, ist also x = pn , so ergibt sich das multiplikativ inverse Element
von x durch x−1 = −1 p−n . Das zeigt, dass der Quotientenkörper tatsächlich von Zp und den
Potenzen von p mit negativen Exponenten erzeugt wird.
Wir sehen also, dass x−1 ∈ p−n Zp ist, und es sei noch einmal darauf hingewiesen, dass jede
0
0
p-adische Zahl y als Produkt pm y für m ∈ Z und y ∈ Zp dargestellt werden kann. Es soll nun
ein topologischer Aspekt dieser Überlegung hervorgehoben werden:
Proposition 5: Die Kugeln pn Zp mit n ∈ Z bilden im Körper der p-adischen Zahlen eine
Umgebungsbasis von 0, die ganz Qp überdeckt.
Beweis. Als Einheitskugel um 0 ist Zp in Qp sowohl offen als auch abgeschlossen und kann
somit also offene Umgebung von 0 betrachtet werden. Da die Abbildung x 7→ px als einfache
Multiplikation im Körper Qp klarerweise ein Homöomorphismus ist, ist auch für jedes n die
Menge pn Zp eine offene Umgebung von 0. Dass
[
Qp =
pn Zp
n∈Z
44
4.3. ALGEBRAISCHE UND TOPOLOGISCHE EIGENSCHAFTEN
gilt, folgt aus der Darstellbarkeit jeder p-adischen Zahl als ein derartiges Produkt.
Die Mengen pn Zp bilden auch eine Umgebungsbasis von 0, denn für jede offene Menge, die 0
enthält, können wir ein n0 ∈ Z finden, sodass eine Kugel mit Radius p−n0 ganz in ihr enthalten
ist.
Bemerkung 4: Auch hier sehen wir, dass die Metrik und die Topologie eines Körpers, der mit
einem nichtarchimedischen Absolutbetrag ausgestattet ist, stark in Zusammenhang mit dessen
algebraischer Struktur stehen. So können wir die p-adische Ordnung ordp von x ∈ Qp auch als
die größte ganze Zahl n0 sehen, für die x ∈ pn0 Zp gilt.
Es sei zum Beispiel
x = x−3 p−3 + x−2 p−2 + x−1 p−1 + x0 + · · ·
mit x−3 6= 0, dann ist x in p−3 Zp enthalten aber nicht in p−2 Zp , denn bei der Darstellung
0
x = p−2 x−3 p−1 + x−2 + x−1 p + x0 p−2 + · · · = p−2 x
0
ist x keine ganze p-adische Zahl. Somit ist ordp (x) = −3, was natürlich mit unserer früheren
Definition übereinstimmt.
Ein Zusammenhang, den es hervorzuheben gilt, ist folgender: Für x, y ∈ Qp ist
|x − y|p ≤ p−n
⇐⇒
x − y ∈ pn Zp .
Gilt dies, so sagen wir auch, dass die p-adischen Zahlen x und y kongruent modulo pn sind und
schreiben dafür
x ≡ y (mod pn ).
Proposition 6: Die p-adischen Zahlen Qp sind als topologischer Raum ein total unzusammenhängender Hausdorffraum.
Beweis. Dass Qp ein total unzusammenhängender topologischer Raum ist, folgt aus Abschnitt
1.2.2. Da jeder metrische Raum ein Hausdorffraum ist, also ein Raum in dem je zwei verschiedene Punkte disjunkte Umgebungen besitzen, gilt das auch für Qp .
Wir wollen uns nun einer weiteren topologischen Eigenschaft, nämlich jener der Kompaktheit,
widmen. Dazu wiederholen wir einige in diesem Zusammenhang wichtige Begriffe:
Ein Hausdorffraum X heißt kompakt, wenn jede beliebige offene Überdeckung {Oi }i∈I von X
eine endliche Teilüberdeckung {Oi1 , Oi2 , . . . , OiN } besitzt.
Eine Teilmenge M eines Hausdorffraums X heißt kompakt, wenn zu jeder offenen Überdeckung
{Oi }i∈I von M eine endliche Teilüberdeckung {Oi1 , Oi2 , . . . , OiN } existiert. Versehen mit der
Spurtopologie ist M dann ein kompakter Raum.
Ein Hausdorffraum, in dem jeder Punkt eine Umgebungsbasis aus kompakten Umgebungen
besitzt, heißt ein lokalkompakter Raum.
Ist X ein metrischer Raum, so ist eine Teilmenge von X genau dann kompakt, wenn sie vollständig und total beschränkt ist. Eine Teilmenge M eines metrischen Raumes X heißt total
beschränkt oder präkompakt, wenn es zu jedem > 0 eine endliche Überdeckung von M durch
offene Kugeln gibt, deren Durchmesser kleiner als ist.
45
KAPITEL 4. DER KÖRPER DER P-ADISCHEN ZAHLEN QP
Satz 2:
Zp ist kompakt, Qp ist lokalkompakt.
Beweis. Wir wollen zunächst zeigen, dass Zp als Teilmenge von Qp vollständig und total beschränkt ist. Die Vollständigkeit folgt unmittelbar aus der Tatsache, dass Zp eine abgeschlossene
Menge im vollständigen Körper der p-adischen Zahlen ist.
Da der p-adische Absolutbetrag | |p nur diskrete Werte annimmt, genügt es, eine Überdeckung
von Zp durch endlich viele Kugeln mit Radius p−m , m ∈ N zu finden. Es sei also > 0 beliebig.
Wir wählen dann eine ganze Zahl n so, dass p−n < ist.
Die Abbildung
f : x=
∞
X
xi pi 7→ x0 + x1 p + · · · + xn−1 pn−1 + pn Z
i=0
definiert einen Homomorphismus von Zp nach Z/pn Z. Denn es ist ja f (x) = an−1 (mod pn ),
wobei an−1 das entsprechende Glied der in Satz 1 auf Seite 40 eindeutig bestimmten Folge
darstellt. Daher gilt für x, y ∈ Zp
f (x) + f (y) = an−1
(mod pn ) + bn−1
= an−1 + bn−1
(mod pn )
(mod p )
n
= f (x + y) .
Die Abbildung f hat den Kern
x=
∞
X
∞
X
xi pi ∈ Zp : xi = 0 für 0 ≤ i < n = x = pn
xi+n pi = pn Zp .
i=0
i=0
Aus dem Homomorphiesatz für Gruppen folgt
Zp/pn Zp ∼
= Z/pn Z.
Das bedeutet also, dass es pn Restklassen der Form a + pn Zp mit a ∈ {0, 1, . . . , pn − 1} gibt.
Weiters gilt
n
o
a + pn Zp = x ∈ Zp : |a − x|p ≤ pn = B p−n (a) .
Wir haben also eine vollständige Überdeckung von Zp mit pn Kugeln gefunden und den ersten
Teil des Satzes somit gezeigt.
Um zu beweisen, dass Qp lokalkompakt ist, müssen wir zeigen, dass jede p-adische Zahl eine
kompakte Umgebung besitzt. Da wir nun wissen, dass 0 eine kompakte Umgebung – nämlich
Zp – hat, können wir für ein beliebiges x ∈ Qp die gesuchte Umgebung durch
n
o
x + Zp = y ∈ Qp : |x − y|p ≤ 1 = {y ∈ Qp : x − y ∈ Zp }
definieren. Diese Menge ist als stetige Verschiebung der kompakten Menge Zp wiederum kompakt.
46
4.4. RECHNEN IN QP
4.4
Rechnen in Qp
Die kanonische Darstellung p-adischer Zahlen ermöglicht es uns, konkrete arithmetische Operationen in Qp auszuführen. Im Prinzip funktioniert das Rechnen mit p-adischen Zahlen genauso,
wie wir es vom Dezimalsystem her kennen.
P∞
P∞
Es seien x = i=−m xi pi , y = i=−k yi pi zwei p-adische Zahlen, wobei o.B.d.A. m ≥ k sei.
Dann errechnet sich ihre Summe beziehungsweise ihre Differenz folgendermaßen:
∞
X
z = x ± y,
∞
X
zi pi =
(xi ± yi ) pi ,
i=−m
i=−m
wobei wir, falls m > k ist, für i ∈ {−m, . . . , −k − 1} klarerweise yi = 0 setzen.
Da die Rechenoperationen komponentenweise ausgeführt werden, müssen wir, damit die Ziffern
des Ergebnisses wiederum in der Menge {0, 1, . . . , p − 1} liegen, Überträge berücksichtigen.
Falls also bei der Addition eine Komponente zi > p − 1 ist, setzten wir diese gleich xi + yi − p,
und für die nächste Komponente zi+1 ergibt sich zi+1 = xi+1 +yi+1 +1. Für die Subtraktion gilt
entsprechendes, das heißt, für zi < 0 setzen wir zi = xi −yi +p, und es ist zi+1 = xi+1 −yi+1 −1.
Bei der Multiplikation erhalten wir das Produkt zweier p-adischer Zahlen x, y durch
z =x·y =
∞
X
zi pi ,
i=−m−k
wobei sich die Koeffizienten zi mit Hilfe des Cauchy-Produkts für unendliche Reihen und unter
Berücksichtigung eventuell auftretender Überträge ui folgendermaßen ergeben:
z−m−k ≡ x−m y−k
(mod p),
u0 = (x−m y−k − z−m−k ) /p,
z−m−k+1 ≡ u0 + x−m y−k+1 + x−m+1 y−k
(mod p),
u1 = (u0 + x−m y−k+1 + x−m+1 y−k − z−m−k+1 ) /p,
..
.
n
X
x−m+i y−k+n−i (mod p).
z−m−k+n ≡ un−1 +
i=0
Für ganze p-adische Zahlen ist m = k = 0, dadurch werden die Formeln übersichtlicher.
Bei der Division z/x mit x 6= 0 suchen wir diejenige p-adische Zahl y, die multipliziert mit
x wieder z ergibt. Der Divisionsalgorithmus beruht nun darauf, dass Z/pZ ein Körper ist und
wir somit in jedem Fall ein y−k ∈ {0, 1, . . . , p − 1} finden können, sodass x−m y−k ≡ z−m−k
(mod p) erfüllt ist. Auf diese Weise können wir unter der Berücksichtigung von Überträgen jede
Komponente finden.
Das Ganze soll nun an einigen Beispielen verdeutlicht werden. Um das Rechnen (von Hand) zu
erleichtern, empfiehlt es sich, die p-adischen Zahlen folgendermaßen anzuschreiben:
x = . . . xk xk−1 . . . x1 x0 ,x−1 . . . x−m ,
y = . . . yk yk−1 . . . y1 y0 ,y−1 . . . y−k.
So ist es auch möglich, wie gewohnt von „rechts“ nach „links“ zu rechnen.
47
KAPITEL 4. DER KÖRPER DER P-ADISCHEN ZAHLEN QP
Beispiel 1: Folgende Rechenoperationen werden in Q7 ausgeführt:
. . .210635,23/. . .246622,56
− . . .356424 2 3 = . . . 16604
. . .521211 0 0
− . . .000000 0
. . .521211 0
− . . .630301
. . .560610
− . . .30301
. . .25460
− . . .2256
. . .0260
. . .210635,23
+ . . .246622,56
. . .460561,12
. . .210635,23
− . . .246622,56
. . .631012,34
. . .246622,56
− . . .210635,23
. . .035654,33
. . .2106 3 5,23 × . . .246622,56
. . .5654 1 4 0 4
. . .5444 5 5 1
. . .1603 4 6
. . .6034 6
. . .1404
. . .404
. . .25
. . .6
...
. . .5650,41 1 4
Beispiel 2: Es sei nun 1 = 1+0p+0p2P
+· · ·+0pn +· · · die kanonische Darstellung von 1 in Qp . Wir
∞
wollen uns überlegen, wie x = −1 = i=0 xi pi in Qp aussieht. Da 1 + x gleich dem Nullelement
sein soll und die Addition komponentenweise erfolgt, kommt für x0 ∈ {0, 1, . . . , p − 1} nur
x0 = p−1 in Frage. Somit müssen wir beim Berechnen der nächsten Komponente einen Übertrag
berücksichtigen. Das heißt, es ist auch x1 = p − 1 und es entsteht wiederum ein Übertrag. Auf
diese Weise fortfahrend erhalten wir insgesamt:
x = −1 = (p − 1) + (p − 1) p + (p − 1) p2 + · · · + (p − 1) pn + · · · = (p − 1)
∞
X
pi .
i=0
Mit
Argumentation folgt analog, dass für eine beliebige p-adische Zahl x, x =
P∞ derselben
i
i=−m xi p das additiv inverse Element −x folgende Gestalt haben muss:
−x = (p − x−m ) p−m + (p − 1 − x−m+1 ) p−m+1 + · · · + (p − 1 − x0 ) + (p − 1 − x2 ) p2 + · · · =
∞
X
= 1 · p−m +
(p − 1 − xi ) pi .
i=−m
Beispiel 3: Betrachten wir Beispiel 1, so wird diese Formel bestätigt, denn für x = . . . 210635,23,
y = . . . 246622,56 und z = x − y = . . . 631012,34 ist in Q7
−z = y − x
= . . . 035654,33
= . . . (6 − 6) (6 − 3) (6 − 1) (6 − 0) (6 − 1) (6 − 2) , (6 − 3) (7 − 4) .
P∞
Bemerkung 5: Es ist also P
−1 = (p − 1) i=0 pi , und das heißt, wir können das Einselement
∞
darstellen als 1 = (1 − p) i=0 pi . Weiters sehen wir, dass die unendliche Reihe 1 + p + p2 +
· · · + pn + · · · konvergiert. Ihre Summe ist
∞
X
i=0
48
pi =
1
.
1−p
4.4. RECHNEN IN QP
Bemerkung 6: Unter den diversen Computeralgebrasystemen eignet sich PARI/GP besonders
gut, um mit p-adischen Zahlen zu rechen und um symbolisch Gleichungen im Körper der padischen Zahlen zu verarbeiten.
PARI/GP wurde 1985 von einem Team um den französischen Mathematiker Henri Cohen entwickelt, die Betreuung und Weiterentwicklung des Projekts, das unter http://pari.math.
u-bordeaux.fr erreichbar ist, erfolgt heute an der Université Bordeaux I in Frankreich.
Bei PARI/GP handelt es sich um freie Software, die der GNU General Public License unterliegt.
Dieses Computeralgebrasystem ist vor allem für schnelle zahlentheoretische Berechnung konzipiert, wie zum Beispiel die Faktorisierung ganzer Zahlen in ihre Primfaktoren, enthält aber
darüber hinaus eine Menge von Funktionen, die viele Möglichkeiten im Bereich elliptischer
Kurven, algebraischer Zahlkörper, Polynome, Matrizen, etc. bieten.
Unter http://pari.math.u-bordeaux.fr/dochtml/html.stable findet sich eine in Kategorien
eingeteilte Auflistung der in PARI/GP verfügbaren Funktionen.
Ein weiterer großer Vorteil von PARI/GP ist die Tatsache, dass einige „ausgefallene“ Datentypen direkt eingegeben werden können, wie zum Beispiel p-adische Zahlen.
Eine p-adische Zahl x wird dabei durch x + O(pk ) definiert, wobei k die Genauigkeit darstellt,
also die höchste Potenz, die bei der Berechnung berücksichtigt wird, und p ist natürlich die
entsprechende Primzahl.
Im folgenden Beispiel ist p = 17. Zeilen, die eine Eingabe darstellen, beginnen mit „?“, die
Ergebnisse sind nummeriert und beginnen mit „%“.
? x=15*17^-3+9*17^-1+5+6*17+12*17^2+3*17^3+17^4+O(17^20)
%1 = 15*17^-3 + 9*17^-1 + 5 + 6*17 + 12*17^2 + 3*17^3 + 17^4 + O(17^20)
? -x
%2 = 2*17^-3 + 16*17^-2 + 7*17^-1 + 11 + 10*17 + 4*17^2 + 13*17^3 + 15*17^4 + 16*17^5 + 16*17^6
+ 16*17^7 + 16*17^8 + 16*17^9 + 16*17^10 + 16*17^11 + 16*17^12 + 16*17^13 + 16*17^14 + 16*17^15
+ 16*17^16 + 16*17^17 + 16*17^18 + 16*17^19 + O(17^20)
? -1+O(17^20)
%3 = 16 + 16*17 + 16*17^2 + 16*17^3 + 16*17^4 + 16*17^5 + 16*17^6 + 16*17^7 + 16*17^8 + 16*17^9
+ 16*17^10 + 16*17^11 + 16*17^12 + 16*17^13 + 16*17^14 + 16*17^15 + 16*17^16 + 16*17^17 +
16*17^18 + 16*17^19 + O(17^20)
? -x*-1
%4 = 15*17^-3 + 9*17^-1 + 5 + 6*17 + 12*17^2 + 3*17^3 + 17^4 + O(17^20)
Im weiteren Verlauf werden wir immer wieder PARI/GP zur Unterstützung bei Berechnungen oder zur Veranschaulichung einsetzen.
Die Beispiele haben gezeigt, dass einige p-adische Zahlen eine endliche oder abbrechende padische Entwicklung besitzen, also dass ab einem Index N ∈ N für alle i > N die Ziffer xi = 0
ist. Bei anderen wiederum, wie zum Beispiel bei −1, lässt sich kein solcher Index finden. Wovon
das abhängt, zeigt folgende Proposition:
Proposition 7: Es hat x ∈ Qp genau dann eine endliche p-adische Entwicklung, wenn x als
rationale Zahl nicht negativ ist und diese als Nenner eine Potenz von p besitzt.
49
KAPITEL 4. DER KÖRPER DER P-ADISCHEN ZAHLEN QP
Beweis. (=⇒) Es sei
x=
N
X
xi pi = x−m p−m + · · · + x−1 p−1 + x0 + x1 x + · · · + xN pN
i=−m
= p−m x−m + x−m+1 p + · · · + x−1 pm−1 + x0 pm + · · · + xN pN −m .
Der Zähler entspricht somit einer positiven ganzen Zahl, geschrieben zur Basis p, der Nenner
ist eine Potenz von p.
(⇐=) Es sei umgekehrt x = p−k y. Da x nach Voraussetzung eine positive rationale Zahl ist,
liegtP
y in N. Stellen wir nun y zur Basis p dar, dann erhalten wir eine endliche Summe der Form
N
y = i=0 yi pi . Somit besitzt auch x eine endlich p-adische Entwicklung.
Auch folgendes Resultat beschäftigt sich mit der p-adischen Entwicklung rationaler Zahlen. Wie
bei der Dezimalbruchentwicklung reeller Zahlen können wir auch bei der p-adischen Entwicklung
die Teilmenge der rationalen Zahlen an der schließlich auftretenden Periodität erkennen.
P∞
Proposition 8: Die p-adische Entwicklung i=−m xi pi stellt genau dann eine rationale Zahl x
dar, wenn sie schließlich periodisch wird, das heißt, es gibt dann einen Index N und ein k ∈ N,
sodass xn+k = xn für alle n ≥ N gilt.
Beweis. (⇐=) Wir nehmen zunächst an, die kanonische Darstellung einer p-adischen Zahl x =
P
∞
i
i=−m xi p ist ab dem Index N periodisch.
PN −1
Subtrahieren wir den vorperiodischen Teil i=−m xi pi von x und dividieren das Ergebnis durch
pN , so erhalten wir eine ganze p-adische Zahl y in folgender Form
y = y0 + y1 p + · · · + yk−1 pk−1 + y0 pk + y1 pk+1 + · · · + y0 p2k + · · · .
Wir setzen z = y0 + y1 p + · · · + yk−1 pk−1 , dann ist
y = z 1 + pk + p2k + · · · = z
1
.
1 − pk
Das heißt, y ist eine rationale Zahl und somit auch x. Denn wir erhalten jaPx aus y durch MulN −1
tiplikation mit pN und anschließender Addition des vorperiodischen Teils i=−m xi pi , welcher
nach Proposition 7 eine positive rationale Zahl darstellt.
(=⇒) Es sei umgekehrt x = ab ∈ Q. Der Bruch ab soll in gekürzter Form vorliegen, und wir
nehmen an, dass x als p-adische Zahl in Zp liegt. Dann sind b und p relativ prim, und es gibt
ganze Zahlen cn , dn mit
1 = cn b + dn pn+1 .
Es folgt
a = acn b + adn pn+1 .
Wir wählen nun ein k ∈ Z so, dass acn − kpn+1 in 0, . . . , pn+1 − 1 liegt. Dann ist
a = acn − kpn+1 b + (adn + kb) pn+1
| {z }
|
{z
}
=:rn
=:An
= An b + rn p
n+1
50
.
4.4. RECHNEN IN QP
Dividieren wir beide Seiten durch b, erhalten wir
a
rn
= An + pn+1 .
b
b
Umformen ergibt
rn =
und daraus folgt
a − An b
,
pn+1
a − pn+1 − 1 b
a
≤ rn ≤ n+1 .
pn+1
p
Für n → ∞ ist
−b ≤ rn ≤ 0,
das bedeutet, dass rn nur endlich viele Werte annimmt.
Es gilt
Nun ist
a
rn
rn+1
= An + pn+1
= An+1 + pn+2
.
b
b
b
rn − prn+1
An+1 − An = pn+1
b
n+1
eine ganze Zahl, und da b und pn+1 relativ prim sind, liegt sogar rn −pr
in Z. Somit ist
b
n+1
An+1 ≡ An (mod p
). Die Zahlen An erfüllen genau die Bedingungen
aus
Satz
1 und stellen
P∞
somit die Partialsummen der p-adischen Entwicklung von ab = i=0 xi pi dar.
Daher ist An+1 = An + xn+1 pn+1 , und es folgt
An + pn+1
rn+1
rn
= An + xn+1 pn+1 + pn+2
b
b
und durch Umformen
rn = xn+1 b + prn+1 .
Das gilt für alle n, und da rn nur endlich viele Werte annimmt, gibt es einen Index N und eine
positive ganze Zahl P, sodass rN = rN +P ist. Dann gilt auch
xN +1 b + prN +1 = xN +1+P b + prN +1+P ,
was gleichbedeutend ist mit
(xN +1 − xN +1+P ) b = p (rN +1+P − rN +1 ) .
Da p und b relativ prim sind, wird (xN +1 − xN +1+P ) von p geteilt. Nun liegen aber sowohl
xN +1 als auch xN +1+P in der Menge {0, 1, . . . , p − 1} , und daher gilt xN +1 = xN +1+P . Dann
ist aber auch rN +1 = rN +1+P .
So erhalten wir insgesamt für alle m > N
xm = xm+P und rm = rm+P .
Ist x keine ganze p-adische Zahl, so kann x als Produkt von einer Potenz von p und von einer
0
0
ganzen p-adischen Zahl x dargestellt werden. Wird x schließlich periodisch, so gilt dies auch
für x.
51
KAPITEL 4. DER KÖRPER DER P-ADISCHEN ZAHLEN QP
3 3
= 7−4 · 3 = 74 , x ist also keine
Beispiel 4: Es sei p = 7 und x = 12005
. Dann ist 12005
5 7
7
0
ganze 7-adische Zahl, x = x · 74 = 35 hingegen schon. Vergleichen wir nun die mit PARI/GP
berechneten kanonischen Darstellungen von x und x0 , so sehen wir, dass sie die gleichen Ziffern
und die gleiche Periode besitzen, das Ganze lediglich um eine bestimmte Potenz von p „verschoben“.
? 3/12005*7^4+O(7^20)
%1 = 2 + 4*7 + 5*7^2 +
7^12 + 4*7^13 + 5*7^14
? 3/12005+O(7^20)
%2 = 2*7^-4 + 4*7^-3 +
+ 7^8 + 4*7^9 + 5*7^10
2*7^3 + 7^4 + 4*7^5 + 5*7^6 + 2*7^7 + 7^8 + 4*7^9 + 5*7^10 + 2*7^11 +
+ 2*7^15 + 7^16 + 4*7^17 + 5*7^18 + 2*7^19 + O(7^20)
5*7^-2 + 2*7^-1 + 1 + 4*7 + 5*7^2 + 2*7^3 + 7^4 + 4*7^5 + 5*7^6 + 2*7^7
+ 2*7^11 + 7^12 + 4*7^13 + 5*7^14 + 2*7^15 + 7^16 + 4*7^17 + 5*7^18 +
2*7^19 + O(7^20)
4.5
Henselsches Lemma
Als Nächstes wollen wir uns mit Wurzeln von p-adischen Zahlen beschäftigen. Wir nennen
x ∈ Qp eine n-te Wurzel von a ∈ Qp, wenn x eine Lösung des Polynoms X n − a = 0 ist.
Es sei zum Beispiel a = 11 in Q7 , dann bezeichnen wir eine p-adische Zahl x, die der Gleichung
x0 + x1 · 7 + x2 · 7 2 + · · ·
2
=4+1·7
genügt, als Quadratwurzel von a.
Hier muss also x folgendermaßen beschaffen sein: Zunächst muss x20 ≡ 4 (mod 7) gelten. Wir
sehen sofort, dass x0 = 2 die Eigenschaft besitzt, aber auch x0 = 5 liefert das Gewünschte.
Für den nächsten Koeffizienten x1 folgt aus unseren Überlegungen zur Multiplikation, dass
1 ≡ u + 2x0 x1 (mod 7) gelten muss, wobei u den eventuell auftretenden Übertrag bezeichnet.
Für x0 = 2 ist auch x1 = 2, im Fall x0 = 5 ist x1 = 4, da der Übertrag gleich 3 ist. Die
Berechnung ist noch nicht zu Ende, denn in beiden Fällen bleibt ein neuerlicher Übertrag.
Die nächste Ziffer x2 muss der Bedingung 0 = u + 2x0 x2 + x21 (mod 7) genügen. Wenn auch
hier wieder ein Übertrag entsteht, fahren wir auf diese Weise fort. Insgesamt erhalten wir
0
die beiden Wurzeln x = 2 + 2 · 7 + 4 · 72 + 4 · 73 + 3 · 74 + 3 · 75 + · · · und x = −x =
5 + 4 · 7 + 2 · 72 + 2 · 73 + 3 · 74 + 3 · 75 + · · · .
Suchen wir hingegen die Quadratwurzeln von a = 7 in Q11 , so stellt sich heraus, dass wir kein
x0 finden können mit x20 ≡ 7 (mod 11), denn 7 ist kein quadratischer Rest modulo 11.
In Q7 besitzt das Polynom X 3 −a = 0 für a = 6 drei verschiedene Nullstellen, denn es ist x30 ≡ 6
(mod 7) für x0 ∈ {3, 5, 6}. Diese sind 3+3·7+2·72 +2·73 +4·74 +· · · , 5+5·7+2·72 +2·73 +74 · · ·
sowie 6 + 4 · 7 + 72 + 2 · 73 + 74 + · · · , und wir nennen sie die Kubikwurzeln von 6 in Q7 .
Für a ∈ {2, 3, 4, 5, 7, 9, . . . } besitzt dieses Polynom in Q7 hingegen keine Nullstellen.
Bevor wir uns einer Methode widmen, mit der es leicht möglich ist, über die Existenz von
Nullstellen eine Aussage zu treffen, bietet es sich an dieser Stelle an, eine Gemeinsamkeit von
Qp und R hervorzuheben. Dazu benötigen wir folgende Definition:
52
4.5. HENSELSCHES LEMMA
Definition 3: Ein Körper K heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nichtkonstante Polynom
mit Koeffizienten in K eine Nullstelle besitzt.
Die reellen Zahlen sind nicht algebraisch abgeschlossen, denn das Polynom X 2 + 1 = 0 hat keine
Lösung in R. Auch für Qp gilt:
Proposition 9: Der Körper der p-adischen Zahlen ist nicht algebraisch abgeschlossen.
Beweis. Betrachten wir das Polynom X 2 − a über Qp , dann besitzt es keine Nullstellen, wenn
wir im Falle p > 2 für a einen quadratischen Nichtrest in Z modulo p wählen und im Falle p = 2
zum Beispiel a = 5 setzen.
Nun zu folgendem wichtigen Resultat, mit dem es sich in den meisten Fällen rasch entscheiden
lässt, ob ein Polynom über Zp eine Nullstelle besitzt oder nicht:
Satz 3 (Henselsches Lemma – 1. Version): Es sei F (X) = c0 + c1 X + · · · + cn X n ein Polynom mit
0
Koeffizienten in Zp und F (X) = c1 + 2c2 X + · · · + ncn X n−1 die (formale) Ableitung von F (X).
Gibt es ein a0 ∈ Zp mit
F (a0 ) ≡ 0
(mod p)
und
0
F (a0 ) 6≡ 0
(mod p),
dann existiert ein eindeutig bestimmtes a ∈ Zp , sodass F (a) = 0 und a ≡ a0 (mod p) erfüllt
sind.
Beweis. Wir haben das Henselsche Lemma bereits in Proposition 4 in Kapitel 2 vorweggenommen. Die im dortigen Beweis vorgestellte Theorie des Lösens algebraischer Kongruenz lässt sich
hier in gleicher Weise auf das Polynom X n − a = 0 anwenden.
Die erste Kongruenz F (X) ≡ 0 (mod p) ist lösbar, das ist hier für a0 vorausgesetzt. Wegen
0
F (a0 ) 6≡ 0 (mod p), was ja ebenfalls Voraussetzung des Satzes ist, ist klar, dass wir eine
eindeutig bestimmte Folge (an )n≥0 finden können, die gegen a ∈ Zp konvergiert. Wie sich diese
Folge berechnet ist ebenballs in Proposition 4 auf Seite 29 beschrieben.
Bemerkung 7: Das Henselsche Lemma wird oft mit dem Newtonschen Näherungsverfahren
zur Bestimmung einer Nullstelle einer stetig differenzierbaren, reellen Funktion verglichen. Im
Gegensatz zu diesem liegt im p-adischen Fall unter den angeführten Voraussetzungen immer
Konvergenz vor.
Betrachten wir nun nochmals das eingangs erwähnte Problem, die Quadratwurzeln von 11 in
Q7 zu finden, so ist dies gleichbedeutend damit, die Nullstellen von F (X) = X 2 − 11 in Q7 zu
eruieren. Mit Hilfe des Henselschen Lemmas sehen wir sofort, dass sowohl für a0 = 2 als auch
0
für a0 = 5 einerseits F (a0 ) ≡ 4 (mod 7) und andererseits F (a0 ) = 2a0 6≡ 0 (mod 7) erfüllt ist.
Allerdings können wir Satz 3 nicht verwenden, um zum Beispiel die Quadratwurzeln von
F (X) = X 2 − 17 in Q2 oder die Kubikwurzel von F (X) = X 3 − 82 in Q3 zu finden, denn
0
in diesen Fällen ist für die jeweilige Primzahl p die Bedingung F (a0 ) 6≡ 0 (mod p) für kein
a0 ∈ Zp erfüllt.
Um Polynome dieser Art zu untersuchen, benötigen wir eine stärkere Version des Henselschen
Lemmas:
53
KAPITEL 4. DER KÖRPER DER P-ADISCHEN ZAHLEN QP
Satz 4 (Henselsches Lemma – 2. Version):
a0 ∈ Zp mit
0
Es seien F (X) und F (X) wie in Satz 3, und es sei
0
2
|F (a0 )|p < F (a0 )p ,
dann gibt es ein a ∈ Zp , sodass
F (a) = 0
ist.
Beweis. Es seien die Polynome Fj (X) (j = 1, 2, . . . , n) durch folgende Identität definiert
n
2
F (X + Y ) = c0 + c1 (X + Y ) + c2 (X + Y ) + · · · + cn (X + Y )
= c0 + c1 X + c1 Y + c2 X 2 + 2c2 XY + c2 Y 2 + · · · + cn
X
n n
X k Y n−k
k
k=0
= c0 + c1 X + c2 X 2 + · · · + cn X n + c1 Y + 2c2 XY + · · · + ncn X n−1 Y + · · ·
= F (X) + F1 (X)Y + F2 (X)Y 2 + · · · + Fn (X) Y n ,
wobei X und Y zwei Unbestimmte sind. Dann ist
0
F1 (X) = c1 + 2c2 X + · · · + ncn X n−1 = F (X).
Wir wählen ein b0 so, dass
F (a0 ) + b0 F1 (a0 ) = 0
erfüllt ist. Bei b0 handelt es sich um eine ganze p-adische Zahl, denn es gilt
|b0 |p =
|F (a0 )|p
|F (a0 )|p
0
0
< F (a0 )p ≤ 1
Wegen F (a0 ) + b0 F1 (a0 ) = 0 gilt
|F (a0 + b0 )|p ≤ max Fj (a0 ) bj0 p ,
2≤j≤n
und da Fj (X) ∈ Zp [X] und a0 ∈ Zp sind, gilt |Fj (a0 )|p ≤ 1 und somit
2
|F (a0 + b0 )|p ≤
2
|b0 |p
=
|F (a0 )|p
2
|F 0 (a0 )|p
< |F (a0 )|p .
Es ist
|F1 (a0 + b0 ) − F1 (a0 )|p = 2c2 b0 + 6c3 a0 b0 + 3c3 b20 + · · · + ncn bn−1
0
p
n−2 = |b0 |p 2c2 + 6c3 a0 + 3c3 b0 + · · · + ncn b0
p
0
≤ |b0 |p < F (a0 ) p = |F1 (a0 )|p ,
und mit Hilfe der nichtarchimedischen Dreiecksungleichung folgt
|F1 (a0 + b0 )|p = |F1 (a0 )|p .
54
4.5. HENSELSCHES LEMMA
Wir wiederholen das Ganze zunächst für a1 := a0 + b0 , danach für a2 := a1 + b1 , etc. Die so
erhaltene Folge erfüllt
|F1 (an )|p = |F1 (a0 )|p
für alle an = an−1 + bn−1 sowie
2
|F (an+1 )|p ≤
|F (an )|p
2
|F1 (an )|p
2
=
|F (an )|p
2.
|F1 (a0 )|p
Also gilt F (an ) → 0 für n → ∞. Auch die Folge (an )n≥0 konvergiert gegen ein a ∈ Zp , denn es
ist
|F (an )|p
|F (an )|p
|an+1 − an |p = |bn |p =
=
,
|F1 (an )|p
|F1 (a0 )|p
und wir erhalten insgesamt F (a) = 0.
Beispiel 5: Mit Hilfe des eben Gezeigten wollen wir nun untersuchen, ob das Polynom F (X) =
X 2 − 17 Wurzeln in Q2 besitzt.
0
2
Es ist F (X) = 2X. Es sei a0 = 1, dann ist |1 − 17|2 = 2−4 < 2−2 = |2|2 . Die Bedingungen von
Satz 4 sind somit erfüllt, und wir können folgende zwei Lösungen berechnen: x1 = 1 + 23 + 25 +
26 + 27 + 29 + 210 + · · · und x2 = 1 + 2 + 22 + 24 + 28 + 211 + 212 + · · · .
2
Für F (X) = X 3 − 82 über Q3 ist a0 = 1 und |−81|3 = 3−4 < 3−2 = |3|3 . Wir erhalten die
Kubikwurzel x = 1 + 33 + 2 · 36 + 2 · 37 + 38 + 39 + 2 · 311 + · · · .
Beispiel 6: Wir wollen ein paar Funktionen besprechen, die PARI/GP in diesem Zusammenhang
zur Verfügung stellt.
Die Funktion polrootspadic(pol,p,r) ermöglicht uns genau das, was wir eben besprochen
haben, nämlich die Nullstellen eines Polynoms pol in Qp bis zu der r-ten Potenz von p zu bestimmen. Die Nullstellen werden als Spaltenvektor ausgegeben, mehrfach auftretende Nullstellen
werden nur einmal ausgegeben.
Natürlich gibt es auch sqrt(x) beziehungsweise sqrtn(x,n), mit denen es möglich ist, eine
Quadratwurzel beziehungsweise eine n−te Wurzel von x zu eruieren.
Sollen nur einzelne Schritte mit Unterstützung des Computeralgebrasytems durchgeführt werden, sind folgende Befehle von Nutzen: Mit valuation(x,p) kann die p-adische Ordnung von
x bestimmt werden.
Die Ableitung von x nach y erhalten wir mit deriv(x,y). Mod(x,y) berechnet x modulo y.
Mit subst(x,y,z) wird im Ausdruck x die Variable y durch z ersetzt.
Auch interessant ist factorpadic(pol,p,r). Damit ist es möglich, ein Polynom pol über Qp zu
faktorisieren, wobei die Koeffizienten von pol bis zur r-ten Potenz von p berechnet werden. Das
Ergebnis wird als zweispaltige Matrix ausgegeben, in der ersten Spalte stehen die irreduziblen
Faktoren und in der zweiten deren Exponenten.
55
KAPITEL 4. DER KÖRPER DER P-ADISCHEN ZAHLEN QP
? a=220+O(233^10)
%1 = 220 + O(233^10)
? sqrt(a)
%2 = 57 + 145*233 + 97*233^2 + 30*233^3 + 75*233^4 + 123*233^5 + 202*233^6 + 233^7 + 80*233^8 +
23*233^9 + O(233^10)
? f=x^2-a
%3 = x^2 + (13 + 232*233 + 232*233^2 + 232*233^3 + 232*233^4 + 232*233^5 + 232*233^6 + 232*233^7
+ 232*233^8 + 232*233^9 + O(233^10))
? polrootspadic(f,233,10)
%4 = [57 + 145*233 + 97*233^2 + 30*233^3 + 75*233^4 + 123*233^5 + 202*233^6 + 233^7 + 80*233^8 +
23*233^9 + O(233^10), 176 + 87*233 + 135*233^2 + 202*233^3 + 157*233^4 + 109*233^5 + 30*233^6 +
231*233^7 + 152*233^8 + 209*233^9 + O(233^10)]~
? factorpadic(f,233,10)
%5 =
[(1 + O(233^10))*x + (57 + 145*233 + 97*233^2 + 30*233^3 + 75*233^4 + 123*233^5 + 202*233^6 +
233^7 + 80*233^8 + 23*233^9 + O(233^10)) 1]
[(1 + O(233^10))*x + (176 + 87*233 + 135*233^2 + 202*233^3 + 157*233^4 + 109*233^5 + 30*233^6 +
231*233^7 + 152*233^8 + 209*233^9 + O(233^10)) 1]
4.5.1
Quadratwurzeln in Qp
Bevor wir uns überlegen, wie
P∞Quadratzahlen in Qp aussehen, sei darauf hingewiesen, dass für
eine p-adische Einheit a = i=0 ai pi klarerweise gilt, dass sie genau dann eine Quadratwurzel
besitzt, wenn a0 ein quadratischer Rest modulo p ist.
Ist nämlich a0 ein quadratischer Rest modulo p, so sind die Voraussetzung für das Henselsche
Lemma erfüllt, und X 2 − a besitzt Nullstellen in Z×
p.
Ist umgekehrt a0 ein
quadratischer Nichtrest modulo p, so können wir natürlich auch keine
P∞
p-adische Zahl b = i=0 bi pi finden mit b20 = a0 (mod p). Das ist aber die Voraussetzung für
b2 = a.
Nun zu Qp :
Korollar 3: Es sei p 6= 2 eine Primzahl. Eine p-adische Zahl a ist genau dann ein Quadrat,
wenn sie als Produkt a = p2n · 2 mit n ∈ Z und ∈ Z×
p geschrieben werden kann. Die
2
2
×
2
×
×
Quotientengruppe Qp /(Qp ) , wobei Qp der Menge b : b ∈ Qp entspricht, hat die Ordnung
vier. Ist c ∈ Z×
p ein quadratischer Nichtrest modulo p, dann bildet die Menge {1, p, c, cp} ein
vollständiges Repräsentantensystem.
Beweis. Betrachten wir das Polynom F (X) = X 2 − a. Für eine Lösung b ∈ Qp dieser Gleichung
muss gelten, dass ordp (b2 ) = 2ordp (b) = ordp (a) ist. Wie wir wissen, kann jedes b ∈ Qp als
2
2ordp (b) 2
b = pordp (b) mit ∈ Z×
. Ist umgekehrt
p geschrieben werden, daher ist a = b = p
2n
2
n
a = p · , so ist b = p · .
×
Die quadratischen Reste modulo p bilden eine Untergruppe von (Z/pZ) vom Index zwei. Daraus
folgt nun
2
Z
Q×
∼
p /(Q×
= p /p2Z
p)
× Z×p /(Z×p )2
∼
= Z/2Z
× Z/2Z.
Es sei c ∈ {1, . . . , p − 1} ein quadratischer
Nichtrest modulo p,als quadratischen Rest modulo
p wählen wir 1. Dann bildet die Menge p0 · 1, p · 1, p0 · c, p · c = {1, p, c, pc} ein vollständiges Repräsentantensystem.
56
4.5. HENSELSCHES LEMMA
Als Nächstes betrachten wir den Fall p = 2 noch etwas genauer:
Korollar 4: Es sei a ∈ Z×
2 . Es ist a genau dann ein Quadrat in Z2 , wenn a ≡ 1 (mod 8)
×
2
erfüllt ist. Die Quotientengruppe Q2 /(Q×
2 ) hat die Ordnung Acht. Außerdem bildet die Menge
{1, −1, 5, −5, 2, −2, 10, −10} ein vollständiges Repräsentantensystem.
2
2
2
Beweis. Es sei a = b2 ∈ Z×
,
2 für ein b = 1 + b1 2 + b2 2 + · · · = 1 + 2c. Dann ist b = 1 + 4 c + c
und da c ≡ c2 (mod 2) in Z2 gilt, ist b2 ≡ 1 (mod 8).
Für die Umkehrung wenden wir Satz 4, also die stärkere Version des Henselschen Lemmas, an. Es
sei a ≡ 1 (mod 8) und F (X) = X 2 − a. Wir suchen ein b0 ∈ Zp , sodass F (b0 ) ≡ 0 (mod 2) und
2
0
2
|F (b0 )|2 < F (b0 ) erfüllt sind. Klarerweise ist b0 = 1, und somit gilt |8c|2 ≤ 2−3 < 2−2 = |2|2
2
für c ∈ Zp . Die Bedingungen des Lemmas sind erfüllt, es gibt somit ein b ∈ Zp mit b2 = a.
Es ist
×
× 2 ∼ 2Z 2Z
Q×
2 /(Q2 )
/2 × Z2 /(Z×2 )2 .
=
×
2
× 2
= 1 + 8Zp . Betrachten wir also Z2 /(Z×
Es ist Z×
2 ) , so ergibt
2 = 1 + 2Z2 und nach oben Z2
sich die Menge aller Restklassen durch
1+2c1 +22 c2 +23 Z2 : ci ∈ {0, 1} = 1+23 Z2 , 1+2+23 Zp , 1+22 +23 Z2 , 1+2+22 +23 Z2 .
In Z2 gilt −1 = 1 + 2 + 22 + 23 + · · · beziehungsweise −5 = 1 + 2 + 23 + · · · .
Insgesamt erhalten wir
× 2 ∼ 2Z 2Z
Q×
2 /(Q2 )
/2
=
× (1+2Z2 )/(1+8Z2 )
∼
= Z/2Z
× Z/2Z × Z/2Z,
und als vollständiges Repräsentantensystem der Restklassen
0
2 ·1, 20 ·(−1) , 20 ·5, 20 ·(−5) , 21 ·1, 21 ·(−1) , 21 ·5, 21 ·(−5) = {±1, ±5, ±2, ±10} .
In der Produktformel in Proposition 3 auf Seite 28 haben wir gesehen, dass eine enge Verbindung
zwischen dem „gewöhnlichen“ Absolutbetrag und den p-adischen Absolutbeträgen besteht. Folgendes Resultat stellt einen Zusammenhang aller Vervollständigungen von Q her:
Proposition 10: Eine rationale Zahl x ist genau dann ein Quadrat in Q, wenn x in jedem Qp
für p ∈ P und in R ein Quadrat ist.
Beweis. (=⇒) Ist x ein Quadrat in Q, dann ist x natürlich auch ein Quadrat in R und in jedem
Qp .
(⇐=) Für jede rationale Zahl x, x 6= 0 gilt
x=±
Y
pordp (x) .
p∈P
In R ist x genau dann ein Quadrat, wenn x positiv ist. Wie wir uns bereits überlegt haben,
ist x in Qp genau dann ein Quadrat, wenn x als Produkt x = p2n · 2 mit n ∈ Z und ∈ Z×
p
geschrieben werden kann. Somit haben alle Primfaktoren von x gerade Exponenten, x ist also
ein Quadrat in Q.
57
KAPITEL 4. DER KÖRPER DER P-ADISCHEN ZAHLEN QP
Bemerkung 8: Diese Proposition ist ein Beispiel für das sogenannte Lokal-Global-Prinzip der
Zahlentheorie, welches besagt, dass bei manchen diophantischen Gleichungen, also Gleichungen
des Typs
F (X1 , X2 , . . . , Xn ) = 0,
F (X1 , X2 , . . . , Xn ) ∈ Z [X1 , X2 , . . . , Xn ] ,
bei denen nur Lösungen in den ganzen oder rationalen Zahlen von Interesse sind, durch die
Betrachtung der lokalen Lösungen, also der Lösungen in R und in Qp für alle p ∈ P, auf die
Existenz oder Nicht-Existenz von globalen Lösungen, also Lösungen in Q, geschlossen werden
kann. Leider ist dieses Prinzip nicht allgemein gültig, wie folgendes Gegenbeispiel beweist: Wir
betrachten die Gleichung
F (X) = X 2 − 2 X 2 − 17 X 2 − 34 = 0.
√
√
√
Diese besitzt in R die Nullstellen ± 2, ± 17 sowie ± 34. In Qp verwenden wir, um die
Gleichung zu lösen, das Henselsche Lemma. Die dazu benötige Ableitung von F (X) ist
0
F (X) = 2X
X 2 − 17
X 2 − 34 + X 2 − 2 X 2 − 34 + X 2 − 2 X 2 − 17 .
Für p = 2 verwenden wir die zweite Version
0 des Henselschen Lemmas. Wir wählen a0 = 1.
Dann sind |F (a0 )|2 = |−528|2 = 2−4 und F (a0 )2 = |1154|2 = 2−1 . Die Bedingung
0
2
|F (a0 )|2 < F (a0 )2
ist somit erfüllt, und F (X) ist in Q2 lösbar. Es ist zum Beispiel 17 = 1 + 24 ein Quadrat in Q2 .
Nun sei p = 17. Dann ist 62 ≡ 2 (mod 17). Wir wählen also in der ersten Version des
Henselschen Lemmas a0 = 6. Es ist
0
F (6) = 9024 ≡ 14
(mod 17),
die geforderten Bedingungen sind also erfüllt, und F (X) besitzt in Q17 Wurzeln.
×
Für p 6= 2 und p 6= 17 gilt folgendes: Es ist (Z/pZ) zyklisch, deshalb gibt es eine Primitivwurzel
g modulo p, die diese Gruppe erzeugt, und wir können uns leicht überlegen, dass genau jene
Elemente quadratische Reste darstellen, die von einer geraden Potenz von g erzeugt werden.
Denn ist a ein quadratischer Rest modulo p, so ist x2 ≡ a (mod p) lösbar. Es ist also x ≡ g j
(mod p) für ein j, und daraus folgt, dass a ≡ g 2j (mod p) gilt. Ist umgekehrt a ≡ g 2j (mod p),
dann ist x = g j eine Lösung von x2 ≡ a (mod p).
Tritt nun für eine Primzahl p der Fall ein, dass weder 2 noch 17 quadratische Reste modulo
p sind, dann gibt es ungerade ganze Zahlen m und n, sodass 2 ≡ g m (mod p) und 17 ≡ g n
(mod p) für eine Primitivwurzel g modulo p gilt. Dann sehen wir aber, dass 2 · 17 ≡ g m+n
(mod p) von einer geraden Potenz von g erzeugt wird, nach unseren Überlegungen also einen
quadratischen Rest modulo p darstellt.
Das heißt, wir können immer ein a0 finden, sodass F (a0 ) ≡ 0 (mod p) gilt. Auch die Bedingung
0
F (a0 ) 6≡ 0 (mod p) ist dann erfüllt, denn einer der Terme in der Klammer ist ungleich Null.
Wir haben somit gezeigt, dass die Gleichung in R und in allen Qp√lösbar√ ist. Allerdings gibt
es√in Q keine Lösung der Gleichung F (X), da keine der Wurzeln ± 2, ± 17 beziehungsweise
± 34 rational ist.
58
4.5. HENSELSCHES LEMMA
Denn ist F (X) = X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 ein normiertes Polynom mit ganzzahligen
Koeffizienten und einer rationalen Nullstelle r, so gibt es ganze Zahlen s und t mit ggT(s, t) = 1
und r = st . Dann ist
s n
t
beziehungsweise
+ an−1
s n−1
t
+ · · · + a1
s
t
+ a0 = 0
sn + an−1 sn−1 t + · · · + a1 stn−1 + a0 tn = 0.
Es muss t den ersten Term sn teilen, denn t teilt offensichtlich jeden anderen Term wie auch
die rechte Seite der Gleichung. Da jedoch t und s relativ prim sind, muss t ein Teiler von Eins
sein. Dann ist aber t ∈ {±1}, und r ist eine ganze Zahl.
Betrachten wir nun das Polynom X 2 − a, a ∈ Z, so folgt aus dem eben Gezeigten, dass nur die
Wurzeln der „Quadratzahlen“ {1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .} rational sind, die Quadratwurzeln aller
anderen natürlichen Zahlen – also auch jene von 2, 17 und 34 – sind irrational.
Das heißt, „überall lokal lösbar“ zu sein, ist nicht dasselbe wie „global lösbar“ zu sein.
In einigen Fällen gilt jedoch das Prinzip. So besagt zum Beispiel der berühmte Satz von HasseMinkowski, dass für eine quadratische Form F (X1 , X2 , . . . , Xn ), also für ein homogenes Polynom vom Grad 2 in n Variablen, mit Koeffizienten aus Q, die Gleichung
F (X1 , X2 , . . . , Xn ) = 0
genau dann nichttriviale Lösungen in Q besitzt, wenn es nichttriviale Lösungen in R und in
jedem Qp , p ∈ P gibt (siehe zum Beispiel [2], S. 61).
4.5.2
Einheitswurzeln
Zunächst wollen wir uns folgende Definition in Erinnerung rufen:
Definition 4: Ein Element ζ eines Körpers heißt eine m-te Einheitswurzel, wenn ζ m = 1 ist. Gilt
zusätzlich ζ n 6= 1 für 0 < n < m, dann heißt ζ eine primitive m-te Einheitswurzel.
Betrachten wir nun ein ζ ∈ Qp mit ζ m = 1. Dann gilt |ζ|p = 1, was bedeutet, dass alle p-adischen
Einheitswurzeln in Z×
p liegen.
Wir wollen uns nun überlegen, welche Einheitswurzeln existieren. Um folgende Proposition zu
beweisen, benötigen wir wieder das Henselsche Lemma.
Proposition 11: Für jede Primzahl p und für jede positive ganze Zahl m, die zu p relativ prim
ist, gibt es in Qp genau dann eine m-te Einheitswurzel, wenn m ein Teiler von (p − 1) ist. In
diesem Fall ist jede m-te Einheitswurzel auch eine (p − 1)-te Einheitswurzel. Die Menge der
(p − 1)-ten Einheitswurzeln bildet eine zyklische Untergruppe von Z×
p der Ordnung (p − 1).
Beweis. Es sei m ein Teiler von (p − 1). Dann ist p − 1 = km für ein k ≥ 1. Daher ist jede m-te
Einheitswurzel auch eine (p − 1)-te Einheitswurzel.
0
Wir betrachten das Polynom F (X) = X p−1 − 1 mit der Ableitung F (X) = (p − 1)X p−2 und
wählen x0 ∈ Z×
p so, dass 1 ≤ x0 ≤ p − 1 erfüllt ist.
59
KAPITEL 4. DER KÖRPER DER P-ADISCHEN ZAHLEN QP
Nach dem kleinen
Satz gilt x0p−1 ≡ 1 (mod p), das heißt, es ist F (x0 ) ≡ 0 (mod p).
0 Fermatschen
0
Weiters ist F (x0 )p = 1, und das bedeutet, dass F (x0 ) 6≡ 0 (mod p) gilt.
Wir können also das Henselsche Lemma für jedes x0 ∈ {0, . . . , p − 1} anwenden und erhalten
so (p − 1) inkongruente Einheitswurzeln.
Es sei umgekehrt a ∈ Qp eine m-te Einheitswurzel. Wir wissen bereits, dass a dann in Z×
p liegt.
Es sei a0 die erste Ziffer von a. Da m ein Teiler von (p − 1) ist, gilt auch am
0 ≡ 1 (mod p).
Wie wir wissen, besitzt ein Polynom F (X) ∈ K[X] vom Grad n höchstens n Nullstellen in K.
Deshalb besitzt das von uns betrachtete Polynom X p−1 − 1 in Qp nicht mehr als p − 1 Wurzeln.
Da jede Einheitswurzel eine Wurzel dieses Polynoms sein muss, sind das alle Einheitswurzeln
in Qp .
Die Einheitswurzeln bilden eine multiplikative Gruppe. Da jede endliche Untergruppe eines
Körpers zyklisch ist, ist die Gruppe der (p − 1)-ten Einheitswurzeln eine zyklische Untergruppe
von Z×
p der Ordnung (p − 1).
Beispiel 7: Die 6−ten Einheitswurzeln in Q7 sind folgende:
? polrootspadic(x^6-1,7,10)
%1 = [1 + O(7^10), 2 + 4*7 + 6*7^2 + 3*7^3 + 2*7^5 + 6*7^6 + 2*7^7 + 4*7^8
3 + 4*7 + 6*7^2 + 3*7^3 + 2*7^5 + 6*7^6 + 2*7^7 + 4*7^8 + 3*7^9 + O(7^10),
+ 6*7^4 + 4*7^5 + 4*7^7 + 2*7^8 + 3*7^9 + O(7^10), 5 + 2*7 + 3*7^3 + 6*7^4
+ 2*7^8 + 3*7^9 + O(7^10), 6 + 6*7 + 6*7^2 + 6*7^3 + 6*7^4 + 6*7^5 + 6*7^6
6*7^9 + O(7^10)]~
+
4
+
+
3*7^9
+ 2*7
4*7^5
6*7^7
+
+
+
+
O(7^10),
3*7^3
4*7^7
6*7^8 +
Bemerkung 9: Die (p − 1)-ten Einheitswurzeln bilden also zusammen mit {0} ein vollständiges
Repräsentantensystem modulo p.
Diese Menge heißt Teichmüller Repräsentantensystem, und es wäre absolut äquivalent, die
Darstellung einer p-adischen Zahl als „kanonisch“ zu definieren, wenn die Ziffern aus dieser
Menge gewählt würden anstatt aus {0, 1, . . . , p − 1} .
In PARI/GP kann mit der Funktion teichmuller(x) der Teichmüller Repräsentant von x ∈ Qp
berechnet werden, also jene (p − 1)-te Einheitswurzel, die kongruent zu xp−ordp (x) modulo p ist.
Betrachten wir wieder Q7 und die in Beispiel 7 berechneten Einheitswurzeln:
? a=2*7^2+1*7^3+1*7^4+O(7^10)
%1 = 2*7^2 + 7^3 + 7^4 + O(7^10)
? teichmuller(a)
%2 = 2 + 4*7 + 6*7^2 + 3*7^3 + 2*7^5 + 6*7^6 + 2*7^7 + O(7^8)
? b=6*7^-3+5*7^-2+1*7^-1+0+4*7+2*7^2+O(7^10)
%3 = 6*7^-3 + 5*7^-2 + 7^-1 + 4*7 + 2*7^2 + O(7^10)
? teichmuller(b)
%4 = 6 + 6*7 + 6*7^2 + 6*7^3 + 6*7^4 + 6*7^5 + 6*7^6 + 6*7^7 + 6*7^8 + 6*7^9 + 6*7^10 + 6*7^11 +
6*7^12 + O(7^13)
? teichmuller(13+O(7^10))
%5 = 6 + 6*7 + 6*7^2 + 6*7^3 + 6*7^4 + 6*7^5 + 6*7^6 + 6*7^7 + 6*7^8 + 6*7^9 + O(7^10)
60
4.6. ANALYSIS IN QP
4.6
Analysis in Qp
In diesem Abschnitt sollen einige Definitionen und Resultate, die in der reellen Analysis von
fundamentaler Bedeutung sind, im p-adischen Kontext betrachtet werden. Die Voraussetzungen
dafür sind ja gegeben: Die p-adischen Zahlen bilden einen mit einem Absolutbetrag ausgestatteten Körper, der bezüglich der induzierten Metrik vollständig ist. Wie R ist Qp lokalkompakt
und enthält die rationalen Zahlen als dichte Teilmenge.
Jedoch ist der betrachtete Absolutbetrag ein nichtarchimedischer, und wir haben in Kapitel 1 bereits einige „sonderbare“ Konsequenzen dieses Umstands kennengelernt. So ist Qp zum
Beispiel ein total unzusammenhängender metrischer Raum, Mengen sind sowohl offen als auch
abgeschlossen und alle Dreiecke sind „gleichschenklig“. Deshalb stellt sich die Frage, ob es überhaupt möglich ist, in Qp auf sinnvolle Weise Analysis zu betreiben. Wie wir gleich sehen werden,
ist dies tatsächlich der Fall. Es ist sogar so, dass durch das Vorliegen einer Ultrametrik vieles
einfacher wird – gerade auch was das Beurteilen des Konvergenzverhaltens von Folgen und
Reihen betrifft.
4.6.1
Folgen und Reihen
In Lemma 2 auf Seite 29 haben wir gesehen, dass eine Folge (xn )n≥0 in Q bezüglich eines
nichtarchimedischen Absolutbetrags | | genau dann eine Cauchyfolge ist, wenn |xn+1 − xn | → 0
für n → ∞ gilt. Dieses Resultat lässt sich ohne Probleme auf Qp übertragen, und da dieser
Körper vollständig ist, können wir hier sogar von Konvergenz sprechen, das heißt:
Eine Folge (xn )n≥0 in Qp konvergiert genau dann, wenn limn→∞ |xn+1 − xn |p = 0 ist.
Für die Absolutbeträge der Folgeglieder einer konvergenten Folge (xn )n≥0 gilt in Qp außerdem,
dass entweder limn→∞ |xn |p = 0 oder aber, ab einem Index N, |xm |p = |xN |p für alle m ≥ N
ist.
Der erste Fall gilt klarerweise genau dann, wenn es sich bei der betrachteten Folge um eine
Nullfolge handelt. Im zweiten Fall konvergiert die Folge daher nicht gegen Null, und wir können
für ein > 0 einen Index N1 finden, sodass |xn |p > für alle n ≥ N1 erfüllt ist. Da es sich
um eine Cauchyfolge handelt, gibt es auch einen Index N2 , sodass für alle n, m ≥ N2 gilt
|xm − xn |p < . Es sei nun N := max {N1 , N2 } , dann folgt wegen |xm |p = |xm − xN + xN |p ≤
n
o
max |xm − xN |p , |xN |p , dass |xm |p = |xN |p für alle m ≥ N ist. Ist x der Grenzwert dieser
Folge, dann gilt außerdem |x|p = limn→∞ |xn |p = |xN |p .
P∞
Pn
Eine Reihe i=0 xi heißt konvergent, wenn die Folge ihrer Partialsummen sn = i=0 xi konvergiert. Ist x P
= limn→∞ sn , dann heißt x auch die Summe der unendlichen Reihe, und wir
∞
schreiben x = i=0 xi .
P∞
Proposition 12: Eine Reihe i=0 xi mit xi ∈ Qp für alle i ∈ N konvergiert genau dann, wenn
|xi |p → 0 für i → ∞ gilt. Es ist dann
∞
X
xi ≤ max |xi |p .
i=0
p
i
61
KAPITEL 4. DER KÖRPER DER P-ADISCHEN ZAHLEN QP
Beweis. Da sn+1 − sn = xn+1 gilt, ist klar, dass die Konvergenz der Reihe aus |xi |p → 0 für
i → ∞ folgt und umgekehrt.
P∞
Nehmen wir nun an, dass i=0 xi konvergiert. Ist dieser Ausdruck gleich Null, dann ist die
Ungleichung klarerweise erfüllt. Andernfalls gilt für jede Partialsumme
N
X
xi ≤ max |xi |p ≤ max |xi |p .
i=0
p
i≥0
0≤i≤N
Da | |p stetig ist, können wir den Grenzwert N → ∞ bilden. Daraus folgt die gesuchte Ungleichung.
Wie wir wissen, gilt dieses
P∞ Resultat nicht in der reellen Analysis – das sehen wir sofort an der
harmonischen Reihe i=1 1i . Folgende Überlegung zeigt aber eine Gemeinsamkeit von R und
Qp auf:
P∞
Beispiel 8: P
Eine Reihe i=0 xi in einem Körper K mit Absolutbetrag | | heißt absolut konver∞
gent, wenn i=0 |xi | konvergiert. Wie in R gilt auch in Qp , dass aus der absoluten Konvergenz
einer Reihe deren Konvergenz folgt, denn aufgrund der Dreiecksungleichung ist
m
m
X
X
xi .
xi ≤
|sm − sn |p = p
i=n+1
p
i=n+1
Die Umkehrung gilt ebenso wenig wie im reellen Fall. Das sehen wir zum Beispiel an der Reihe
∞
X
i=0
xi = 1 + p + · · · + p + p2 + · · · + p2 +p3 + · · · .
{z
}
| {z } |
p2 mal
p mal
Diese ist wegen |sn+1 − sn |p ≤ pn+1 p = p−(n+1) konvergent, die Reihe der Absolutbeträge
hingegen divergiert:
∞
X
|xi |p = 1 + p · p−1 + p2 · p−2 + p3 · p−3 + · · · = ∞.
i=0
P∞
P∞
Wie
xi und y = i=0 yi auch
P∞in Qp , dass für zwei konvergente Reihen x = Pi=0
P∞ in R gilt
∞
i=0 zi =
i=0 (xi + yi ) konvergiert, und es ist dann x + y =
i=0 zi .
Konvergiert zumindest eine der Reihen absolut, so ergibt sich ihr Produkt durch das CauchyProdukt, und es gilt
∞
∞ X
i
X
X
z=
zi =
xj yi−j = x · y.
i=0
i=0
j=0
P∞
P∞
Unter einer Umordnung i=0 xji einer unendlichen Reihe i=0 xi verstehen wir eine Änderung
der Reihenfolge ihrer Glieder xi , es ist dann i 7→ ji eine Bijektion der natürlichen Zahlen auf
sich selbst.
62
4.6. ANALYSIS IN QP
Eine konvergente Reihe wird unbedingt konvergent genannt, wenn jede ihrer Umordnungen
wieder gegen denselben Wert konvergiert. Andernfalls heißt sie bedingt konvergent.
In der reellen Analysis sind die unbedingt konvergenten Reihen genau die absolut konvergenten
Reihen, und für die anderen gilt der sogenannte Riemannsche Umordnungssatz. Dieser besagt,
dass eine bedingt konvergente Reihe immer eine Umordnung besitzt, die gegen eine beliebige
vorgegebene Zahl konvergiert.
In Qp hingegen folgt die unbedingte Konvergenz bereits aus der Konvergenz einer Reihe:
Proposition 13:
Ist
P∞
i=0
xi eine konvergente Reihe über Qp , so konvergiert sie auch unbedingt.
P∞
Beweis. Es sei x = i=0 xi . Die Reihe konvergiert, es gilt also |xi |p → 0 für i → ∞. Daher gibt
es für jedes > 0 einen Index N1 , sodass |xn |p < 2 ist für alle n ≥ N1 . Da die Partialsummen
Pn
sn = i=0 xi eine Cauchyfolge mit Grenzwert x darstellen, gibt es einen Index N2 ≥ N1 mit
|sm − x|p < 2 für alle m ≥ N2 .
P∞
0
Es sei nun i=0 xji eine Umordnung der Reihe und sn seien die entsprechenden Partialsummen.
Dann gibt es einen hinreichend großen Index N, sodass die ersten Glieder x0 , x1 , . . . , xN2 der
PN
0
ursprünglichen Reihe in der Partialsumme sN = i=0 xji vorkommen. Es gilt daher für alle
0
n ≥ N sowohl sn − xp < 2 als auch |xjn |p < 2 , und somit ist
X
X
X
∞
n
∞
x
x
−
x
+
x
−
x
≤
ji < .
ji
ji
p
i=0
p
i=0
Das bedeutet also, dass die Umordnung
wert x wie die ursprüngliche Reihe.
P∞
i=0
p
i=n+1
xji konvergiert und zwar gegen den selben Grenz-
Proposition 14: Es seien die Elemente xij mit i, j ∈ N p-adische Zahlen. Existiert für jedes
> 0 ein N = N () , sodass |xij |p < für max {i, j} ≥ N gilt, dann konvergieren die Reihen
∞
∞ X
X
i=0
xij
und
j=0
∞
∞ X
X
j=0
xij
i=0
gegen den gleichen Grenzwert.
P∞
P∞
Beweis. Die Reihen j=0 xij und i=0 xij konvergieren, denn laut unserer Voraussetzung gilt
|xij |p → 0 für jedes i falls j → ∞ strebt und umgekehrt. Nach Proposition 12 ist daher für
i ≥ N beziehungsweise j ≥ N
∞
∞
X
X
x
≤
max
|x
|
<
beziehungsweise
xij ≤ max |xij |p < .
ij ij p
j=0
p
j
i=0
p
i
P∞
P∞
Das bedeutet, dass limi→∞ j=0 xij = 0 sowie limj→∞ i=0 xij = 0 gilt, beide Doppelreihen
konvergieren also. Um zu zeigen, dass ihre Summen gleich sind, betrachten wir zunächst
∞∞
N ∞
X
N X
N
∞ X
∞
X
X X
X X
xij −
xij = xij +
xij .
i=0
j=0
i=0
j=0
p
i=0
j=N +1
i=N +1
j=0
p
63
KAPITEL 4. DER KÖRPER DER P-ADISCHEN ZAHLEN QP
Mit Hilfe der nichtarchimedischen Dreiecksungleichung folgt der Rest: Ist j ≥ N + 1, so gilt ja
|xij |p < für jedes i und umgekehrt, daher ist
X
X
X
X
∞
∞
∞
N
<
beziehungsweise
x
x
ij < .
ij i=0
j=N +1
Somit ist auch
p
i=N +1
j=0
p
X
∞
X
N X
N
∞ X
xij −
xij < .
i=0
j=0
i=0
j=0
p
Vertauschen wir die Rolle von i und j, so ergibt sich eine äquivalente Ungleichung, und da für
endliche Summen jedenfalls
N X
N
X
i=0
=
xij
j=0
N X
N
X
j=0
xij
i=0
ist, erhalten wir schließlich
X
∞
X
∞
∞ X
∞ X
xij −
xij < .
i=0
j=0
i=0
j=0
p
Dies gilt für alle , daher sind die Doppelsummen gleich.
Um in R zu einem ähnlichen Resultat wie diesem zu gelangen – nämlich zum Doppelreihensatz von Cauchy – wird für eine der Doppelreihen absolute Konvergenz verlangt, die andere
Doppelreihe konvergiert dann ebenfalls absolut.
4.6.2
Potenzreihen
Unter einer formalen Potenzreihe in einer Unbestimmten X verstehen wir einen Ausdruck der
Form
∞
X
an X n ,
f (X) =
n=0
wobei die Koeffizienten an in einem kommutativen Ring R mit Einselement liegen. Die Menge
aller solcher Potenzreihen bildet einen Ring, welcher der Ring der formalen Potenzreihen über
R genannt und mit R [[X]] bezeichnet wird.
Diese Reihen heißen „formal“, da keine Fragen nach der Konvergenz gestellt werden. Daher ist
es problemlos möglich, folgende Operationen zu betrachten:
Die Summe zweier formaler Potenzreihen f (X) und g (X) ist
∞
X
(f + g) (X) =
(an + bn ) X n ,
n=0
ihr Produkt ergibt sich durch das Cauchy-Produkt
∞ X
n
X
(f g) (X) =
ak bn−k X n .
n=0
64
k=0
4.6. ANALYSIS IN QP
Unser Ziel ist es, solche Potenzreihen über Qp zu betrachten. Sobald wir statt der Unbestimmten
X eine p-adische Zahl x in den Ausdruck einsetzen, stellt sich sehr wohl die Frage nach der
Konvergenz der unendlichen Reihe, denn nun konvergiert sie entweder oder sie divergiert. Analog
zu den Potenzreihen in der reellen Analysis können wir so den Begriff des Konvergenzradius
einführen. Dieser hängt P
mit dem Resultat aus Proposition 12 auf Seite 61 zusammen, nämlich
∞
dass eine Reihe f (x) = n=0 an xn genau dann konvergiert, wenn |an xn |p → 0 für n → ∞ gilt.
P∞
Definition 5: Als Konvergenzradius einer Potenzreihe f (X) = n=0 an X n über Qp wird jene
reelle Zahl ρ ≥ 0 bezeichnet, die durch
n
o
ρ = sup r ≥ 0 : |an |p rn → 0 für n → ∞
definiert ist. Konvergiert die Potenzreihe für jedes r ≥ 0, dann ist ρ = ∞, und falls ρ = 0 gilt,
so liegt nur im Nullpunkt Konvergenz vor.
Proposition 15:
gilt
Für den Konvergenzradius ρ einer Potenzreihe f (X) =
ρ=
P∞
n=0
an X n über Qp
1
q
.
lim sup n |an |p
Diese Formel wird Formel von Cauchy-Hadamard genannt.
Beweis. Der Konvergenzradius ρ sei durch die Formel von Cauchy-Hadamard definiert.
Es sei zunächst |x|p > ρ mit ρ 6= 0 sowie ρ 6= ∞. Dann gilt
1/k
lim sup |x|p |ak |p
1/k
= |x|p lim sup |ak |p
n→∞ k≥n
=
|x|p
ρ
> 1.
1/k
Das heißt, der Grenzwert der Folge sn := |x|p supk≥n |ak |p ist größer als Eins. Somit gilt
k
auch |ak |p |x|p > 1 für fast alle k, und es konvergiert ak xk p für k → ∞ nicht gegen Null. Die
betrachtete Potenzreihe divergiert also für diese Elemente x.
Im Fall ρ = 0 liegt nur im Nullpunkt Konvergenz vor, denn betrachten wir den Grenzwert
ρ → 0, so gilt sn → ∞ für alle x mit |x|p > 0.
Nun sei |x|p < ρ, ρ 6= 0. Wir wählen einen Radius r so, dass |x|p < r < ρ gilt. Dann ist
1/k
lim sup r |ak |p
n→∞ k≥n
1/k
= r lim sup |ak |p
n→∞ k≥n
1/k
Für ein hinreichend großes N ∈ N gilt also supk≥N r |ak |p
k > N, und für k → ∞ folgt
ak xk = |ak | rk
p
p
|x|p
r
k
=
r
< 1.
ρ
< 1. Somit ist |ak |p rk < 1 für alle
k
<
|x|p
rk
→ 0.
Für den Grenzwert ρ → ∞ konvergiert die Potenzreihe für alle x, denn wir können in diesem
1/k
Fall immer einen Radius r mit |x|p < r < ρ finden, sodass r limn→∞ supk≥n |ak |p = 0 gilt.
65
KAPITEL 4. DER KÖRPER DER P-ADISCHEN ZAHLEN QP
Bemerkung 10: In der reellen wie auch in der komplexen Analysis ist über die Konvergenz am
Rand des Konvergenzintervalls beziehungsweise des Konvergenzkreises keine allgemeine Aussage
möglich, die Randpunkte müssen sich nicht alle gleich verhalten.
In Qp hingegen ist genau das der Fall: Entweder es konvergieren alle p-adischen Zahlen x mit
|x|p = ρ oder keine einzige. Der Grund dafür ist, dass nach Proposition 12 die Konvergenz
n
einer p-adischen Potenzreihe ausschließlich davon abhängt, ob |an |p |x|p für n → ∞ gegen Null
konvergiert oder nicht.
Insgesamt gilt daher, dass es sich bei dem Bereich,
Potenzreihe f (X)
auf dem eine p-adische
über Qp konvergiert, immer um eine Kugel D = x ∈ Qp : |x|p ≤ R handelt, wobei entweder
R = ρ ist, falls f (X) für alle x mit |x|p = ρ konvergiert, oder R = p−1 ρ gilt, falls die Reihe
für diese Elemente divergiert. Die Wertemenge der möglichen Radien R ist also diskret und
umfasst {pm : m ∈ Z} ∪ {0} ∪ ∞.
Es ist f (X) dann gleichmäßig konvergent auf D, denn für alle x ∈ D und n → ∞ gilt
|an xn |p ≤ |an Rn |p → 0.
Proposition 16: Jede Potenzreihe f (X) =
P∞
an X n ∈ Zp [[X]] konvergiert in D = B1 (0) .
Beweis. Es sei f (X) ∈ Zp [[X]] und x0 ∈ B1 (0) = x ∈ Qp : |x|p < 1 . Da laut Voraussetzung
n
die Koeffizienten an ganze p-adische Zahlen sind, gilt |an |p ≤ 1 beziehungsweise |an xn0 |p ≤ |x0 |p
für alle n, und da |x0 |p < 1 ist, folgt die Behauptung.
Beispiel 9:
n=0
Wir betrachten die Potenzreihe f (X) =
P∞
n=1
(−1)n−1
Xn
n
über Qp . Dann ist
(−1)n−1 |an |p = = pordp (n) ,
n
p
und wegen 1 ≤ pordp (n) ≤ n gilt
lim
n→∞
q
n
|an |p = lim
n→∞
q
n
pordp (n) = 1.
Das bedeutet also, dass |an x |p nur dann gegen Null konvergiert, wenn x in D = B1 (0) =
B p−1 (0) liegt, denn ist |x|p = 1, so divergiert die Reihe.
n
Über den reellen Zahlen konvergiert die betrachtete Reihe für alle x im Intervall −1 < x ≤ 1
und stellt hier die Reihenentwicklung der Logarithmusfunktion um den Entwicklungspunkt −1
n−1
P∞
dar, es ist also log (1 + x) = n=1 (−1)n xn .
In gleicher Weise nennen wir die Funktion, die diese Potenzreihe innerhalb ihres Konvergenzbereiches über Qp festlegt, den p-adischen Logarithmus und schreiben
logp : D → Qp ,
logp (1 + X) =
∞
n−1
X
(−1)
X2
X3
X4
Xn = X −
+
−
+ ··· .
n
2
3
4
n=1
Diese Bezeichnung ist natürlich nur dann sinnvoll, wenn die charakteristische Eigenschaft des
Logarithmus erfüllt ist, wenn also für x, y ∈ D
logp ((1 + x) (1 + y)) = logp (1 + x) + logp (1 + y)
gilt. Wir werden uns das in Beispiel 14 auf Seite 72 überlegen.
66
4.6. ANALYSIS IN QP
Beispiel 10: Nach dem Logarithmus wollen wir uns nun mit der p-adischen Reihenentwicklung
der Exponentialfunktion beschäftigen.
P∞ n
Es ist bekannt, dass exp (x) = n=0 xn! auf ganz R sowie auf ganz C konvergiert.
P∞
n
Um das Konvergenzverhalten der Potenzreihe f (X) = n=0 Xn! in Qp zu berechnen, müssen
1/n
1 1/n
wir uns überlegen, wie sich |an |p = n!
für n → ∞ verhält.
p
Dazu zeigen wir zunächst, dass für eine positive ganze Zahl n = a0 + a1 p + · · · + am pm gilt:
ordp (n!) =
wobei Sn =
Pm
i=0
n − Sn
,
p−1
ai die Ziffernsumme von n darstellt.
Wie wir wissen, ist ordp (m · n) = ordp (m) + ordp (n) für zwei ganze Zahlen m und n, daher
folgt
n
X
ordp (n!) =
ordp (i) .
i=1
Betrachten wir nun eine positive ganze Zahl k ≤ n mit ordp (k) = j. Dann ist die p-adische
Entwicklung von k gegeben durch k = aj pj + · · · + al pl mit j ≤ l und aj 6= 0. Daher gilt
k − 1 = (p − 1) + · · · + (p − 1) pj−1 + (aj − 1) pj + aj+1 pj+1 + · · · + al pl ,
und es folgt
Sk−1 = j · (p − 1) + aj − 1 + aj+1 + · · · + al
= j · (p − 1) + Sk − 1
beziehungsweise
ordp (k) = j =
1 + Sk−1 − Sk
.
p−1
Insgesamt erhalten wir so die Teleskopsumme
n
n + S0 − Sn
n − Sn
1 X
(1 + Si−1 − Si ) =
=
.
p − 1 i=1
p−1
p−1
ordp (n!) =
1
= pordp (n!) < pn/(p−1) , und daraus ergibt sich für den KonvergenzraEs ist also |an |p = n!
p
1
. Das bedeutet, die Reihe f (X) konvergiert zumindest für
dius ρ die Abschätzung ρ ≥ p1/(p−1)
alle x mit |x|p < p−1/(p−1) .
Als Nächstes betrachten wir eine p-adische Zahl x mit |x|p = p−1/(p−1) und wählen eine positive
ganze Zahl k so, dass diese
eine Potenz von p ist, das heißt, k = pm für ein m ∈ N. Dann ist
m
−1
Sk = 1 und ordp (k!) = pp−1
. Weiters gilt
ordp
xk
k!
m m
xp
p
=
ord
− ordp (pm !)
p x
pm !
pm
pm − 1
1
=
−
=
.
p−1
p−1
p−1
= ordp
67
KAPITEL 4. DER KÖRPER DER P-ADISCHEN ZAHLEN QP
P∞ X n
Da dieser Ausdruck nicht von m abhängt und in der unendlichen Summe
n=0 n! immer
xn −1/(p−1)
wieder Potenzen von p vorkommen, kann n! p für |x|p = p
und n → ∞ nicht beliebig
klein werden.
P∞
n
Insgesamt folgt also, dass der Konvergenzradius ρ = p−1/(p−1) ist und n=0 Xn! für alle x ∈ Qp
mit |x|p < p−1/(p−1) konvergiert. Es gilt somit D = Bρ (0) = B ρp−1 (0) .
Wir nennen die durch diese Potenzreihe definierte Funktion
expp : D → Qp ,
expp (X) =
∞
X
Xn
X2
X3
=1+X +
+
+ ···
n!
2
6
n=0
die p-adische Exponentialfunktion.
Es ist ρ = 2−1 für p = 2. In diesem Fall gilt daher D = 4Z2 . Im Körper der p-adischen
Zahlen liegt p−1/(p−1) für p > 2 nicht im Wertebereich des Absolutbetrags | |p . Wegen p−1 <
p−1/(p−1) < 1 ist hier D = pZp .
Für p-adische Zahlen x und y, die in D liegen, gilt
expp (x + y) = expp (x) expp (y) ,
denn es ist
∞
n ∞
n
X
X
1 X n n−k k
(x + y)
=
x
y
expp (x + y) =
k
n!
n!
n=0
n=0
k=0
n
∞ X
X
1
n!
=
xn−k y k
n!
(n
−
k)!k!
n=0 k=0
X
X
∞
∞
∞ X
n
X
xm
yk
xn−k y k
=
=
(n − k)! k!
m!
k!
m=0
n=0
n=0
k=0
= expp (x) expp (y) .
Beispiel 11: Im Programm PARI/GP ist es möglich, dem Logarithmus und der Exponentialfunktion p-adische Argumente zu übergeben. Wir sehen hier auch,
dass sich diese beiden Funk
tionen invers zueinander verhalten. Das heißt, für x0 ∈ D = x ∈ Qp : |x|p < p−1/(p−1)
gilt
logp expp (x0 ) = x0
? a=3*7+2*7^2+1*7^3+O(7^5)
%1 = 3*7 + 2*7^2 + 7^3 + O(7^5)
? exp(a)
%2 = 1 + 3*7 + 3*7^2 + 5*7^3 + O(7^5)
? log(exp(a))
%3 = 3*7 + 2*7^2 + 7^3 + O(7^5)
68
sowie
expp logp (1 + x0 ) = 1 + x0 .
? log(1+a)
%4 = 3*7 + 7^2 + 2*7^4 + O(7^5)
? exp(log(1+a))-1
%5 = 3*7 + 2*7^2 + 7^3 + O(7^5)
? log(0+O(7^5))
*** log: zero argument in palog.
4.6. ANALYSIS IN QP
4.6.3
Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Viele Definitionen und Resultate, die nur davon abhängen, dass eine metrische Struktur vorhanden ist, können ohne Probleme von der reellen Analysis auf Qp übertragen werden. So gilt für
den Begriff der Stetigkeit:
Eine Funktion f : D → Qp heißt stetig an einer Stelle x0 ihres Definitionsbereichs D, wenn
es zu jedem > 0 ein δ > 0 gibt, sodass für alle x ∈ D ⊆ Qp mit |x − x0 |p < δ auch
|f (x) − f (x0 )|p < gilt. Ist f an jeder Stelle x0 einer Menge U ⊆ D stetig, dann heißt f stetig
auf U.
Es sei jedoch noch einmal darauf hingewiesen, dass der Körper der p-adischen Zahlen als metrischer Raum total unzusammenhängend ist. Das heißt, die Zusammenhangskomponente eines
jeden x ∈ Qp besteht nur aus diesem Element, was zur Folge hat, dass in Qp keine richtigen Intervalle existieren. Daher ergibt zum Beispiel der Zwischenwertsatz von Bolzano im p-adischen
Kontext wenig Sinn. Dieser besagt nämlich, dass eine stetige Funktion f auf einem abgeschlossenen Intervall [a, b] ⊆ R jeden Wert zwischen f (a) und f (b) annimmt.
P∞
n
Proposition 17: Es sei f (X) =
eine Potenzreihe über Qp und D ihr Konvern=0 an X
genzbereich.
Dann
ist
die
durch
die
Potenzreihe
definierte Funktion f : D → Qp , x 7→ f (x) =
P∞
n
a
x
stetig
auf
ganz
D.
n
n=0
Beweis. Es sei x0 ∈ D so gewählt, dass x0 6= 0 gilt. Dann folgt aus der nichtarchimedischen
Dreiecksungleichung für alle x ∈ D mit |x − x0 |p < δ < |x0 |p , dass |x|p = |x0 |p ist. Weiters gilt
∞
X
(an xn − an xn0 )
|f (x) − f (x0 )|p = n=0
p
n
o
≤ max |an xn − an xn0 |p
n
n
o
+ x0n−2 x + · · · + x0 xn−2 + xn−1 p
= max |an |p |x − x0 |p xn−1
0
n
n
o
n−1
≤ max |an |p |x − x0 |p |x0 |p
,
n
n
o
n−2
n−2
n−1 xn−i xi−1 = |x0 |n−1 .
+
x
x
+
·
·
·
+
x
x
+
x
≤
max
denn es ist ja xn−1
0
1≤i≤n
0
0
0
p
p
p
Insgesamt folgt
o
n
δ
n
max |an |p |x0 |p .
|f (x) − f (x0 )|p <
|x0 |p n
Da x0 im Konvergenzbereich der Potenzreihe liegt, konvergiert |an xn0 |p gegen Null für n → ∞.
Daher ist dieser Ausdruck beschränkt, und für ein passendes δ > 0 folgt |f (x) − f (x0 )|p < .
Nun sei x0 = 0. Für x ∈ D, x 6= 0 folgt dann aus |x − x0 |p < δ, dass |x|p < δ ist, und es gilt
∞
∞
X
X
|f (x) − f (0)|p = an xn − a0 = |x|p an+1 xn p
n=0
n=0
p
n
o
n
o
≤ |x|p max |an+1 xn |p < δ max |an+1 xn |p .
n
1/n
lim sup |an |p
1/n
lim sup |an+1 |p
Für n → ∞ ist
=
|f (x) − f (0)|p < für ein passend gewähltes δ.
n
. Daher ist |an+1 xn |p beschränkt, und es gilt
Als Nächstes wollen wir uns mit der Ableitung einer p-adischen Funktion beschäftigen:
69
KAPITEL 4. DER KÖRPER DER P-ADISCHEN ZAHLEN QP
Definition 6:
Grenzwert
Eine Funktion f : D → Qp heißt differenzierbar bei x0 ∈ D ⊆ Qp , wenn der
f (x0 + h) − f (x0 )
h→∞
h
existiert. Dieser Grenzwert heißt dann die Ableitung von f an der Stelle x0 . Existiert dieser
Grenzwert für jedes Element einer Menge U ⊆ D, so sagen wir, dass f differenzierbar auf U
ist.
0
f (x0 ) = lim
Folgende Eigenschaften der Ableitung sind aus der reellen Analysis bekannt und lassen sich auf
analoge Weise herleiten:
Für zwei Funktionen f und g, die an einer Stelle x0 differenzierbar sind, gelten die Differentiationsregeln. Es sind dann nämlich f ± g, f · g und, falls g (x0 ) 6= 0 ist, auch f /g in x0
differenzierbar, und die entsprechenden Ableitungen sind durch die Summenregel, die Produktregel und die Quotientenregel gegeben.
Für zusammengesetzte Funktionen gilt die Kettenregel. Ist also f in x0 und g in f (x0 ) differenzierbar, dann ist auch g ◦ f in x0 differenzierbar, und es gilt
0
0
0
(g ◦ f ) (x0 ) = g (f (x0 )) · f (x0 ) .
Pn
Pn
0
i−1
i
Es ist p (X) =
die Ableitung des Polynoms p (X) =
i=1 iai X
i=0 ai X . Rationale
Funktionen sind als Quotienten von Polynomen differenzierbar.
Außerdem gilt, dass differenzierbare Funktionen stetig sind.
Beispiel 12: Der sogenannte Mittelwertsatz der Differentialrechnung aus der reellen Analysis
besagt, dass unter der Voraussetzung, dass eine Funktion f auf dem kompakten Intervall [a, b]
stetig und auf (a, b) differenzierbar ist, es ein ξ ∈ (a, b) gibt, sodass Folgendes gilt:
0
f (b) − f (a) = f (ξ) (b − a) .
Ein Spezialfall davon ergibt sich, wenn f (a) = f (b) ist. Dann verschwindet nämlich die
0
Ableitung an zumindest einer Stelle ξ ∈ (a, b) , das heißt, f (ξ) = 0. Dieses Resultat wird
der Satz von Rolle genannt.
Wir wollen nun versuchen, diesen Mittelwertsatz auf Qp zu übertragen. Sofort ergibt sich das
Problem, dass wir hier nicht von Intervallen sprechen können. Dass ξ in (a, b) liegt, kann aber
auch ausgedrückt werden als ξ = at + b (1 − t) für 0 ≤ t ≤ 1. Diese Formulierung können wir in
Qp übernehmen.
Das bedeutet, wir müssen uns nun überlegen, ob es – falls eine Funktion f (X) auf einem Bereich
D ⊆ Qp differenzierbar ist und eine gleichmäßig stetige Ableitung besitzt – zu je zwei Elementen
0
x und y in D ein ξ ∈ D gibt, sodass ξ = xt + y (1 − t) für ein t mit |t|p ≤ 1 gilt und f (ξ) die
gewünschten Eigenschaften besitzt.
Der Mittelwertsatz ist im Körper der p-adischen Zahlen jedoch nicht gültig. Das beweist folgendes Gegenbeispiel: Wir betrachten das Polynom
f (X) = X p − X
über Qp . Dann ist
0
f (X) = pX p−1 − 1.
70
4.6. ANALYSIS IN QP
Es sei also x = 0 und y = 1. Daher gilt f (x) = f (y) = 0.
Wäre nun der Mittelwertsatz beziehungsweise der Satz von Rolle gültig, so gäbe es ein
ξ = xt + y(1 − t) = 1 − t,
das der Gleichung 0 = pξ
− 1 genügte. Da aber |t|p ≤ 1 ist, liegt t in Zp und daher auch ξ.
Daraus folgt, dass pξ p−1 − 1 nicht Null sein kann, sondern von folgender Form ist:
p−1
pZp − 1 = (p − 1) + pZp .
P∞
n
Die
Ableitung einer Potenzreihe f (X) =
ist gegeben durch Df (X) =
n=0 an X
P∞ formale n−1
na
X
.
Wir
wollen
nun
zeigen,
dass
für
ein
Element
x
im
Konvergenzradius die formale
n
n=1
0
Ableitung der analytischen Ableitung f (x) entspricht:
P∞
Proposition 18: Es sei f (X) = n=0 an X n eine Potenzreihe über Qp mit Konvergenzradius
ρ > 0, und es sei Df (X) ihre formale Ableitung. Konvergiert f (x0 ) für ein x0 ∈ Qp , dann
konvergiert auch Df (x0 ) , und es gilt
0
∞
f (x0 + h) − f (x0 ) X
=
nan xn−1
.
0
h→∞
h
n=1
f (x0 ) = lim
Beweis. Wie wir uns in Bemerkung 10 auf Seite 66 überlegt haben, ist der Konvergenzbereich
D einer Potenzreihe eine abgeschlossene Kugel um Null mit Radius R, wobei entweder R = ρ
oder R = p−1 ρ gilt, je nachdem ob die „Randpunkte“ konvergieren oder nicht.
Wir können also für x0 ∈ D immer Elemente x0 + h finden, sodass für h → 0 eine Konvergenz
von f (x0 + h) vorliegt: Ist x0 = 0, so wählen wir ein Element h mit |h|p ≤ R, ist x0 6= 0 eines
mit |h|p < |x0 |p ≤ R.
Für x0 = 0 konvergiert Df (x0 ) klarerweise. Auch für x0 6= 0 ist die Ableitung konvergent, denn
es gilt
nan xn−1 ≤ an xn−1 = 1 |an xn0 | → 0
0
0
p
p
p
|x0 |p
für n → ∞. Nun ist
∞
X
f (x0 + h) =
n
an (x0 + h) =
n=0
Daraus folgt
∞
X
n=0
an
n X
n
k=0
k
xn−k
hk .
0
∞ n
f (x0 + h) − f (x0 ) X X
n n−k k−1
=
an
x
h
.
h
k 0
n=1
k=1
Da sowohl |x0 |p ≤ R als auch |h|p ≤ R gilt, ist
an n xn−k hk−1 ≤ |an | Rn−1 .
0
p
k
p
Wie wir wissen, gilt |an |p Rn → 0 für n → ∞. Das heißt, die Reihe konvergiert gleichmäßig in
h, und wir können daher den Grenzwert Term für Term berechnen. Insgesamt folgt mit h → 0
0
f (x0 ) = Df (x0 ) =
∞
X
nan xn−1
.
0
n=1
71
KAPITEL 4. DER KÖRPER DER P-ADISCHEN ZAHLEN QP
Beispiel 13: Die p-adische Exponentialfunktion aus Beispiel 10 ist für alle x ∈ Bρ (0) mit
0
ρ = p−1/(p−1) differenzierbar, und es gilt expp (x) = expp (x) . Der p-adische Logarithmus
0
aus Beispiel 9 ist für alle x ∈ B1 (1) differenzierbar, und es ist logp (x) = x1 . Denn es gilt:
0
expp (x) =
0
logp (1 + x) =
∞
∞
X
X
nxn−1
xn−1
=
= expp (x) .
n!
(n − 1)!
n=1
n=1
∞
X
n−1
(−1)
n=1
∞
X
nxn−1
1
n−1 n−1
=
(−1)
x
.
=
n
1+x
n=1
Beispiel 14: Mit Hilfe seiner Ableitung wollen wir nun zeigen, dass der Logarithmus folgende
Eigenschaft besitzt:
logp ((1 + x) (1 + y)) = logp (1 + x) + logp (1 + y) .
Betrachten wir also f (X) = logp (1 + X) =
0
f (x) =
∞
X
P∞
n=1
n
n−1 X n
n ,
(−1)
(−1) xn =
n=0
dann ist für x ∈ pZp
1
.
1+x
Wir wählen nun ein y ∈ pZp und definieren
g (x) = logp ((1 + x) (1 + y)) = f (y + (1 + y) x) .
Es ist ρ = 1 der Konvergenzradius von f (X) . Da |y|p < 1 und somit |1 + y|p = 1 ist, gilt
|y + (1 + y) x|p < 1 genau dann, wenn |x|p < 1 ist. Das Konvergenzverhalten von g (X) stimmt
also mit jenem von f (X) überein.
Da also für x ∈ pZp
∞
n−1
X
(−1)
n
g (x) =
(y + (1 + y) x)
n
n=1
∞ X
n
n−1 X
(−1)
n
k k n−k
=
(1 + y) x y
n
k
n=1
k=1
konvergiert, können wir die Reihe umordnen und erhalten so
∞ X
∞
n−1 X
n
(−1)
k n−k
g (x) =
(1 + y) y
xk .
n
k
k=1
n=k
Das bedeutet, diese Funktion ist durch eine Potenzreihe g (X) =
nen wir nun die Ableitung nach x, so erhalten wir
0
0
g (x) = (1 + y) f (y + (1 + y) x) =
P∞
k=1 ck X
k
definiert. Berech-
0
(1 + y)
1
=
= f (x) .
1 + y + (1 + y) x
1+x
Die Ableitungen der Potenzreihen f (X) und g (X) stimmen also für Elemente innerhalb des
Konvergenzradius überein. Außerdem folgt aus Proposition 18, dass die Ableitungen ebenfalls
den Konvergenzradius ρ besitzen.
72
4.6. ANALYSIS IN QP
Wir können also eine Folge (xm )m≥0 → 0 im Konvergenzbereich finden mit xm 6= 0 und
0
0
g (xm ) = f (xm ) für alle m und so mit Hilfe des Identitätssatzes für Potenzreihen schließen,
dass die Ableitungen ident sind, also in all ihren Koeffizienten übereinstimmen.
Dieser Identitätssatz besagt nämlich, dass zwei Potenzreihen h1 (X) und h2 (X) in allen Koeffizienten übereinstimmen, wenn es eine Nullfolge (xm )m≥0 gibt mit xm 6= 0 und h1 (xm ) =
h2 (xm ) für alle m. Denn betrachten wir die Differenz
h (X) := h1 (X) − h2 (X) =
∞
X
an X n ,
n=0
dann ist h (xm ) = 0 für jedes m ∈ N. Außerdem sind alle Koeffizienten von h (X) gleich Null.
Denn angenommen, das wäre nicht der Fall, dann gäbe es einen kleinsten Index k mit ak =
6 0,
und wir hätten
h (X) = ak X k + ak+1 X k+1 + ak+2 X k+2 + · · ·
= X k ak + ak+1 X + ak+2 X 2 + · · ·
= X k h (X) .
Es ist dann h (0) = ak 6= 0. Da h (X) stetig ist, gilt h (xm ) → ak für m → ∞. Insbesondere ist
dann h (xN ) 6= 0 für ein hinreichend großes N ∈ N. Daraus folgt auch, dass
h (xN ) = xkN h (xN ) 6= 0
gilt, was jedoch unseren Voraussetzungen widerspricht. Daher ist an = 0 für alle n ∈ N sowie
h1 (X) = h2 (X) .
Somit ist g (x) = f (x) + c für eine Konstante c ∈ Qp und alle x ∈ pZp . Für x = 0 erhalten wir
c = g (0) = f (y) . Es ist also g (x) = f (x) + f (y) beziehungsweise
logp ((1 + x) (1 + y)) = logp (1 + x) + logp (1 + y) .
Quellen und Literatur zu Kapitel 4
Abschnitt 4.1 basiert auf §4 Die Sätze von Gelfand-Mazur und Ostrowski des Kapitels Absolutbeträge aus [21]. Zu Abschnitt 4.2 vergleiche [9], S. 67, 68, [13], S. 21-25, 29 und [14], S. 13,
14, zu Abschnitt 4.3 [9], S. 62-64, [13], S. 39, 40, 58, 59 sowie [18], S. 5, 6, 36, 37 und zu
Abschnitt 4.4 [1], S. 38-43, [13], S. 27-33, [16], S. 27-34, [18], S. 2, 3 und [19], S. 5-8.
Abschnitt 4.5 basiert auf [9], S. 69-73, 77-79, [13], S. 33-39, 46, 47, [14], S. 15-18 und [18],
S. 49-52. Der Beweis zu Satz 4 stammt aus [6], S. 49-51.
Zu Abschnitt 4.6 vergleiche [1], S. 25, 26, 43-51, [9], S. 87-97, 102, 105, 111-117, [13], S. 75-86,
89-93, 97, 98, [14], S. 76-81 sowie [18], S. 241, 280-284.
Für die Dokumentation zum Computeralgebrasystem PARI/GP siehe [23].
73
5
Der algebraische Abschluss von Qp
Der Körper der p-adischen Zahlen Qp ist algebraisch nicht abgeschlossen. Dies wissen wir bereits
aus Proposition 9 auf Seite 53. Das bedeutet, dass keine Vervollständigung von Q – also weder jene bezüglich des „gewöhnlichen“ Absolutbetrags | |∞ noch jene bezüglich | |p für jegliche
Primzahl p – diese Eigenschaft besitzt.
Unser nächstes Ziel ist es daher, das p-adische Äquivalent zu den komplexen Zahlen C, die ja
den algebraischen Abschluss der reellen Zahlen R bilden, zu konstruieren, und das wird sich als
deutlich aufwändiger erweisen als im reellen Falle.
In den ersten beiden Abschnitten dieses Kapitels wiederholen wir Grundlagen über normierte
Vektorräume und Körpererweiterungen und leiten jene allgemeinen Resultate her, die wir ab
Abschnitt 5.3 benötigen, um uns speziell mit Erweiterungen von Qp zu beschäftigen.
Unter einem bewerteten Körper verstehen wir im Folgenden einen Körper K, der mit einem
Absolutbetrag | | ausgestattet ist. Von diesem Absolutbetrag nehmen wir an, dass er ein nichttrivialer ist. Außerdem soll K die Charakteristik 0 haben, das heißt, es soll kein n > 0 geben,
sodass n · 1K = 0 gilt.
5.1
Normierte Vektorräume über vollständigen, bewerteten Körpern
Definition 1: Es sei K ein bewerteter Körper und V ein Vektorraum über K. Dann verstehen
wir unter einer Norm auf V eine Funktion k k : V → R mit folgenden Eigenschaften:
(N1) kvk ≥ 0 für alle v ∈ V, kvk = 0 ⇐⇒ v = 0,
(N2) kλvk = |λ| kvk für alle v ∈ V und λ ∈ K,
(N3) kv + wk ≤ kvk + kwk für alle v, w ∈ V.
75
KAPITEL 5. DER ALGEBRAISCHE ABSCHLUSS VON QP
Die Eigenschaft (N3) wird Dreiecksungleichung genannt. Ein Vektorraum V, auf dem eine
Norm k k definiert ist, heißt ein normierter Vektorraum über K.
Ist V ein normierter Vektorraum über K, dann wird für v, w ∈ V durch
d (v, w) = kv − wk
eine Metrik auf V festgelegt.
Wir können uns leicht davon überzeugen, dass die Bedingungen (M1) bis (M3) aus Definition 5
auf Seite 12 erfüllt sind: Es ist d (v, w) ≥ 0 für alle v, w ∈ V, und d (v, w) = 0 gilt genau
dann, wenn v − w = 0 und somit v = w ist. Da
kv − wk = k− (w − v)k = |−1| kw − vk = kw − vk
gilt, ist d (v, w) = d (w, v) , und die Dreiecksungleichung für Metriken d (v, u) ≤ d (v, u) +
d (u, w) folgt aus jener für Normen:
kv − uk = k(v − w) + (w − u)k ≤ kv − wk + kw − uk .
Analog zum Begriff des topologischen Körpers aus Definition 9 auf Seite 14 bezeichnet ein
topologischer Vektorraum einen Vektorraum V über einem Körper K, der neben der Vektorraumstruktur noch eine Topologie besitzt, sodass die Abbildungen
(v, w) 7→ v + w : V × V → V,
(λ, v) 7→ λv : K × V → V
stetig sind.
Wie wir eben gesehen haben, ist jeder normierte Vektorraum V ein metrischer Raum, und
damit auch ein topologischer Raum – das haben wir uns in Abschnitt 1.2.2 überlegt.
Weiters werden sowohl die Addition im Vektorraum als auch die Multiplikation mit einem
Skalar durch die von der Norm induzierte Topologie zu stetigen Operationen. Seien nämlich
v 0 , w0 ∈ V fest gewählt und für v, w ∈ V sowohl d(v, v 0 ) < δ als auch d(w, w0 ) < δ, so gilt
mit δ = 2
d(v + w, v 0 + w0 ) = k(v + w) − (v 0 + w0 )k
≤ kv − v 0 k + kw − w0 k
< .
Falls für ein fest gewähltes v 0 ∈ V und ein λ0 ∈ K einerseits d(v, v 0 ) < δ für v ∈ V und
andererseits d(λ, λ0 ) < δ für λ ∈ K erfüllt ist, so folgt d(λv, λ0 v 0 ) < , denn es gilt
d(λv, λ0 v 0 ) = k(λ − λ0 ) (v − v 0 ) + λ0 (v − v 0 ) + v 0 (λ − λ0 )k
≤ |λ − λ0 | kv − v 0 k + |λ0 | kv − v 0 k + kv 0 k |λ − λ0 | .
| {z } | {z } |{z} | {z } | {z } | {z }
<δ
<δ
fix
<δ
fix
<δ
Wir sehen also, dass V ein topologischer Vektorraum ist.
Definition 2: Zwei Normen k k1 und k k2 auf einem Vektorraum V über einem Körper K heißen
äquivalent, wenn sie die gleiche Topologie auf V induzieren.
76
5.1. NORMIERTE VEKTORRÄUME ÜBER VOLLSTÄNDIGEN,
BEWERTETEN KÖRPERN
Proposition 1: Zwei Normen k k1 und k k2 auf einem Vektorraum V sind genau dann äquivalent, wenn es positive reelle Zahlen c1 und c2 gibt, sodass
c1 kvk2 ≤ kvk1 ≤ c2 kvk2
für alle v ∈ V gilt.
Beweis. (=⇒) Es seien k k1 und k k2 äquivalente Normen, und wir betrachten die Abbildung
ι : (V, k k1 ) → (V, k k2 ) , ι(v) = v.
Da die beiden Normen die gleiche Topologie auf V erzeugen, sind ι und ι−1 stetig. Es gibt also
für alle > 0 ein δ > 0, sodass für alle v ∈ V mit kv − v 0 k1 < δ auch kv − v 0 k2 < gilt.
Es sei nun v 0 = 0. Weiters sei δ1 so gewählt, dass aus kvk1 < δ1 die Ungleichung kvk2 < 1
folgt, also = 1 ist.
Für v ∈ V, v 6= 0 setzen wir
0
z :=
0
δ1 − δ
v,
kvk1
0
wobei
δ eine reelle Zahl ist, die 0 < δ < δ1 erfüllt. Dann ist kzk1 < δ1 und daher kzk2 =
δ1 −δ0 kvk2
0
0
< 1, was auch bedeutet, dass δ1 − δ kvk2 < kvk1 gilt. Für δ → 0 ergibt das
kvk
1
|δ1 | kvk2 ≤ kvk1 .
Wenn wir nun ι−1 betrachten, erhalten wir mit der gleichen Argumentation für ein δ2 > 0 die
Ungleichung
|δ2 | kvk1 ≤ kvk2 .
Das gewünschte Resultat folgt mit c1 = |δ1 | und c2 =
1
|δ2 | .
(⇐=) Im Folgenden bezeichnet die Hochzahl i ∈ {1, 2} bei Bri (a) jene Norm i , von welcher
die Topologie stammt bezüglich der die Kugel mit Mittelpunkt a und Radius r offen ist.
Betrachten wir zunächst die Ungleichung c1 kvk2 ≤ kvk1 . Dann gilt Bc11 · (v 0 ) ⊆ B2 (v 0 ) für
0
0
0
v 0 ∈ V und > 0. Denn ist v ∈ Bc11 · (v 0 ) , so folgt aus v − v 0 1 < c1 , dass v − v 0 2 ≤
1 0
c1 v − v 0 1 < ist.
0
Für kvk1 ≤ c2 kvk2 ist Bc2−1 (v 0 ) ⊆ B1 (v 0 ) für v 0 ∈ V und > 0. Denn aus v − v 0 2 < c−1
2 2
0
0
0
2
folgt v − v 0 ≤ c2 v − v 0 < für v ∈ B −1 (v 0 ) .
1
2
c2 Wir haben somit gezeigt, dass jede offene Kugel bezüglich einer Norm auch eine offene Kugel
bezüglich der anderen Norm ist, die induzierten Topologien stimmen also überein.
Beispiel 1: Ist V ein endlichdimensionaler Vektorraum mit der Basis {v 1 , v 2 , . . . , v n }, so kann
jedes v ∈ V eindeutig als Linearkombination v = a1 v 1 +a2 v 2 +· · ·+an v n mit ai ∈ K geschrieben
werden. Es stellt dann
ka1 v 1 + a2 v 2 + · · · + an v n k∞ := max ai 1≤i≤n
eine Norm auf V bezüglich der von uns gewählten Basis dar: Die Eigenschaften (N1)-(N3) folgen
unmittelbar aus den Eigenschaften (A1)-(A3) des Absolutbetrags | | auf K aus Definition 1 auf
Seite 7. Diese Norm heißt Supremumsnorm.
77
KAPITEL 5. DER ALGEBRAISCHE ABSCHLUSS VON QP
Ist K vollständig bezüglich | | , dann ist V vollständig bezüglich der Supremumsnorm. Insbesondere ist eine Folge (wm )m≥1 mit
wm = a1m v 1 + a2m v 2 + · · · + anm v n
genau dann eine Cauchyfolge in V, wenn die Folgen der Koeffizienten (a1m )m≥1 , (a2m )m≥1 , . . . ,
(anm )m≥1 Cauchyfolgen in K sind. Denn da für zwei Folgeglieder wmk und wml die Beziehung
|aimk − aiml | ≤ max |aimk − aiml | = kwmk − wml k∞
1≤i≤n
gilt, wird |aimk − aiml | für i = 1, . . . , n kleiner als jedes > 0, wenn dies auch für kwmk − wml k∞
der Fall ist.
Aus dieser Ungleichung folgt auch die Umkehrung, dass nämlich (wm )m≥1 eine Cauchyfolge in
V ist, wenn nur alle (aim )m≥1 , i = 1, . . . , n Cauchyfolgen in K sind.
Der Grenzwert der Folge (wm )m≥1 ergibt sich dann durch den Grenzwert der Koeffizienten:
lim wm =
m→∞
lim a1m v 1 +
m→∞
lim a2m v 2 + · · · +
m→∞
lim anm v n .
m→∞
Satz 1: Ist V ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem vollständigen, bewerteten Körper K, so sind je zwei Normen auf V äquivalent. Es ist V dann vollständig bezüglich jeder
dieser Normen.
Beweis. Es sei k k∞ die
aus Beispiel 1 und k k1 eine beliebige andere Norm
PSupremumsnorm
n
auf V. Für v ∈ V, v = i=1 ai v i ist
X
n
X
n
v = a
v
≤
|ai | kv i k1
i i
1
1
i=1
≤ kvk∞
n
X
i=1
kv i k1 ≤ c2 kvk∞
i=1
mit c2 = n · max1≤i≤n kv i k1 .
Um die Ungleichung aus Proposition 1 zu vervollständigen und damit die Äquivalenz der Normen zu beweisen,
müssen wir noch eine reelle Zahl c1 > 0 finden, sodass auch die Bedingung
c1 kvk∞ ≤ v 1 erfüllt ist. Dieser Teil ist mit deutlich mehr Aufwand verbunden als der vorige,
und wir zeigen ihn mit Induktion nach der Dimension n des Vektorraums V.
Zunächst sei also n = 1 und v 1 ∈ V, v 1 6= 0. Dann ist für v ∈ V
v = ka1 v 1 k = |a1 | kv 1 k = kv 1 k kv 1 k = c1 kv 1 k
1
1
∞
1
∞
1
mit c1 = kv 1 k1 .
Als Nächstes betrachten wir unter der Annahme, dass für einen Vektorraum der Dimension n−1
schon ein c1 gefunden ist, das der Ungleichung genügt, einen Vektorraum V der Dimension n und
mit der Basis {v 1 , v 2 , . . . , v n }. Weiters sei W der Teilraum von V , der von {v 1 , v 2 , . . . , v n−1 }
aufgespannt wird. Das bedeutet, dass die Normen k k∞ und k k1 auf W äquivalent sind, denn
der Teilraum besitzt ja die Dimension n − 1.
78
5.1. NORMIERTE VEKTORRÄUME ÜBER VOLLSTÄNDIGEN,
BEWERTETEN KÖRPERN
Es sei (wm )m≥1 eine Cauchyfolge in W bezüglich k k1 und daher auch bezüglich k k∞ mit den
Folgegliedern
wi = a1i v 1 + a2i v 2 + · · · + an−1i v n−1 .
Aus Beispiel 1 wissen wir, dass W bezüglich k k∞ vollständig ist, und wir setzen
w = a1 v 1 + a2 v 2 + · · · + an−1 v n−1 ,
mit limi→∞ aji = aj ∈ K für j = 1, . . . , n − 1. Es ist dann w = limi→∞ wi bezüglich k k∞ und
auch bezüglich k k1 , die Normen sind ja auf W äquivalent.
Der affine Raum v n + W ist ebenfalls vollständig, und da jeder vollständige Teilraum eines
metrischen Raumes abgeschlossen ist, ist v n + W abgeschlossen in V.
Es ist 0 ∈
/ v n + W, denn wäre dies der Fall, dann könnten wir eine Linearkombination finden,
sodass
0 = v n + a1 v 1 + a2 v 2 + · · · + an−1 v n−1
mit ai ∈ K für i = 1, . . . , n − 1 erfüllt ist. Dies widerspräche aber der Voraussetzung, dass die
Menge {v 1 , v 2 , . . . , v n } als Basis von V linear unabhängig ist.
Daher ist 0 im Komplement von v n + W enthalten. Dieses Komplement ist offen in V, es gibt
also eine bezüglich k k1 offene Kugel Brn (0) = {v ∈ V : kv − 0k1 < rn } um Null, die ganz in
ihm enthalten ist. Das bedeutet aber auch, dass alle w ∈ v n + W einen „Mindestabstand“ von
Null haben:
kwk1 = kw − 0k1 ≥ rn .
Für beliebige ai ∈ K ist also
ka1 v 1 + a2 v 2 + · · · + an−1 v n−1 + v n k1 ≥ rn .
Daraus folgt auch, dass für alle v ∈ V
kvk1 = ka1 v 1 + a2 v 2 + · · · + an−1 v n−1 + an v n k1 ≥ |an | rn
gilt: Für an = 0 ist die Ungleichung klarerweise erfüllt, und für an 6= 0 erhalten wir durch
Division wieder die Ungleichung
a1
v 1 + a2 v 2 + · · · + an−1 v n−1 + v n ≥ rn .
an
an
an
1
Führen wir analoge Überlegungen für die anderen (n − 1)-dimensionalen Teilräume von V
durch, die von jeweils
(n − 1) Basisvektoren aufgespannt werden, so sehen wir, dass jedes v ∈ V
n
insgesamt n−1
= n Ungleichungen der Form
kvk1 = ka1 v 1 + a2 v 2 + · · · + an−1 v n−1 + an v n k1 ≥ |ai | ri ,
für i = 1, . . . , n genügt, wobei alle ri positiv und von v unabhängig sind. Wir setzen c1 =
min1≤i≤n ri und erhalten somit
kvk1 = ka1 v 1 + a2 v 2 + · · · + an−1 v n−1 + an v n k1 ≥ c1 kvk∞
mit kvk∞ = max1≤i≤n |ai | .
Damit haben wir gezeigt, dass jede beliebige Norm auf V der Supremumsnorm äquivalent ist.
Die Aussage über die Vollständigkeit ergibt sich direkt aus dieser Tatsache.
Da leicht einzusehen ist, dass die Äquivalenz von Normen eine Äquivalenzrelation darstellt,
folgt außerdem, dass je zwei Normen k k1 und k k2 auf V äquivalent sind.
79
KAPITEL 5. DER ALGEBRAISCHE ABSCHLUSS VON QP
Proposition 2: Es sei K ein lokalkompakter, vollständiger, bewerteter Körper und V ein endlichdimensionaler Vektorraum über K. Dann ist V lokalkompakt.
Beweis. Wir wählen für unsere Betrachtungen wiederum die Supremumsnorm k k∞ . Es sei
darauf hingewiesen, dass lokale Kompaktheit eine topologische Eigenschaft ist, und wir deshalb
nach Satz 1 mit jeder anderer Norm auf V zu dem selben Resultat gelangen würden.
Wie in Satz 2 auf Seite 46 genügt es zu zeigen, dass die abgeschlossene Einheitskugel
B 1 (0) = {v ∈ V : kvk∞ ≤ 1}
in V kompakt ist. Für ein beliebiges v ∈ V finden wir dann eine kompakte Umgebung durch
die stetige Verschiebung v + B 1 (0) .
Ist {v 1 , v 2 , . . . , v n } eine Basis
von V, so liegt v = a1 v 1 + · · · + an v n in B 1 (0) genau dann,
wenn kvk∞ = max1≤i≤n ai ≤ 1 erfüllt ist, das heißt, alle ai müssen in der abgeschlossenen
Einheitskugel in K liegen.
Da K nach Voraussetzung lokalkompakt ist, besitzt 0 eine kompakte Umgebung U. Dann gibt
es ein r > 0, sodass B r (0) ⊆ U ist.
Wählen wir nun ein a ∈ K so, dass |a| ≥ 1r gilt, dann ist auch aU kompakt, und es folgt
B 1 (0) ⊆ aB r (0) ⊆ aU. Das heißt, die abgeschlossene Einheitskugel in K ist kompakt.
Um die Kompaktheit von B 1 (0) in V zu zeigen, genügt es zu beweisen, dass B 1 (0) vollständig
und total beschränkt ist.
Wegen Satz 1 wissen wir bereits, dass V vollständig ist. Da B 1 (0) eine abgeschlossene Teilmenge
eines vollständigen Raumes ist, ist auch B 1 (0) vollständig.
Um zu zeigen, dass B 1 (0) total beschränkt ist, benutzen wir die Tatsache, dass die abgeschlossene
Einheitskugel in K kompakt und daher total beschränkt ist. Es sei
{B (c1 ) , B (c2 ) , . . . , B (cN )}
eine endliche Überdeckung von B 1 (0) in K.
Für ν : {1, . . . , n} → {1, . . . , N } sei wν = cν(1) v 1 + cν(2) v 2 + · · · + cν(n) v n . Dann ist
{B (wν ) : ν : {1, . . . , n} → {1, . . . , N }}
eine endliche Überdeckung der abgeschlossenen Einheitskugel in V . Denn ist v = a1 v 1 + a2 v 2 +
· · ·+an v n ein beliebiges Element in B 1 (0), dann gibt es für alle i, da ja ai in der abgeschlossenen
Einheitskugel in K liegt, ein ν(i) ∈ {1, . . . , N } mit cν(i) − ai < . Daraus folgt wegen
kwν − vk∞ = max cν(i) − ai < ,
1≤i≤n
dass v in der offenen Kugel B (wν ) liegt.
Bemerkung 1: Es gilt auch die Umkehrung, nämlich, dass jeder lokalkompakte, normierte Vektorraum über K endlichdimensional ist (siehe zum Beispiel [18], S. 93).
80
5.2. DIE NORM EINER KÖPERERWEITERUNG
5.2
Die Norm einer Köpererweiterung
In diesem Abschnitt wiederholen wir einige Grundbegriffe aus der Theorie algebraischer Körpererweiterungen um uns schließlich mit der Norm eines algebraischen Elements zu beschäftigen.
Es sei darauf hingewiesen, dass auch in diesem Kontext die Bezeichnung „Norm“ eine lange Tradition besitzt, obwohl sie etwas wesentlich anderes darstellt als die Norm auf einem Vektorraum
aus Definition 1 auf Seite 75.
Es sei K ein Körper, der F als Teilkörper enthält. Dann heißt K ein Erweiterungs- oder Oberkörper von F, und das Paar F ⊆ K wird eine Körpererweiterung genannt. Es ist in der Literatur
weit verbreitet, dafür K/F („K über F “) zu schreiben.
Es gilt char (K) = char (F ) , wobei char die Charakteristik von K beziehungsweise F bezeichnet.
Ist K/F eine Körpererweiterung, so kann K auch als Vektorraum über F angesehen werden.
Die Dimension dieses Vektorraums bezeichnen wir als den Grad der Körpererweiterung [K : F ] ,
das heißt,
[K : F ] := dimF K.
Wir sprechen von einer endlichen Körpererweiterung, wenn [K : F ] endlich ist.
Eine Körpererweiterung K/F heißt einfach, wenn sich durch Adjunktion eines Elements α
entsteht, es ist dann also K = F (α) , und α wird primitives Element genannt. Hat F die
Charakteristik 0, so ist jede endliche Körpererweiterung einfach.
Ein Element α ∈ K heißt algebraisch über F, wenn es ein f (X) ∈ F [X] gibt, sodass α Nullstelle
dieses Polynoms und f 6= 0 ist. Es gibt dann ein eindeutig bestimmtes, normiertes Polynom
kleinsten Grades mit dieser Eigenschaft. Dieses heißt das Minimalpolynom von α über F. Eine
Körpererweiterung K heißt algebraisch über F, wenn alle α ∈ K algebraisch sind. Jede endliche
Körpererweiterung ist algebraisch.
Aus Definition 3 auf Seite 53 wissen wir, dass ein Körper F genau dann algebraisch abgeschlossen
ist, wenn jedes nichtkonstante Polynom f (X) über F vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Wir
können das auch so ausdrücken: F ist genau dann algebraisch abgeschlossen, wenn es keine echte
algebraische Körpererweiterung K/F gibt.
Ein Erweiterungskörper F heißt algebraischer Abschluss von F, wenn die Körpererweiterung
F /F algebraisch und F algebraisch abgeschlossen ist.
Der sogenannte Gradsatz besagt, dass sich für eine Kette endlicher Körpererweiterung F ⊆
M ⊆ K der Grad der Erweiterung von K/F durch [K : F ] = [K : M ] [M : F ] ergibt.
Ist {x1 , . . . , xn } dann eine Basis von K über M und {y1 , . . . , ym } eine Basis von M über F,
so bilden die Produkte {y1 x1 , . . . , yj xi , . . . , ym xn } eine Basis von K über F.
Eine algebraische Körpererweiterung K/F heißt normal, wenn jedes irreduzible Polynom f (X)
aus F [X], das in K eine Nullstelle besitzt, über K vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Das
heißt, es liegen dann alle Nullstellen von f (X) in K.
Zu einer algebraischen Körpererweiterung K/F, die nicht normal ist, können wir immer einen
Oberkörper L von K finden, sodass L algebraisch über K und normal über F ist. Der kleinste
Erweiterungskörper mit dieser Eigenschaft heißt die normale Hülle.
Ist K ein algebraischer Abschluss von K, dann gilt für eine normale Körpererweiterung K/F ,
dass jeder Homomorphismus σ : K → K, der eingeschränkt auf F die Identität darstellt,
ein Automorphismus von K ist. Wir können also die Menge dieser Homomorphismen mit der
81
KAPITEL 5. DER ALGEBRAISCHE ABSCHLUSS VON QP
Gruppe AutF (K) identifizieren, also jener Automorphismen auf K, welche die Identität F → F
fortsetzen.
Zwei Elemente α1 , α2 ∈ K heißen konjugiert über F, wenn sie Wurzeln desselben Minimalpolynoms über F sind. Ist K/F eine normale, einfache Körpererweiterung vom Grad n mit primitivem Element α und sind {α1 , α2 , . . . , αn } die Konjugierten von α = α1 und alle verschieden,
dann gibt es genau n Automorphismen σi ∈ AutF (K) , die durch σi (α) = αi , i = 1, . . . , n
eindeutig bestimmt sind.
Eine algebraische Körpererweiterung K/F heißt separabel, wenn das Minimalpolynom eines jeden Elements α ∈ K separabel über F ist, wobei ein Polynom separabel genannt wird, wenn
es in seinem Zerfällungskörper nur einfache Nullstellen besitzt. Ist char(F ) = 0, so ist jede algebraische Körpererweiterung K/F separabel. Eine algebraische Körpererweiterung K/F heißt
galoissch, wenn sie normal und separabel ist. In diesem Fall wird AutF (K) als die GaloisGruppe der Körpererweiterung bezeichnet und als Gal(K/F ) geschrieben.
Als Nächstes befassen wir uns mit der Norm einer Köpererweiterung:
Definition 3: Es sei K ein Erweiterungskörper von F, und der Grad n dieser Körpererweiterung
sei endlich. Wir betrachten für α ∈ K die F -lineare Abbildung
ϕα : K → K,
x 7→ αx.
Es sei Aα die Matrix von ϕα bezüglich irgendeiner Basis. Dann heißt ihre Determinante die
Norm von α bezüglich der Körpererweiterung K/F, und wir schreiben NK/F (α) für diese Norm.
Es gilt also
NK/F (α) = det Aα .
0
Diese Definition ist unabhängig von der Wahl der Basis, denn ist Aα die Matrix von ϕα bezüglich
0
einer anderen Basis, so gilt M −1 Aα M = Aα für eine Matrix M zum Basiswechsel.
Wir sehen sofort, dass NK/F (αβ) = NK/F (α) NK/F (β) für alle α, β ∈ K gilt, denn die
Matrix, welche die Multiplikation mit α · β darstellt, ist durch das Produkt der Matrizen Aα
und Aβ gegeben, und die Determinante eines Produkts von Matrizen ist gleich dem Produkt
der Determinanten.
Außerdem ist NK/F (α) = αn für α ∈ F, denn in diesem Fall wird die Abbildung ϕα durch das
α-fache der Einheitsmatrix beschrieben.
Proposition 3: Es sei F ein Körper der Charakteristik 0 und K = F (α) . Der Erweiterungskörper
K von F wird also von nur einem Element erzeugt. Der Grad dieser Körpererweiterung sei n,
und das Minimalpolynom von α sei X n +a1 X n−1 +· · ·+an mit ai ∈ F und habe n verschiedene
Konjugierte. Dann ist
n
Y
n
NK/F (α) = (−1) an =
αi ,
i=1
wobei die Elemente αi , i = 1, . . . , n die Konjugierten von α = α1 über F darstellen.
Beweis. Die zweite Gleichheit folgt unmittelbar durch Koeffizientenvergleich aus:
X n + a1 X n−1 + · · · + an =
n
Y
i=1
82
(X − αi ) .
5.2. DIE NORM EINER KÖPERERWEITERUNG
n
Um NK/F (α) = (−1) an zu zeigen, wählen wir 1, α, α2 , . . . , αn−1 als Basis von K über F.
Dann hat die Matrix, die die Multiplikation eines Elements von K mit α darstellt, die Gestalt


0 0 ··· 0
−an
 1 0
0 −an−1 




..
..
..
,
.
0
1
.
.
Aα = 



 .
.
.. 0
 ..
−a2 
0 ···
0 1
−a1
wobei wir berücksichtigen, dass αn = −a1 αn−1 − · · · − an−1 α − an gilt. Wenn wir bei der
Berechnung der Determinante von Aα nach der ersten Zeile entwickeln, sehen wir leicht, dass
n
det Aα = (−1) an gilt.
Proposition 4: Es sei K/F eine endliche Körpererweiterung, char (K) = 0 und α ∈ K. Dann ist
[K:F (α)]
NK/F (α) = NF (α)/F (α)
.
Beweis. Es ist 1, α, α2 , . . . , αn−1 eine Basis von F (α) als Vektorraum über F, und es
sei {β1 , β2 , . . . , βs } eine Basis von K als Vektorraum über F (α) , wobei s = [K : F (α)] =
dimF (α) K gelte. Nach dem Gradsatz bildet die Menge
β1 , αβ1 , . . . , αn−1 β1 , . . . , βs , αβs , . . . , αn−1 βs
eine Basis von K über F.
Es ist dann ϕα αi βj = αi+1 βj mit ϕα wie in Definition 3. Wir sehen, dass diese Multiplikation
nur auf αi Einfluss nimmt, βj bleibt gleich.
Berücksichtigen wir wieder, dass αn = −a1 αn−1 − · · · − an−1 α − an gilt, dann beschreibt die
Matrix Aα = (alk )0≤l,k≤n−1 aus dem Beweis der letzten Proposition die Multiplikation mit α
auf F (α) .
Die Matrix, welche die Multiplikation bezüglich der Basis β1 , αβ1 , . . . , αn−1 βs darstellt,
bezeichnen wir mit Bα , und es ist


Aα
0


Aα


Bα = 

..


.
0
Aα
mit s Blöcken Aα in der Diagonalen und Nullen sonst. Denn es ist nun leicht ersichtlich, dass
sich ϕα auf K für i = 0, . . . , n − 1 folgendermaßen beschreiben lässt:
ϕα : αi βj 7→ a0i α0 + a1i α1 + · · · + a(n−1)i αn−1 βj ,
wobei a0i , a1i , . . . , a(n−1)i
T
genau die (i + 1)-te Spalte von Aα dargestellt. Somit folgt
s
s
NK/F (α) = det Bα = (det Aα ) = NF (α)/F (α) .
83
KAPITEL 5. DER ALGEBRAISCHE ABSCHLUSS VON QP
Bemerkung 2: Ist F ⊆ M ⊆ K eine Kette endlicher Körpererweiterungen von Körpern der
Charakteristik 0, so gilt
NK/F (α) = NM/F NK/M (α) .
Es sei nämlich zunächst α ∈ F. Dann ist NM/F (α) = α[M :F ] .
Nun sei α ∈ K beliebig, und wir nehmen an, dass M = F (α) ist. Dann folgt mit Proposition 4:
NK/F (α) = NF (α)/F (α)
[K:F (α)]
= NF (α)/F (α) · · · NF (α)/F (α)
|
{z
}
[K:F (α)] mal
= NF (α)/F α
[K:F (α)]
= NF (α)/F NK/F (α) (α) .
5.3
Endliche Körpererweiterungen über Qp
5.3.1
Die Fortsetzung des p-adischen Absolutbetrags | |p
Nun wollen wir uns Erweiterungskörpern der p-adischen Zahlen widmen und uns insbesondere
überlegen, ob sich auf diesen der p-adische Absolutbetrag fortsetzen lässt.
Es sei also K ein Erweiterungsköper von Qp . Dann ist char (K) = char (Qp ) = 0, und wir
nehmen an, dass [K : Qp ] = dimQp K endlich ist.
Für einen Absolutbetrag | | auf K gelten die uns bereits bekannten Eigenschaften aus Definition 1 auf Seite 7, nämlich
(A1) |x| ≥ 0 für alle x ∈ K, |x| = 0 ⇐⇒ x = 0,
(A2) |xy| = |x| |y| für alle x, y ∈ K,
(A3) |x + y| ≤ |x| + |y| für alle x, y ∈ K.
Setzt | | den p-adischen Absolutbetrag | |p fort, muss zusätzlich noch folgende Bedingung erfüllt
sein:
|λ| = |λ|p für alle λ ∈ Qp .
Proposition 3 auf Seite 10 besagt, dass ein Absolutbetrag genau dann nichtarchimedisch ist,
wenn sein Wert für alle ganzen Zahlen n kleiner als Eins oder höchsten Eins ist. Wenn wir nun
bedenken, dass Z in Qp enthalten ist, folgt unmittelbar für jeden Absolutbetrag | | auf K, der
| |p fortsetzt, dass auch er nichtarchimedisch ist, denn für alle n ∈ Z gilt dann |n| = |n|p ≤ 1.
Da wir wissen, dass K im Falle einer Körpererweiterung K/Qp auch als Vektorraum über
Qp angesehen werden kann, stellt sich die Frage nach einem Zusammenhang zwischen dem
Absolutbetrag des Köpers K und der Norm des Vektorraums K. Vergleichen wir also (A1)(A3) mit (N1)-(N3) aus Definition 1 auf Seite 75, so sehen wir, dass sich diese Eigenschaften
fast entsprechen, und sie stimmen sogar überein, wenn wir in (A2) die Multiplikation auf K zu
einer Multiplikation Qp × K → K einschränken.
Halten wir also fest, dass jeder Absolutbetrag auf K auch als Norm auf einem Vektorraum
angesehen werden kann. Natürlich ist nicht jede solche Norm ein Absolutbetrag.
84
5.3. ENDLICHE KÖRPERERWEITERUNGEN ÜBER QP
Mit diesem Wissen folgt aus Abschnitt 5.1 nun unmittelbar, dass unter der Voraussetzung,
dass [K : Qp ] endlich ist, ein Erweiterungsköper K von Qp bezüglich eines auf ihm definierten
Absolutbetrags | | vollständig ist. Insbesondere ist K dann bezüglich einer Fortsetzung des
p-adischen Absolutbetrags vollständig.
Weiters entspricht die von | | am Erweiterungskörper induzierte Topologie der Topologie von
K als normierten Vektorraum über Qp , denn auf einem endlichdimensionalen Vektorraum sind
alle Normen äquivalent. Die Topologie am Erweiterungskörper ist also unabhängig von der
speziellen Wahl eines Absolutbetrags.
Proposition 5: Es sei K/Qp eine endliche Körpererweiterung. Dann gibt es höchstens einen
Absolutbetrag auf K, der den p-adischen Absolutbetrag | |p fortsetzt.
Beweis. Es seien | |1 und | |2 zwei Absolutbeträge auf K, und wir nehmen an, dass beide den
p-adischen Absolutbetrag | |p fortsetzen.
Als Normen eines Vektorraums betrachtet, sind | |1 und | |2 äquivalent. Daher gibt es nach
Proposition 1 auf Seite 77 zwei reelle Konstanten c1 , c2 mit 0 < c1 ≤ c2 < ∞, sodass für alle
x∈K
c1 |x|2 ≤ |x|1 ≤ c2 |x|2
erfüllt ist. Für ein beliebiges n ∈ N können wir x durch xn ersetzen – die Ungleichung gilt ja
für alle Elemente des Körpers. So erhalten wir
c1 |xn |2 ≤ |xn |1 ≤ c2 |xn |2 .
Da es sich bei | |1 und | |2 um Absolutbeträge handelt, folgt mit (A2)
n
n
n
c1 |x|2 ≤ |x|1 ≤ c2 |x|2 ,
und das entpricht
√
n
√
c1 |x|2 ≤ |x|1 ≤ n c2 |x|2 .
√
√
Dies gilt für alle n, und da für n → ∞ sowohl n c1 → 1 als auch n c2 → 1 konvergiert, folgt für
alle x ∈ K
|x|1 = |x|2 .
Dieses Resultat zeigt die Eindeutigkeit einer Fortsetzung des p-adischen Absolutbetrags auf
einem Erweiterungskörper, nicht aber deren Existenz. Unser nächstes Ziel ist es daher, uns
davon zu überzeugen, dass es so eine Fortsetzung tatsächlich gibt, und das machen wir, indem
wir sie konstruieren. Eine wichtige Rolle dabei spielt die Norm auf einer Körpererweiterung aus
Abschnitt 5.2.
Wir betrachten zunächst eine endliche, normale Körpererweiterung K/Qp , von der wir wissen,
dass sie von einem Element α erzeugt wird, das heißt, K = Qp (α) . Es sei [K : Qp ] = n und | |
ein Absolutbetrag auf K, der den p-adischen Absolutbetrag fortsetzt. Da die Körpererweiterung
normal ist, liegen auch alle Konjugierten α1 , . . . , αn von α = α1 in K.
0
0
Es sei σ ∈ Gal(K/Qp ), dann ist σ (α) = αj für ein j ∈ {1, . . . , n}. Betrachten wir nun eine
0
0
Abbildung | | : K → R, x 7→ σ (x), so definiert auch diese einen Absolutbetrag auf K.
85
KAPITEL 5. DER ALGEBRAISCHE ABSCHLUSS VON QP
0
Das ist leicht einzusehen, denn σ ist ein Automorphismus, daher gilt für alle x, y ∈ K :
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
|xy| = σ (xy) = σ (x) σ (y) = σ (x)σ (y) = |x| |y| sowie |x + y| = σ (x + y) =
0
0
0
σ (x) + σ 0 (y) ≤ σ 0 (x) + σ 0 (y) = |x| + |y| , und es ist klarerweise auch (A1) erfüllt.
0
0
0
Insbesondere ist aber |λ| = σ (λ) = |λ| = |λ|p für λ ∈ Qp , denn σ entspricht auf Qp
der Identität. In Proposition 5 haben wir gezeigt,
dass höchstens ein Absolutbetrag am Erweiterungskörper den p-adischen Absolutbetrag p fortsetzen kann, und das bedeutet, dass
0
|x| = |x| für alle x ∈ K gilt.
Für die anderen Automorphismen aus Gal(K/Qp ) gilt entsprechendes, daher folgt für das Produkt über alle σi ∈ Gal(K/Qp ), i = 1, . . . , n
Y
n
σi (x) = |x| ,
σi
und das gilt für alle x ∈ K.
Vergleichen wir die linke Seite dieser Gleichung mit Proposition 3, dann folgt insgesamt, dass
n
|x| = NK/Qp (x)
beziehungsweise
r
|x| = n NK/Qp (x)
für alle x ∈ K ist.
Die Berechnung des Absolutbetrags eines jeden Elementes x in K wird also auf die Berechnung des p-adischen Absolutbetrags | |p eines Elementes λ = NK/Qp (x) , welches in Qp liegt,
zurückgeführt, denn die Norm stellt eine Funktion von K nach Qp dar. Daher gilt
r
r
n |x| = NK/Qp (x) = n NK/Qp (x) .
p
Sind K und L zwei Erweiterungsköper von Qp , wobei Qp ⊆ L ⊆ K gelte, | |L ein Absolutbetrag
auf L und | |K einer auf K, die jeweils den p-adischen Absolutbetrag fortsetzen, dann folgt für
x ∈ L wegen der Eindeutigkeit der Fortsetzung aus Proposition 5, dass |x|L = |x|K ist. Diese
Überlegung stimmt auch mit den Eigenschaften der Norm überein:
Proposition 6: Es seien L und K zwei Erweiterungskörper von Qp und zwar so, dass Qp ⊆ L ⊆ K
gilt und n = [K : Qp ] endlich ist. Dann gilt für x ∈ L
q
q
NL/Q (x) = n NK/Q (x) ,
p
p
p
p
m
wobei m = [L : Qp ] ist.
Beweis. Nach Bemerkung 2 auf Seite 84 gilt
NK/Qp (x) = NL/Qp NK/L (x)
86
5.3. ENDLICHE KÖRPERERWEITERUNGEN ÜBER QP
sowie NK/L (x) = x[K:L] , und wegen des Gradsatzes ist n = [K : L] · m. Insgesamt ergibt das
n
NK/Qp (x) = NL/Qp (x) m ,
und wenn wir davon den Absolutbetrag nehmen, so folgt unmittelbar die Gleichung.
Das bedeutet also, dass der Wert des Absolutbetrag eines Elementes x in allen Erweiterungskörpern, die x enthalten, gleich ist. Insbesondere gilt das auch für nicht normale Körpererweiterungen.
Zusammenfassend können wir daher sagen:
Gibt es auf einem Erweiterungskörper K von Qp einen Absolutbetrag, der den p-adischen
Absolutbetrag | |p fortsetzt, so muss dieser durch die Formel
|x| =
q
n NK/Qp (x)p
gegeben sein, wobei n = [K : Qp ] endlich ist.
Wir benötigen noch das folgende Resultat, um dann endlich in der Lage zu sein, die Existenz
dieser Fortsetzung zu beweisen:
Lemma 1: Es sei K/Qp eine endliche Körpererweiterung. Für x ∈ K definieren wir
1/[K:Qp ]
.
|x| = NK/Qp (x)
p
Ist |γ| ≤ 1 für ein γ ∈ K, dann ist auch |γ + 1| ≤ 1.
Beweis. Es sei K = Qp (γ) und n = [K : Qp ] . Γ := 1, γ, . . . , γ n−1 ist eine Basis von K als
Vektorraum über Qp .
Pn−1
Für ein Element α ∈ K, α = i=0 ai γ i sei die Supremumsnorm k k∞ wie in Beispiel 1 auf
Seite 77 definiert, also durch
kαk∞ = max |ai |p ,
0≤i<n
und unter der Supremumsnorm einer n × n Matrix A = (αij )1≤i,j≤n mit aij ∈ Qp für alle i, j
verstehen wir Folgendes:
kAk∞ := max |aij |p .
1≤i,j≤n
Ist ϕ : K → K, ϕ (x) = γx, so sei A die Matrix von ϕ in Bezug auf Γ. Dann entspricht Ai der
Multiplikation mit γ i sowie (In + A) jener mit 1 + γ.
Wir betrachten eine Folge Ai ∞ i≥0 . Diese ist beschränkt, was wir nun indirekt zeigen
wollen. Wir nehmen also an, die Folge
sei unbeschränkt. Dann können wir
k ≥ 0
für
jedes
ein Folgeglied finden, sodass Aik ∞ > k erfüllt ist. Es sei (bk )k≥0 := Aik ∞ k≥0 die so
gefundene Teilfolge, und βk ein Eintrag von Aik mit |βk | = Aik > k.
p
∞
Wir setzen Bk :=
Dann ist klarerweise kBk k∞ = 1 für alle k, und das bedeutet, dass
Bk in der bezüglich k k∞ kompakten Einheitskugel liegt. Wir können also eine konvergente
Teilfolge (Bks )s≥0 finden, und den Grenzwert dieser Folge bezeichnen wir mit B. Es ist dann
kBk∞ = 1.
1
ik
βk A .
87
KAPITEL 5. DER ALGEBRAISCHE ABSCHLUSS VON QP
Für alle k ∈ N, k 6= 0 und |γ|p ≤ 1 gilt
ik
1 1 ik =
n det A
n NQp (γ)/Qp (γ) p
p
|βk |p
|βk |p
1
1
nik
=
< n.
n |γ|
k
|βk |p
|det Bk |p =
Betrachten wir die Teilfolge (Bks )s≥0 , so folgt det B = lims→∞ det Bks = 0, und wir werden
nun zeigen, dass dann auch B = 0 ist.
Zunächst sei darauf hingewiesen, dass BAi = Ai B gilt, denn B ist ja der Grenzwert von Matrizen
der Form Bk = β1k Aik , und es ist Bk Ai = β1k Aik Ai = β1k Aik +i .
Es sei ψ : K → K diejenige Qp −lineare Abbildung, die in Bezug auf Γ die Matrix B besitzt.
Wegen det B = 0 gibt es ein l ∈ K mit ψ(l) = 0. Da ψ mit ϕ vertauschbar ist, gilt für 0 ≤ i < n
ψ γ i l = ψ ϕi (l) = γ i (ϕ (l)) = 0.
Da auch die Menge l, γl, . . . , γ n−1 l eine Basis von K als Vektorraum über Qp bildet, muss
somit B = 0 gelten. Das widerspricht aber unserer Annahme, dass kBk∞ = 1 ist.
Daher ist Ai ∞ i≥0 beschränkt, und es sei c so eine Schranke.
Dann gilt für N ∈ N, N > 0
N
|1 + γ|
1/n
N
= det (In + A) p
N X
N
=
Ai i
N/n
= |det (In + A)|p
N
≤ (In + A) ∞
i=0
∞
≤ max Ai ∞ ≤ c,
0≤i≤N
n
n
wobei wir verwendet haben, dass |det A|p ≤ maxi,j |aij |p = kAk∞ für eine n × n Matrix A gilt.
√
Es ist also |1 + γ| ≤ N c, und das ergibt |1 + γ| ≤ 1 für N → ∞.
Satz 2: Es sei K/Qp eine endliche Körpererweiterung mit [K : Qp ] = n. Dann definiert die
Abbildung
q
| | : K → R,
x 7→ n NK/Qp (x)p
einen nichtarchimedischen Absolutbetrag auf K, der den p-adischen Absolutbetrag | |p fortsetzt.
Beweis. Es sei also für alle x ∈ K
|x| =
q
n NK/Qp (x)p .
Für λ ∈ Qp stimmt dieser Absolutbetrag mit dem p-adischen überein, denn dann gilt NK/Qp (λ) =
q
n
λn und somit ist n |λ|p = |λ|p = |λ| .
Nun zeigen wir, dass für x ∈ K die Eigenschaften (A1) und (A2) sowie die nichtarchimedische
Dreiecksungleichung |x + y| ≤ max {|x| , |y|} erfüllt sind.
88
5.3. ENDLICHE KÖRPERERWEITERUNGEN ÜBER QP
Es ist |x| = 0 genau dann, wenn NK/Qp (x) = 0 ist, das heißt, wenn die Multiplikation mit x
nicht invertierbar ist. Da es sich bei K um einen Körper handelt, ist das nur für x = 0 der Fall.
Damit ist (A1) gezeigt, und die Eigenschaft (A2) folgt aus
NK/Qp (xy) = NK/Qp (x) NK/Qp (y) .
Es bleibt noch zu zeigen, dass |x + y| ≤ max {|x| , |y|} für alle x, y ∈ K gilt. Dazu nehmen wir
o.B.d.A. an, dass |x| ≤ |y| ist. Wir setzen z = xy , dann ist |z|p ≤ 1.
Um |x + y| ≤ |y| zu erhalten, genügt es also |z + 1| ≤ |1| zu zeigen. Aber nun folgt der Satz
unmittelbar aus Lemma 1.
Für jede endliche Körpererweiterung K/Qp gibt es einen eindeutig bestimmten Absolutbetrag auf dem Erweiterungskörper K, der den p-adischen Absolutbetrag | |p fortsetzt. Diesen
bezeichnen wir wiederum als den p-adischen Absolutbetrag und schreiben ihn auch ab sofort
als | |p . Es ist K bezüglich dieses Absolutbetrags vollständig.
5.3.2
Eigenschaften endlicher Körpererweiterungen über Qp
Es sei nun also K/Qp eine endliche Körpererweiterung, und | |p bezeichne den p-adische Absolutbetrag sowohl auf Qp als auch K. Die Wertemenge von | |p auf Qp umfasst {pm : m ∈ Z} ∪ {0} .
1/n
Da für x ∈ K der Absolutbetrag gegeben ist durch NK/Qp (x)p , ist auch die Wertemenge
am Erweiterungsköper diskret und entspricht pm : m ∈ n1 Z ∪ {0} .
Wir können somit die p-adische Ordnung ordp ebenfalls auf K fortsetzen, indem wir sie für
x ∈ K, x 6= 0 als jene eindeutig bestimmte rationale Zahl definieren, die |x|p = p−ordp (x) erfüllt,
sowie ordp (x) = +∞ für x = 0 setzen.
Die p-adische Ordnung lässt sich für jedes x ∈ K × durch folgenden Zusammenhang berechnen,
wobei auf der rechten Seite die p-adische Ordnung auf Qp aus Definition 2 auf Seite 8 gemeint
ist:
1
ordp (x) = ordp NK/Qp (x) .
n
Aus unseren Überlegungen zum p-adischen Absolutbetrag von | |p auf K folgt, dass die Wertemenge von ordp in n1 Z enthalten ist, und das nächste Resultat zeigt, welcher Untergruppe sie
genau entspricht:
Proposition 7: Die p-adische Ordnung ordp ist ein Gruppenhomomorphismus
ordp : K ×, · → (Q, +) ,
und das Bild dieses Homomorphismus ist von der Form 1e Z, wobei e ein Teiler von n = [K : Qp ]
ist.
Beweis. Es sei
f : K × → Z,
f (x) = n · ordp (x) .
Das ist ein Gruppenhomomorphismus, also ist f (K × ) eine Untergruppe von Z. Es gibt daher
eine positive ganze Zahl d mit f (K × ) = dZ. Da f (p) = n ist, gilt n ∈ dZ, und somit wird n
89
KAPITEL 5. DER ALGEBRAISCHE ABSCHLUSS VON QP
von d geteilt. Setzen wir e =
n
d,
so ist ordp (K × ) = 1e Z und e ein Teiler von n.
Die Bildmenge dieses Gruppenhomomorphismus heißt die Bewertungsgruppe von K, und die
Zahl e stellt eine invariante Größe dar, auf welcher die Unterscheidung von endlichen Körpererweiterung über Qp basiert:
Definition 4: Es sei K/Qp eine endliche Körpererweiterung, und es sei e = e (K/Qp ) jene eindeutig bestimmte natürliche Zahl, die durch
ordp K × = 1e Z
gegeben ist. Dann heißt e der Verzweigungsindex von K über Qp .
Eine Körpererweiterung K/Qp wird unverzweigt genannt, wenn e = 1 ist, ansonsten heißt sie
verzweigt. Ist e = n, so sagen wir, die Körpererweiterung ist total verzweigt.
Definition 5: Es sei K/Qp eine endliche Körpererweiterung mit Verzweigungsindex e. Ein Element π ∈ K heißt eine Uniformisierende, wenn ordp (π) = 1e ist.
Im Allgemeinen gibt es viele Uniformisierende. Ist die Körpererweiterung unverzweigt, so stellt
p eine Uniformisierende dar.
Als Nächstes werden wir uns mit der algebraischen Struktur des Erweiterungskörpers K beschäftigen. Der Bewertungsring und das Bewertungsideal aus Definition 12 in Kapitel 1 werden durch
folgende Mengen beschrieben:
O = OK = {x ∈ K : |x|p ≤ 1} = {x ∈ K : ordp (x) ≥ 0},
P = PK = {x ∈ K : |x|p < 1} = {x ∈ K : ordp (x) > 0}.
Wir wissen, dass OK ein lokaler Ring und der Restklassenkörper durch den Quotient
κ = OK/PK
gegeben ist.
Die meisten Behauptungen der nächsten Proposition folgen leicht aus früheren Überlegungen:
Proposition 8: Es sei K/Qp eine endliche Körpererweiterung und π eine Uniformisierende. Dann
gilt:
1. Das Ideal PK ⊆ OK ist ein Hauptideal und wird von der Uniformisierenden π erzeugt.
×
eordp (x)
2. Jedes Element x ∈ K kann in der Form
x=
geschrieben werden, wobei u ∈ OK
uπ
−1
eine Einheit ist, und es gilt K = OK π
.
3. Es ist κ/Fp eine endliche Körpererweiterung, deren Grad [κ : Fp ] kleiner oder gleich
[K : Qp ] ist. Insbesondere ist die Zahl der Elemente von κ eine Potenz pf von p.
90
5.3. ENDLICHE KÖRPERERWEITERUNGEN ÜBER QP
4. Ist x ∈ K die Wurzel eines normierten Polynoms mit Koeffizienten aus Zp , dann liegt x
in OK . Umgekehrt ist jedes Element von OK die Wurzel eines normierten Polynoms mit
Koeffizienten in Zp .
5. Die Einheitskugel OK von K ist kompakt, und die Mengen π n OK , n ∈ Z bilden eine
Umgebungsbasis von 0. Es ist K als topologischer Raum ein total unzusammenhängender,
lokalkompakter Hausdorffraum.
6. Es sei C = 0, c1 , c2 , . . . , cpf −1 ein vollständiges Repräsentantensystem der Restklassen
von OK /PK . Dann kann jedes x ∈ K eindeutig dargestellt werden als
x=
∞
X
ai π i = am π m + am+1 π m+1 + · · · ,
i=m
mit m = e·ordp (x) und ai ∈ C für alle i ≥ m.
Beweis.
1. Es ist |π|p < 1 für eine Uniformisierende π ∈ K, daher gilt πOK ⊆ PK . Umgekehrt ist
πOK ⊇ PK : Für alle x ∈ PK ist |x|p ≤ |π|p , daher liegt πx in OK und somit x = π πx in
πOK . Das zeigt, dass PK = (π) = πOK ein von π erzeugtes Hauptideal ist.
2. Multiplizieren wir ein Element x ∈ K, x 6= 0 mit p−ordp (x) , so erhalten wir eine Einheit u.
1/e
Somit ist x = upordp (x) , und wegen |π|p = p−1/e = |p|p ist x = uπ eordp (x) für eine
Uniformisierende π. Daraus folgt auch die zweite Aussage.
3. Die Abbildung Zp/pZp → OK/PK , a + pZp 7→ a + PK ist wohldefiniert und injektiv, denn für
zwei ganze p-adische Zahlen a, b ist genau dann a + PK = b + PK , wenn a − b in PK ∩ Zp
liegt. Das trifft genau dann zu, wenn a + pZp = b + pZp gilt, denn es ist ja PK ∩ Zp = pZp .
Aus Abschnitt 4.3 wissen wir, dass Zp/pZp isomorph zu Fp ist. Wie wir eben gesehen haben,
ist die betrachtete Abbildung injektiv, das heißt, κ = OK/PK ist isomorph zu einem Erweiterungskörper von Fp .
Wir zeigen nun, dass [OK/PK : Zp/pZp ] ≤ [K : Qp ] gilt, dass also die betrachtete Körpererweiterung κ/Fp endlich ist. Es sei n = [K : Qp ] .
Es kann OK/PK als Vektorraum über Zp/pZp angesehen werden, wobei sich die Multiplikation mit einem Skalar folgendermaßen ergibt:
Zp/pZp
× OK/PK → OK/PK ,
(a + pZp ) · (b + PK ) 7→ ab + PK .
Wir betrachten n + 1 Restklassen von OK/PK , nämlich ai = ai + PK mit ai ∈ OK ,
i = 1, . . . , n+1. Da [K : Qp ] = n ist, müssen die n+1 Elemente ai über Qp linear abhängig
sein. Daher gibt es bi ∈ Qp , i = 1, . . . , n + 1, sodass a1 b1 + a2 b2 + · · · + an+1 bn+1 = 0
erfüllt ist.
Wir können sogar annehmen, dass alle bi in Zp liegen. Außerdem soll für mindestens ein
j aus {1, . . . , n + 1} gelten, dass |bj |p = 1 ist, also dass bj nicht in pZp liegt. Um das
zu erreichen, müssen wir die Elemente bi lediglich mit einer entsprechenden Potenz von p
multiplizieren.
91
KAPITEL 5. DER ALGEBRAISCHE ABSCHLUSS VON QP
Wenden wir nun auf a1 b1 +· · ·+an+1 bn+1 = 0 die Abbildung OK → OK/PK an, so erhalten
wir
n+1
n+1
X
X
ai bi + PK =
(ai + PK ) (bi + PK ) = 0.
i=1
i=1
Da alle bi ganze p-adische Zahlen sind, können wir dies als Skalarmultiplikation im Vektorraum OK/PK auffassen:
n+1
X
(bi + pZp ) (ai + PK ) = 0.
i=1
Nach unserer Voraussetzung liegt bj nicht in pZp . Das bedeutet, es gibt zumindest eine
Restklasse (bi + pZp ) ungleich Null. Daher sind die n + 1 Elemente ai ∈ OK über Qp
linear abhängig, und es folgt
OK/PK : Zp/pZp = dim κ ≤ n.
Fp
Aus der Algebra ist bekannt, dass die Anzahl der Elemente eines solchen Erweiterungskörpers eine Potenz pf von p ist.
4. Es sei α ∈ K Nullstelle des normierten Polynoms
f (X) = X m + am−1 X m−1 + · · · + a1 X + a0
mit Koeffizienten aus Zp . Für alle i ist somit |ai |p ≤ 1, und es gilt
m
|α|p = |αm |p = am−1 αm−1 + · · · + a1 α + a0 p
m−1
≤ max αm−i p = |α|p
.
1≤i≤m
Daraus würde sich ein Widerspruch ergeben, wenn |α|p > 1 wäre. Daher ist α ∈ OK .
Es sei nun umgekehrt α ∈ OK . Da es sich bei K/Qp um eine endliche Körpererweiterung
handelt, ist α algebraisch über Qp und daher Nullstelle eines Polynoms f (X) = X m +
am−1 X m−1 + · · · + a1 X + a0 mit Koeffizienten aus Qp . Es seien α1 , α2 , . . . , αm
die
Qm Konjugierten von α = α1 . Somit ist das Polynom f (X) darstellbar als f (X) =
i=1 (X − αi ) . Nun ergibt sich mit Hilfe der aus der Algebra bekannten elementarsymmetrischen Polynome für die Koeffizienten a0 , . . . , am−1 von f (X)
X Y
j
am−j = (−1)
αi .
I⊆{1,...m}
|I|=j
i∈I
Es gilt |αi |p = |α|p ≤ 1 für alle Konjugierten αi von α = α1 . Daher ist |am−j |p ≤ 1 für
alle j = 1, . . . , m, die Koeffizienten liegen also in Zp .
5. Die Aussagen folgen analog zu den in Abschnitt 1.2 und Abschnitt 4.3 angestellten Überlegungen.
6. Es sei zunächst x ∈ OK . Dann gibt es genau ein a0 ∈ C, sodass x + PK = a0 + PK gilt.
Es ist dann x − a0 ∈ πOK beziehungsweise x = a0 + πx1 für ein x1 ∈ OK . Machen wir
das Gleiche zunächst für x1 und fahren dann auf diese Weise fort, so erhalten wir die
Darstellung
x = a0 + πa1 + π 2 a2 + · · · + π n−1 an−1 + π n xn
92
5.3. ENDLICHE KÖRPERERWEITERUNGEN ÜBER QP
mit ai ∈ C für 0 ≤ i ≤ n − 1 und xn ∈ OK . Für n → ∞ gilt
x − a0 − · · · − π n−1 an−1 = |π n xn | ≤ |π|n → 0,
p
p
p
P∞
denn es ist ja |xn |p ≤ 1. Die Partialsummen der unendlichen Reihe i=0 ai π i konvergieren
also gegen das Element x ∈ OK .
Ist nun x ∈ K beliebig, dann gibt es eine ganze Zahl k, sodass π k xp ≤ 1 ist. Wir können
also für das Element π k x eine entsprechende Entwicklung in Potenzen von π finden.
Dass m = e · ordp (x) gilt, haben wir uns in Punkt 2 dieser Proposition überlegt.
Bemerkung 3: Ist S ein Ring und R ein Teilring von S, dann heißt ein Element s ∈ S ganz über
R, wenn es ein normiertes Polynom f (X) ∈ R [X] gibt mit f (s) = 0. Die Menge der ganzen
Elemente von S über R wird als ganzer Abschluss von R in S bezeichnet. Also besagt Punkt 4
in der vorigen Proposition, dass OK der ganze Abschluss von Zp in K ist.
In Proposition 8 haben wir gesehen, dass die Anzahl der Elemente des Restklassenkörpers
einer endlichen Körpererweiterung K/Qp eine Potenz pf von p ist. Wir werden nun zeigen, dass
diese Zahl f mit dem Verzweigungsindex e in Zusammenhang steht und ebenfalls eine invariante
Größe der Körpererweiterung darstellt.
Definition 6: Es sei K/Qp eine endliche Körpererweiterung mit Restklassenkörper κ ∼
= F pf .
Dann heißt f = f (K/Qp ) der Trägheitsgrad von K über Qp .
Proposition 9: Es sei K ein Erweiterungskörper von Qp mit [K : Qp ] = n < ∞. Der Verzweigungsindex der Körpererweiterung sei e und f sei der Trägheitsgrad. Dann gilt e · f = n.
Beweis. Es sei {α1 + PK , . . . , αf + PK } eine Basis von OK/PK als Vektorraum über Zp/pZp und
π eine Uniformisierende. Wir werden zeigen, dass die Elemente
α1 , α2 , . . . , αf ,
πα1 , πα2 , . . . , παf ,
...,
π e−1 α1 , π e−1 α2 , . . . , π e−1 αf
eine Basis von K über Qp bilden.
Zunächst überlegen wir uns, dass die Menge {α1 , . . . , αf } linear unabhängig über Qp ist.
Es sei also x1 α1 + · · · + xf αf = 0 mit xi ∈ Qp , xi 6= 0 für 1 ≤ i ≤ f. Wie im Beweis zu
Punkt 3 von Proposition 8 nehmen wir an, dass alle xi in Zp liegen, jedoch so, dass xj ∈
/ pZp
für mindesten ein j ∈ {1, . . . , f } gelte.
Außerdem interpretieren wir die Produkte xi αi wieder als Multiplikation mit einem Skalar im
Vektorraum OK/PK über Zp/pZp . Das heißt, wir können die Gleichung auch schreiben als
f
X
(xi + pZp ) (αi + PK ) = 0 + PK .
i=1
Daraus folgt jedoch, dass xi für alle i = 1, . . . , f in pZp liegen muss. Das widerspricht aber
unserer Voraussetzung, und somit ist die Menge {α1 , . . . , αf } linear unabhängig über Qp .
93
KAPITEL 5. DER ALGEBRAISCHE ABSCHLUSS VON QP
Im nächsten Schritt zeigen wir, dass die Elemente π i αj mit 0 ≤ i < e, 1 ≤ j ≤ f ebenfalls
linear unabhängig über Qp sind.
Wir nehmen wieder an, dass alle xij in Zp liegen, und betrachten
f
e−1 X
X
xij π i αj =
i=0 j=1
e−1
X
πi
f
X
i=0
xij αj = 0.
j=1
Für jedes i ∈ {0, . . . , e − 1} ist dann |xi1 α1 + xi2 α2 + · · · + xif αf |p = max1≤j≤f |xij |p . Denn
sind alle xij = 0, so ist auch max1≤j≤f |xij |p = 0, und die Gleichung ist klarerweise erfüllt. Sind
jedoch nicht alle xij = 0, so muss
|xi1 α1 + xi2 α2 + · · · + xif αf |p = max |xij |p = 1
1≤j≤f
gelten, denn wäre |xi1 α1 + xi2 α2 + · · · + xif αf |p < 1, so würde ja die Summen
p geteilt werden, und wir hätten
0 + PK =
f
X
(xij αi + PK ) =
i=1
f
X
Pf
j=1
xij αj von
(xij + pZp ) (αi + PK ) .
i=1
Das ist aber wegen der linearen Unabhängigkeit der Menge {αi + PK }1≤i≤f nicht möglich.
Pf
Pf
Daher ist π i j=1 xij αj p = π i p j=1 xij αj p für jedes i ∈ {0, . . . , e − 1} entweder gleich
p−i/e oder gleich Null.
Für i ∈ {0, . . . , e − 1} sind die Werte p−i/e paarweise verschieden, was zur Folge hat, dass der
Betrag der Summe genau dem Maximum der Beträge der einzelnen Summanden entspricht:
f
e−1
X
X
πi
xij αj =
i=0
j=1
p
max
0≤i≤e−1
f
o
n i X
xij αj .
p− e · j=1
p
Nun ist aber dieser Ausdruck gleich Null, daher muss xij = 0 für alle i, j gelten. Die Elemente
π i αj sind somit linear unabhängig in K.
Es bleibt noch zu zeigen, dass die Menge π i αj , 0 ≤ i < e, 1 ≤ j ≤ f den Erweiterungskörper K erzeugt. Da wir jedes Element x von K mit einer entsprechenden Potenz von p multiplizieren können, um ein Element in OK zu erhalten, genügt es zu beweisen, dass diese Menge
den Bewertungsring OK erzeugt.
Es sei also E := Zp α1 + · · · + Zp αf . Dann ist OK = E + πOK , denn für x ∈ OK gibt es
Pf
ganze p-adische Zahlen x1 , . . . , xf mit x + PK = i=1 (xi + pZp ) (αi + πOK ) , und daher ist
Pf
x − i=1 xi αi ein Element von πOK .
Durch mehrmaliges Iterieren folgt OK = E + π (E + πOK ) = · · · = E + πE + · · · + π e−1 E +
π e OK = E + πE + · · · + π e−1 E + pOK . Dabei haben wir beachtet, dass pOK = π e OK gilt.
Da ja E von α1 , . . . , αf erzeugt wird, folgt das Gewünschte.
Zusammenfassend gilt also, dass sich der Grad n einer endlichen Körpererweiterung K/Qp
als Produkt vom Verzweigungsgrad e und Trägheitsgrad f ergibt, wobei
e = K × p : Q×
p p
94
5.3. ENDLICHE KÖRPERERWEITERUNGEN ÜBER QP
die Änderung der Wertemenge der p-adischen Ordnung ordp anzeigt und
f = OK/PK : Zp/pZp
die Größenänderung des Restklassenkörpers. Das heißt, eine endlichen Körpererweiterung K/Qp
ist
• unverzweigt, wenn e = 1 ist. Es ist dann [K : Qp ] = f. Die Wertemenge von ordp ändert
sich nicht und ist gleich Z. Außerdem wird PK von p erzeugt.
• verzweigt, wenn e > 1 und somit f < n ist.
• total verzweigt, wenn f = 1 ist. Es ist dann [K : Qp ] = e. In diesem Fall ändert sich die
Größe des Restklassenkörpers nicht. Eine total verzweigte Körpererweiterung heißt zahm,
wenn p kein Teiler von e ist, und wild, wenn e eine Potenz von p ist.
Bevor wir zum eigentlichen Ziel dieses Kapitels kommen, nämlich zu der Frage des algebraischen
Abschluss von Qp , zeigen wir noch, dass
• jede total verzweigte Körpererweiterung K/Qp einfach ist, das heißt, es gilt K = Qp (π) .
Wir werden sehen, dass es sich bei π um eine Uniformisierende handelt, die außerdem Wurzel eines Polynoms mit ganz bestimmten Eigenschaften – eines sogenannten
Eisenstein-Polynoms – ist. Mit „zahmen“ und „wilden“ Erweiterungen werden wir uns
nicht speziell beschäftigen.
• es für jede positive ganze Zahl f eine eindeutig bestimmte, unverzweigte Körpererweiterung
vom Grad f über Qp gibt. Wir werden den entsprechenden Erweiterungskörper als Kfunv
bezeichnen und sehen, dass dieser von einer primitiven pf − 1 -ten Einheitswurzel erzeugt
wird.
• sich jede endliche, verzweigte Körpererweiterung K/Qp darstellen lässt als eine total
verzweigte Körpererweiterung über einer unverzweigten. Es gilt also
[K : Qp ] = K : Kfunv Kfunv : Qp
mit K = Kfunv (π) .
Da Zp ein Hauptidealbereich und somit faktoriell ist, können wir das folgende, aus der Algebra
bekannte Irreduzibilitätskriterium anwenden:
Es sei R ein faktorieller Ring, K der Quotientenkörper von R und f (X) = an X n + · · · +
a1 X + a0 ein Polynom über R. Dieses Polynom sei primitiv, das heißt, seine Koeffizienten seien
teilerfremd. Gilt p | ai für 0 ≤ i < n, p - an sowie p2 - a0 für ein irreduzibles und daher primes
Element p ∈ R, dann ist f (X) irreduzibel in R [X] und in K [X] .
Ein Polynom mit diesen Eigenschaften heißt ein Eisenstein-Polynom.
95
KAPITEL 5. DER ALGEBRAISCHE ABSCHLUSS VON QP
Proposition 10: Es sei K/Qp eine endliche, total verzweigte Körpererweiterung und π eine Uniformisierende. Dann gilt K = Qp (π) . Außerdem ist π die Wurzel eines Eisenstein-Polynoms.
Beweis. Da die Körpererweiterung total verzweigt ist, gilt e = n = [K : Qp ] .
Ps
Es sei f (X) = i=0 ai X i das Minimalpolynom von π über Qp . Dann folgt mit Proposition 3
auf Seite 82 und Proposition 4 auf Seite 83, dass
[K:Qp (π)]
e e/s
= (−1) a0
NK/Qp (π) = NQp (π)/Qp (π)
q
q
e e/s a0 p = s |a0 |p . Andererseits
q
wissen wir, dass |π|p = p−1/e ist. Insgesamt erhalten wir p−1/e = s |a0 |p = p−m/s , wobei m ∈ Z
die p-adische Ordnung von a0 ∈ Qp darstellt.
gilt. Für den Absolutbetrag von π ergibt sich daraus |π|p =
Da außerdem e ≥ s ist, folgt wegen
s
e
= m ∈ Z, dass e = s und somit m = 1 gilt.
Daher entspricht der Grad s des Minimalpolynoms dem Grad e der Körpererweiterung, und es
folgt K = Qp (π) .
Wir werden nun zeigen, dass die Koeffizienten von f (X) die Eigenschaften eines EisensteinPolynoms aufweisen.
Die Bedingung |a0 |p = p−1 ist jedenfalls erfüllt, und da f (X) normiert ist, gilt |ae |p = 1.
Um die anderen Eigenschaften zu zeigen, betrachten wir die Konjugierten π1 = π1 , π2 , . . . , πe
von π = π1 . Diese besitzen alle denselben Absolutbetrag, es ist also |πi |p = p−1/e < 1 für
Qe
i = 1, . . . , e, und wir schreiben f (X) = i=1 (X − πi ) .
Dass |aj |p < 1 für 1 ≤ j < e erfüllt ist, folgt mit Hilfe der elementarsymmetrischen Polynome
analog zum Beweis des vierten Punktes von Proposition 8.
Bemerkung 4: Ist umgekehrt α die Wurzel eines Eisenstein-Polynoms f (X) über Qp mit e =
deg f, dann ist Qp (α) /Qp eine total verzweigte Körpererweiterung vom Grad e.
Denn es ist f (X) irreduzibel und somit das Minimalpolynom von α über Qp , daher folgt
1/e
[Qp (α) : Qp ] = e. Wegen |a0 |p = p−1 ergibt sich der Absolutbetrag von α durch |α|p = |a0 |p =
p−1/e . Das bedeutet, dass der Verzweigungsindex gleich dem Grad der Körpererweiterung ist.
Außerdem handelt es sich bei α eine Uniformisierende.
Bevor wir die Behauptung zeigen, dass die Adjunktion einer primitiven pf − 1 -ten Einheitswurzel eine unverzweigte Körpererweiterung K/Qp ergibt, werden wir uns überlegen, welche
Einheitswurzeln in einer endlichen Körpererweiterung über Qp überhaupt existieren.
×
In K liegen alle Einheitswurzeln ζi auf der Einheitssphäre OK
, denn wegen ζim = 1 für ein
m
m ∈ N ist |ζi |p = |1|p beziehungsweise |ζi |p = 1.
Betrachten wir nun die kanonische Abbildung OK → OK/PK , so sehen wir, dass das Bild aller
∼ Fpf in F×f liegt. Bekanntermaßen ist F×f eine zyklische Gruppe
Einheitswurzeln ζi wegen κ =
p
p
der Ordnung pf − 1.
Es sei nun a ein Element von κ× . Dann ist die Ordnung m von a ein Teiler von pf − 1. Wir
wählen α0 ∈ OK so, dass a = α0 + PK gilt, und betrachten das Polynom F (X) = X m − 1.
96
5.3. ENDLICHE KÖRPERERWEITERUNGEN ÜBER QP
Da K ein vollständiger, nichtarchimedisch bewerteter Körper ist, kann das Henselsche Lemma
aus Abschnitt 4.5 ohne Schwierigkeiten für den Erweiterungskörper K gezeigt und auf ein
Polynom mit Koeffizienten in OK angewendet werden.
0
Wir haben α0 so gewählt, dass F (α0 ) ≡ 0 (mod p) gilt. Es ist F (X) = mX m−1 , und da
0
m nicht von p geteilt wird, folgt F (α0 ) 6≡ 0 (mod p). Das heißt, wir können ein eindeutig
bestimmtes α ∈ OK finden mit αm = 1 und α + PK = α0 + PK = a.
×
Somit haben wir gezeigt, dass : G → (OK/PK ) surjektiv ist, wobei G die Gruppe jener
Einheitswurzeln in K bezeichnet, deren Ordnung relativ prim zu p ist.
Diese Abbildung ist auch injektiv. Denn ist x ∈ G ∩ ker , so gilt xt = 1 für ein t ≥ 0, p - t sowie
x+PK = 1+PK beziehungsweise |x − 1|p < 1. Dann ist auch xk +PK = 1+PK beziehungsweise
k
x − 1 < 1 für k ≥ 0. Wäre nun x 6= 1, so wäre wegen 0 = xt − 1 = (x − 1) xt−1 + · · · + 1
p
0 = xt−1 + xt−2 + · · · + 1 = xt−1 − 1 + xt−2 − 1 + · · · + x − 1 + t,
was |t|p ≤ max0≤i<t xi − 1p < 1 ergäbe, und das wäre ein Widerspruch zur Voraussetzung,
dass p und t relativ prim sind. Somit ist x = 1. Insgesamt erhalten wir, dass G isomorph zu κ×
ist.
Es kann in K auch Einheitswurzeln geben, deren Ordnung nicht relativ prim zu p ist. Es sei
also ζ m eine Einheitswurzel mit m = pr und ζ̄ die Restklasse von ζ unter der kanonischen
r
Abbildung OK → OK/PK . Da κ die Charakteristik p hat, folgt aus ζ̄ p = 1̄, dass ζ̄ = 1̄ und
somit ζ ∈ 1 + PK ist.
Ist umgekehrt ζ ∈ 1 + PK von der Ordnung m > 1, dann gibt es ein α ∈ PK , sodass ζ = 1 + α
gilt. Es ist
m m X
X
m i
m i
m
α = 1 + mα +
α.
1 = (1 + α) =
i
i
i=2
i=0
Pm
Daher muss mα + i=2 mi αi = 0 beziehungsweise
m X
m i−1 α
|m|p = p
i
i=2
gelten. Wegen |α|p < 1 und mi p ≤ 1 für alle i ist die rechte Seite kleiner als Eins. Das muss
dann auch für die linke gelten und somit ist p ein Teiler von m.
Ist m = p, dann sind wir fertig. Für m 6= p wiederholen wir das Ganze mit ζ p , denn es ist dann
ζ p von der Ordnung m
p > 1. Ingesamt ergibt sich, dass m eine Potenz von p ist.
Bemerkung 5: Die Menge der pf − 1 -ten Einheitswurzeln bildet zusammen mit {0} ein vollständiges Repräsentantensystem des Restklassenkörpers κ. Diese Teichmüller Repräsentanten
können als Ziffern in der Entwicklung in Punkt 6 der Proposition 8 gewählt werden – vergleiche
auch Bemerkung 9 auf Seite 60.
Proposition 11: Für jede positive ganze Zahl f gibt es genau eine unverzweigte Körpererweiterung Kfunv /Qp vom Grad f, und es ist dann
Kfunv = Qp (ζ)
97
KAPITEL 5. DER ALGEBRAISCHE ABSCHLUSS VON QP
für eine primitive pf − 1 -Einheitswurzel ζ. Ist K/Qp eine endliche, verzweigte Körpererweiterung vom Grad n = e · f, dann ist
K = Kfunv (π) ,
wobei es sich bei π um die Wurzel eines Eisenstein-Polynoms über Kfunv handelt.
Beweis. Wir zeigen zunächst, dass es immer eine unverzweigte Körpererweiterung über Qp vom
Grad f, f ∈ Z+ gibt.
Es sei also α ein erzeugendes Element der zyklischen Gruppe F×
, und g (X) = X f +af −1 X f −1 +
pf
. . . + a1 X + a0 das Minimalpolynom von α über Fp . Dann ist Fpf = Fp (α) und Fpf : Fp = f.
Für jedes i ∈ {1, . . . , f − 1} sei ai ∈ Zp so gewählt, dass ai ≡ ai (mod p) erfüllt ist. Wir setzen
g (X) := X f + af −1 X f −1 + . . . + a1 X + a0 . Es ist g (X) irreduzibel über Zp , denn könnte g (X)
als Produkt nichtkonstanter Polynome dargestellt werden, dann müsste dieses Produkt modulo
p auch g (X) ergeben, was aber nicht geht, denn g (X) ist als Minimalpolynom irreduzibel.
Dann ist g (X) auch
über Qp irreduzibel. Es sei α eine Wurzel von g (X) . Wir setzen Kf =
Qp (α) . Dann ist Kf : Qp = f.
g
(X)
.
Deshalb
muss
κ
:
F
≥ f sein. Da andererseits
Es
ist
α
+
P
eine
Wurzel
von
p
K
f
κ : Fp ≤ Kf : Qp gilt, ist κ : Fp = f = Kf : Qp . Das bedeutet aber auch, dass e = 1 und
Kf eine unverzweigte Körpererweiterung vom Grad f ist. Für diese schreiben wir nun Kfunv ,
und es bleibt noch zu zeigen, dass Kfunv eindeutig bestimmt ist.
Es sei nun K eine endliche, verzweigte Körpererweiterung von Qp mit Verzweigungsindex e > 1
und Trägheitsgrad f. Dann ist OK/PK ∼
= Fpf . Es sei ζ ∈ Fpf ein erzeugendes Element von
und
ζ
∈
O
so
gewählt,
dass
ζ
F×
0
K
0 in der Restklasse ζ liegt. Weiters sei π ∈ OK eine
pf
Uniformisierende.
Wir behaupten nun, dass es in OK ein Element ζ gibt, welches Nullstelle des Polynoms g (X) =
f
X p −1 − 1 ist.
f
f
0
Es gilt g (ζ0 ) = ζ0p −1 − 1 ≡ 0 (mod π). Außerdem ist g (ζ0 ) = pf − 1 ζ0p −2 6≡ 0 (mod π 2 ),
pf −2
= 1 gelten. Wir können analog wie im Beweis
da ja π 2 = p−2/e aber pf − 1 = |ζ0 |
p
p
p
zum Henselschen Lemma auf Seite 53 vorgehen und zeigen, dass es ein Element ζ mit den
gewünschten Eigenschaften gibt.
2
pf −1
Dann ist ζ ≡ ζ (mod π). Die Restklassen ζ, ζ , . . . ζ
sind paarweise verschieden, und dies
2
pf −1
f
gilt dann auch
für ζ, ζ , . . . , ζ . Das heißt, ζ ist eine primitive p − 1 -te Einheitswurzel,
und es gilt Qp (ζ) : Qp ≥ κ : Fp = f, denn es ist ja κ = OQp (ζ)/PQp ∼
= Fpf .
Es sei nun Kfunv wie im ersten Teil des Beweises. Da Kfunv alle pf − 1 -te Einheitswurzel
enthält, muss Qp (ζ) ⊆ Kfunv erfüllt sein. Da aber f = Kfunv : Qp ≥ Qp (ζ) : Qp ≥ f gilt, ist
Kfunv = Qp (ζ) . Daher ist die unverzweigte Körpererweiterung vom Grad f eindeutig bestimmt.
Pd
Es bleibt noch zu zeigen, dass K = Kfunv (π) gilt. Es sei f (X) = i=0 ci X i das Minimalpolynom von π über Kfunv , und es seien π1 , . . . , πd die Konjugierten von π = π1 . Dann können
Qd
d Qd
wir f (X) schreiben als f (X) = i=0 (X − πi ) . Daher ist c0 = (−1)
i=1 πi , und es gilt
ordp (c0 ) = d · ordp (π) = de .
Es ist K : Kfunv = e, das folgt aus
n = e · f = [K : Qp ] = K : Kfunv Kfunv : Qp = K : Kfunv · f.
98
5.4. DER ALGEBRAISCHE ABSCHLUSS QP UND DESSEN
VERVOLLSTÄNDIGUNG CP
Da klarerweise Kfunv (π) ⊆ K gilt, ist d ≤ e. Bei der p-adische Ordnung von c0 handelt es sich
um eine ganze Zahl, denn c0 liegt in Kfunv . Daraus folgt, dass d = e und somit ordp (c0 ) = 1
beziehungsweise |c0 |p = p−1 ist.
Das bedeutet, dass c0 ≡ 0 (mod p) und c0 6≡ 0 (mod p2 ) gelten – f (X) erfüllt also die Bedingungen eines Eisenstein-Polynoms, und wir erhalten K = Kfunv (π) .
Bemerkung 6: Die Vereinigung all dieser unverzweigten Körpererweiterungen ergibt eine unendliche Erweiterung über Qp . Diese wird manchmal mit Qunv
bezeichnet und heißt die maxip
male unverzweigte Erweiterung.
5.4
Der algebraische Abschluss Qp und dessen Vervollständigung Cp
Der algebraische Abschluss von Qp ist jener Erweiterungskörper, über dem jedes Polynom mit
Koeffizienten in Qp vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Wir haben im vorigen Abschnitt
gesehen, dass wir endliche Körpererweiterungen beliebigen Grades über Qp finden können. So
besagt Proposition 11, dass es für jede positive ganze Zahl eine unverzweigte Körpererweiterung
von eben diesem Grad über Qp gibt.
Auch lässt sich mit Hilfe des im letzten Abschnitt besprochenen Irreduzibilitätskriteriums
leicht zeigen, dass für jedes n ≥ 1 ein irreduzibles Polynom n-ten Grades über Qp und eine
entsprechende total verzweigte Köpererweiterung existiert.
Daher gilt:
Proposition 12: Der algebraische Abschluss Qp ist eine unendliche Erweiterung über Qp .
Wir können den p-adischen Absolutbetrag ohne Schwierigkeiten zu einer Funktion
| |p : Qp → R
fortsetzen, denn für jedes Element x im algebraischen Abschluss Qp ist die Körpererweiterung Qp (x) /Qp endlich. Auf dieser ist |x|p eindeutig bestimmt, und wir haben uns in Abschnitt 5.3.1 bereits überlegt, dass der Wert des Absolutbetrags von x nicht von der Körpererweiterung abhängt.
Aufgrund dieser Überlegung lassen sich die Eigenschaften eines Absolutbetrags lassen für | |p :
Qp → R leicht zeigen, für (A2) und (A3) betrachten wir einfach den Erweiterungskörper
Qp (x, y) .
Wie wir wissen, ist jede endliche Körpererweiterung über Qp bezüglich des p-adischen Absolutbetrags vollständig. Jedoch gilt dies nicht notwendigerweise für Qp . Im nächsten Satz soll diese
Frage geklärt werden. Dazu benötigen wir noch folgenden Begriff:
Definition 7: Ein topologischer Raum X 6= ∅ heißt einSBaire-Raum, wenn für jede abzählbare
Vereinigung von abgeschlossenen Teilmengen Xn mit n≥1 Xn = X gilt, dass mindestens eine
Menge Xm einen inneren Punkt besitzt.
Vollständige metrische Räume sowie lokalkompakte Räume sind Baire-Räume.
99
KAPITEL 5. DER ALGEBRAISCHE ABSCHLUSS VON QP
Eine Menge Xj ⊆ X wird nirgends dicht genannt, wenn Xj keine inneren Punkte besitzt. Das
bedeutet also, dass ein vollständiger metrischer Raum nicht als abzählbare Vereinigung nirgends
dichter Teilmengen dargestellt werden kann.
Satz 3:
Der algebraische Abschluss von Qp ist kein Baire-Raum.
Beweis. Für positive ganze Zahlen n definieren wir
Xn := x ∈ Qp : [Qp (x) : Qp ] = n ⊆ Qp .
S
Dann ist Qp = n∈N Xn . Dass Xn 6= Qp für alle n gilt, folgt aus unseren Überlegungen am
Beginn dieses Abschnitts.
Die Teilmengen Xn sind als endliche Körpererweiterungen vollständig und somit abgeschlossen.
Wir nehmen nun an, dass es eine Teilmenge Xm gibt, die eine in Qp abgeschlossene Kugel B r (a)
mit r > 0 enthält. Dann können wir den algebraischen Abschluss schreiben als Qp = Qp B r (a) .
Für λ ∈ Qp gilt λXm ⊆ Xm . Daraus folgt Qp ⊆ λXm ⊆ Xm , was aber nicht sein kann.
Eine solche Kugel B r (a) ist also in keiner Teilmenge Xn enthalten, und das ist gleichbedeutend
damit, dass keine Teilmenge Xn einen inneren Punkt besitzt.
Bemerkung 7: Daraus folgt auch, dass Qp nicht lokalkompakt ist.
Im Gegensatz zum algebraischen Abschluss der reellen Zahlen ist jener von Qp also nicht
mehr vollständig. Bevor wir uns die Frage stellen, ob die Vervollständigung von Qp algebraisch
abgeschlossen ist oder nicht, werden wir noch zwei interessante Resultate besprechen.
Das erste heißt Krasnersches Lemma und besagt, dass eine von einem Element α erzeugte
Körpererweiterung in einer von einem Element β erzeugten enthalten ist, wenn nur β „näher“
bei α liegt als alle Konjugierten von α :
Satz 4 (Krasnersches Lemma): Es sei F ein vollständiger Körper der Charakteristik 0, der mit
einem nichtarchimedischen Absolutbetrag | | ausgestattet ist, und es seien α und β zwei Elemente des algebraischen Abschlusses F von F. Weiters sei | | eindeutig von F auf F fortgesetzt.
Die Konjugierten von α = α1 über F seien α1 , . . . , αn , und es gelte
|β − α| < |α − αi |
für i = 2, . . . , n. Dann ist F (α) ⊆ F (β) .
Beweis. Es sei L = F (β) . Wir nehmen an, dass α nicht in L liegt. Daher ist n = [L (α) : L] > 1.
Es ist n auch die Anzahl der Homomorphismen σi : L (α) → F mit σi (α) = αi , 1 ≤ i ≤ n und
0
σi |L = idL . Wir schreiben σ für σ2 .
In Abschnitt 5.3.1 haben wir uns bereits überlegt, dass in F
|σi (x)| = |x|
für alle Homomorphismen σi und für alle x ∈ L (α) gilt.
100
5.4. DER ALGEBRAISCHE ABSCHLUSS QP UND DESSEN
VERVOLLSTÄNDIGUNG CP
0
0
0
0
Daher ist σ (β − α) = σ (β) − σ (α) = |β − α| . Da β in L liegt, folgt β − σ (α) = |β − α| ,
und es ist
n
o
α − σ 0 (α) = |α − α2 | ≤ max |α − β| , β − σ 0 (α) = |β − α| .
Nach Voraussetzung ist aber |β − α| < |α − α2 | . Somit kann die Annahme, dass α nicht in L
liegt, nicht stimmen, und es folgt F (α) ⊆ F (β) .
Folgendes Resultat bringt zum Ausdruck, dass die Wurzeln eines Polynoms über einem nichtarchimedischen Körper stetig von seinen Koeffizienten abhängen. Das bedeutet, dass aus der
„Nähe“ zweier Polynome zueinander auch die „Nähe“ der entsprechenden Nullstellen folgt.
Um so eine Aussage überhaupt treffen zu können, benötigen wir noch eine Funktion, die es
ermöglicht, den „Abstand“ zweier Polynome zu messen:
Pn
Es sei K ein bewerteter Körper und f (X) = i=0 ai X i ein Polynom über K. Dann verstehen
wir unter der Norm k k von f die Supremumsnorm der Koeffizienten von f (X) , das heißt,
kf k = max1≤i≤n |ai | .
Proposition 13: Es sei F ein Körper der Charakteristik 0, | | ein nichtarchimedischer Absolutbetrag auf F, der auf F fortgesetzt wird, und f (X) ∈ F [X] ein normiertes, irreduzibles Polynom
vom Grad n, das keine doppelten Nullstellen besitzt. Dann gibt es zu jedem > 0 ein δ > 0,
sodass für alle Polynome g (X) ∈ F [X] mit deg g = n, die der Bedingung kf − gk < δ genügen, folgt, dass für jede Wurzel α von f (X) genau eine Wurzel β von g (X) existiert, sodass
|α − β| < erfüllt ist. Insbesondere ist dann F (α) = F (β) .
Pn
Beweis. Es sei f (X) = i=0 ai X i ein Polynom über F, das den Voraussetzungen entspricht,
und > 0. Weiters sei g (X) ∈ F [X] vom Grad n und β eine Wurzel dieses Polynoms. Dann
gilt klarerweise g (β) = 0. Daher ist
n
X
|f (β)| = |f (β) − g (β)| = (ai − bi ) β i i=0
≤ max ai − bi β i 0≤i≤n
n ≤ kf − gk max 1, β < δcn1
für eine entsprechende Konstante c1 . So eine Konstante gibt es, denn ist kgk < c für eine
Konstante c, dann
sind
auch die Wurzeln von g (X) nicht so groß, und wir können ein c1 finden,
sodass max 1, βi < c1 für jede Wurzel βi von g (X) erfüllt ist.
Es seien αi , i = 1, . . . , n die Nullstellen von f (X) . Wir wählen einen Index k, sodass |β − αk |
minimal ist, dann gilt
n
n
Y
Y
n
δcn1 > |f (β)| = β − αi =
|β − αi | ≥ |β − αk | .
i=1
i=1
Es sei nun c2 := min1≤i<j≤n {|αi − αj |} . Da die Nullstellen von f (X) paarweise verschieden
sind, ist c2 6= 0. Für höchstens eine Wurzel αk kann |β − αk | < c2 sein, denn wäre dies auch
erfüllt für ein αl 6= αk , so würde das der Minimalität von c2 widersprechen, wir hätten dann
nämlich
|αl − αk | ≤ max {|αl − β| , |β − αk |} < c2 .
101
KAPITEL 5. DER ALGEBRAISCHE ABSCHLUSS VON QP
Insgesamt folgt also
β − αk < Q
δcn1
δcn1
≤ n−1
.
c2
i6=k |β − αi |
Für δ → 0 wird β − αk somit kleiner als jedes > 0.
Dass F (α) ⊆ F (β) gilt, folgt aus dem Krasnerschen Lemma. Es hat α als Wurzel des irreduziblen Polynoms f (X) den Grad n über F. Der Grad von β über F ist aber auch nicht größer
als n, denn wir haben ja vorausgesetzt, dass der Grad von g (X) gleich dem Grad von f (X)
ist. Daraus folgt F (α) = F (β) .
Unser Ziel ist es, eine Körpererweiterung von Qp zu finden, die sowohl vollständig als auch
algebraisch abgeschlossen ist. Deshalb werden wir als Nächstes die Vervollständigung von Qp
auf diese Fragestellung hin untersuchen.
Da es sich bei Qp um einen metrischen Raum handelt, gibt es eine solche Vervollständigung.
Wir bezeichnen diese mit Cp .
Proposition 14: Es gibt einen vollständigen Körper Cp mit folgenden Eigenschaften:
• Qp liegt dicht in Cp .
• Der p-adische Absolutbetrag | |p auf Qp lässt sich eindeutig auf Cp fortsetzen. Diese Fortsetzung ist ebenfalls nichtarchimedisch, und wir bezeichnen sie wieder mit | |p .
• Die Wertemenge von | |p auf Cp stimmt mit jener auf Qp überein, es gilt also
|Cp |p = Qp p = {pn : n ∈ Q} ∪ {0} .
• Cp ist bezüglich | |p vollständig.
Beweis. Alle Aussagen folgen unmittelbar aus Kapitel 3.
Wir bezeichnen den Bewertungsring von Cp mit OCp =
PCp = x ∈ Cp : |x|p < 1 das Bewertungsideal.
x ∈ Cp :
|x|p ≤ 1
und mit
Jedes x ∈ Cp , x 6= 0 kann als Produkt
1. einer Potenz pm von p mit m ∈ Q,
2. einer pf − 1 -ten Einheitswurzel und
3. eines Elements aus 1 + PCp
geschrieben werden. Denn betrachten wir ein x ∈ Cp mit ordp (x) = m = ab und wählen eine
Wurzel α ∈ Qp von f (X) = X b − pa , dann gilt |α|p = p−m . Außerdem ist y = αx eine Einheit,
also |y|p = 1.
102
5.4. DER ALGEBRAISCHE ABSCHLUSS QP UND DESSEN
VERVOLLSTÄNDIGUNG CP
Als Nächstes versuchen wir, y als entsprechendes Produkt zu schreiben. Da Qp dicht in Cp liegt,
0
0
0
gibt es ein y ∈ Qp , sodass y + PCp = y + PCp beziehungsweise y − y p < 1 erfüllt ist. Aus der
0
nichtarchimedischen Dreiecksungleichung folgt y = 1.
p
0
Pn
Da y im algebraischen Abschluss von Qp liegt, gibt es ein Minimalpolynom g (X) = i=0 ai X i
0
von y über Qp . Die Koeffizienten ai können aus Zp gewählt werden, das folgt mit Hilfe
0 der
0
elementarsymmetrischen Polynome für alle Konjugierten y1 , . . . , yn von y = y1 wegen y p =
yi = 1.
p
Ist K/Qp eine endliche Körpererweiterung und G die Gruppe der Einheitswurzeln in K, deren
Ordnung relativ prim zu p ist, dann ist, wie wir in Abschnitt 5.3.2 gesehen haben, : G →
×
(OK/PK ) ein Isomorphismus.
Pn
0
Betrachten wir nun g (X) = i=0 (ai + pZp ) X i , dann ist y + PCp eine Wurzel von g (X) und
somit auch y + PCp . Das bedeutet, y + PCp ist algebraisch über Zp/pZp und liegt daher im Restklassenkörper κ einer endlichen Körpererweiterung K/Qp . Da κ und Fpf für
eine positive ganze
Zahl f isomorph sind, gibt es wegen der Surjektivität von eine pf − 1 -te Einheitswurzel ζ,
sodass ζ + PCp = y + PCp beziehungsweise |ζ − y|p < 1 gilt, und es ist dann
y + PCp
pf −1
= 1 + PCp .
Wir setzen nun z = yζ . Dann liegt z in der Restklasse 1 + PCp .
Es ist nämlich z + PCp = 1 + PCp genau dann, wenn |z − 1|p = yζ − 1p < 1 gilt. Das können wir
auch schreiben als ζ −1 p y − ζ p < 1, und von dieser Ungleichung wissen wir, dass sie erfüllt
ist.
Insgesamt folgt also, dass ein Element
x ∈ Cp , x 6= 0 geschrieben werden kann als Produkt
x = αy = αζz, wobei ζ eine pf − 1 -te Einheitswurzel darstellt, z ein Element der Restklasse
1 + PCp ist und α einer Potenz pm von p mit m ∈ Q entspricht.
Diese Darstellung ist sogar eindeutig: Ist nämlich αζz = 1, so sehen wir zunächst, dass α = 1
gilt. Dann folgt 1 = ζz ∈ ζ + PK , das heißt, (ζ) = 1 + PK . Da injektiv ist, ist ζ = 1. Somit
ist auch z = 1.
Das nächste Resultat zeigt: Die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses der Vervollständigung der rationalen Zahlen bezüglich des p-adischen Absolutbetrags ist tatsächlich algebraisch abgeschlossen!
Satz 5:
Cp ist algebraisch abgeschlossen.
Beweis. Es sei L/Cp eine endliche Körpererweiterung, die von einem Element α erzeugt wird,
das heißt, L = Cp (α) . Das Minimalpolynom f (X) ∈ Cp [X] von α sei vom Grad n ≥ 1.
Da der algebraische Abschluss von Qp dicht in Cp liegt, können wir ein Polynom g (X) ∈ Qp
derart wählen, dass – wie in Proposition 13 auf Seite 101 – die Koeffizienten der Polynome nahe
genug beieinander liegen, sodass L = Cp (β) für eine Wurzel β von g (X) gilt.
Nun ist aber Qp algebraisch abgeschlossen, und das bedeutet, dass alle Wurzeln von g (X) in
Qp sind und deg g = 1 gilt. Somit ist auch n = 1, und es folgt L = Cp .
103
KAPITEL 5. DER ALGEBRAISCHE ABSCHLUSS VON QP
Mit Cp haben wir also letztendlich eine Körpererweiterung über Qp gefunden, die sowohl vollständig als auch algebraisch abgeschlossen ist. Damit stellt Cp das p-adische Äquivalent zu den
komplexen Zahlen dar.
Bemerkung 8: Bemerkung 1 auf Seite 80 besagt, dass ein lokalkompakter, normierter Vektorraum über Qp jedenfalls endlichdimensional ist. Daher ist Cp nicht lokalkompakt.
5.5
Analysis in Cp
Abschnitt 4.6 vermittelt einen Eindruck, welche Gestalt grundlegende Ideen und Methoden
aus der Analysis im Körper der p-adischen Zahlen annehmen. Die dort angestellten Überlegungen hängen vor allem von der ultrametrischen Struktur des Körpers und nicht von Qp
im Speziellen ab, daher lassen sich die meisten Resultate ohne Probleme sowohl auf endliche
Körpererweiterungen K/Qp als auch auf Cp übertragen.
Im Falle einer endlichen Körpererweiterung über Qp muss dabei der Verzweigungsindex e
berücksichtigt werden. Ist dieser größer als Eins, erhöht sich der Werteumfang von | |p , und es
ist gegebenenfalls eine Uniformisierende π zu verwendet.
Nun wollen wir aber die Resultate, die aus Abschnitt 4.6 für Cp folgen, zusammenfassen:
• Eine Folge (xn )n≥1 in Cp ist genau dann eine Cauchyfolge, wenn limn→∞ |xn+1 − xn |p = 0
ist. Da Cp vollständig ist, konvergiert jede solche Folge.
Ist x 6= 0 der Grenzwert einer Folge (xn )n≥1 in Cp , dann gibt es einen Index N, sodass
|xm |p = |x|p für alle m ≥ N gilt.
P∞
• Eine unendliche Reihe
xi über Cp konvergiert genau dann, wenn |xi |p → 0 für
Pi=0
∞
i → ∞ gilt. Es ist dann | i=0 xi |p ≤ maxi |xi |p .
Jede konvergente Reihe über Cp konvergiert unbedingt. Die Doppelreihen
∞
∞
∞ X
∞ X
X
X
xij
xij
und
i=0
j=0
j=0
i=0
mit xij ∈ Cp für alle i, j konvergieren gegen den gleichen Grenzwert, wenn es für jedes
> 0 ein N = N () gibt, sodass |xij |p < für max {i, j} ≥ N gilt.
P∞
• Eine Potenzreihe f (X) = n=0 an X n mit Koeffizienten an in Cp und Konvergenzradius
ρ=
1
q
lim sup n |an |p
stellt eine stetige Funktion dar.Der Konvergenzbereich
der Potenzreihe entspricht entweder der „offenen“ Kugel D = x ∈ Cp : |x|p < ρ oder aber – falls |an |p ρn → 0 für
n → ∞ gilt – der „abgeschlossenen“ Kugel D = x ∈ Cp : |x|p ≤ ρ .
Jede Potenzreihe f (X) mit Koeffizienten in OCp konvergiert in der Einheitskugel B1 (0).
Es sei darauf hingewiesen, dass im Gegensatz zu der Situation in Qp , wo B1 (0) = B p−1 (0)
oder allgemein Bρ (0) = B ρp−1 (0) gilt, sich dies in Cp nicht so darstellen lässt, denn die
Wertemenge von ordp umfasst hier ja ganz Q.
Durch Potenzreihen definierte Funktionen sind differenzierbar, die jeweilige Ableitung
entspricht im Konvergenzbereich der formalen Ableitung der Potenzreihe.
104
5.5. ANALYSIS IN CP
• Der p-adische Logarithmus
logp : D → Cp
mit D = B1 (0) = PCp ist durch folgende Potenzreihe definiert:
logp (1 + X) =
∞
n−1
X
(−1)
X2
X3
X4
Xn = X −
+
−
+ ··· .
n
2
3
4
n=1
Für Elemente x, y ∈ D gilt
logp ((1 + x) (1 + y)) = logp (1 + x) + logp (1 + y)
sowie
0
logp (1 + x) =
∞
X
(−1)
n−1
xn−1 =
n=1
1
.
1+x
• Die p-adische Exponentialfunktion
mit D = x ∈ PCp
Potenzreihe definiert:
expp : D → Cp
: |x|p < p−1/(p−1) = Bρ (0) , ρ = p−1/(p−1) ist durch folgende
expp (X) =
∞
X
Xn
X2
X3
=1+X +
+
+ ··· .
n!
2
6
n=0
Auf D gilt für zwei Elemente x, y
expp (x + y) = expp (x) expp (y)
sowie
0
exp (x) = expp (x) .
In Cp als p-adisches Äquivalent zu den komplexen Zahlen eröffnet sich das weite Gebiet der
„komplexen“ p-adischen Analysis. Viele der klassischen Sätze sind auch im p-adischen Kontext
von Interesse, so zum Beispiel der Vorbereitungssatz von Weierstraß, welcher bei der Darstellung
von ganzen Funktionen auf Cp eine Rolle spielt, das p-adische Mittag-Leffler Theorem, das die
Existenz von meromorphen Funktionen mit vorgegebenen Polstellen beschreibt, oder der Satz
von Liouville, der wie in C auch in Cp besagt, dass eine beschränkte, ganze Funktion konstant
ist (siehe zum Beispiel [9], Kapitel 6 und [18], Kapitel 6).
Quellen und Literatur zu Kapitel 5
Zu Abschnitt 5.1 vergleiche [1], S. 92-98, [8], S. 288 und [9], S. 134-143.
Abschnitt 5.2 basiert auf [3], S. 194-198, [9], S. 146-148 sowie [14], S. 59, 60 und Abschnitt 5.3
auf [6], S. 95-97, [9], S. 143-146, 150-169, [14], S. 61-69 und [18], S. 94-104.
Zu Abschnitt 5.4 vergleiche [9], S. 176-180, 184, 185, [14], S. 69-73, [18], S. 129-131, 143 sowie
[19], S. 43, 44, 269, 270 und zu Abschnitt 5.5 [9], S. 187-189.
105
0
Symbolverzeichnis
dimK V
Dimension des Vektorraums V über dem Körper K
expp
p-adische Exponentialfunktion
κ
Restklassenkörper
[K : F ]
Grad der Körperweiterung K/F
k k∞
Supremumsnorm
kk
Norm auf einem Vektorraum
||
Absolutbetrag auf einem Körper
| |∞
„gewöhnlicher“ Absolutbetrag auf Q
| |p
p-adischer Absolutbetrag
|K|
Wertemenge des Absolutbetrags | | auf dem Körper K
logp
p-adischer Logarithmus
C
komplexe Zahlen
Cp
Vervollständigung von Qp
Fq
Körper mit q = pn Elementen
N
natürliche Zahlen, einschließlich 0
P
Menge der Primzahlen
Q
rationale Zahlen
Qp
p-adische Zahlen
R, R+
reelle Zahlen, positive reelle Zahlen
107
SYMBOLVERZEICHNIS
RX
reellwertige Funktionen auf der Menge X
Z, Z+
ganze Zahlen, positive ganze Zahlen
Zp
ganze p-adische Zahlen
OK
Bewertungsring eines nichtarchimedischen Absolutbetrags auf K
PK
Bewertungsideal eines nichtarchimedischen Absolutbetrags auf K
Aα
Matrix der F -linearen Abbildung ϕα
NK/F
Norm der Körpererweiterung K/F
char (K)
Charakteristik eines Körpers K
AutF (K)
Automorphismen von K/F , die die Identität auf F fortsetzen
Gal (K/F )
Galois-Gruppe der Körpererweiterung K/F
ordp
p-adische Ordnung
G/H
Menge der Nebenklassen modulo H
B r (a)
abgeschlossene Kugel mit Mittelpunkt a und Radius r
Qp
algebraischer Abschluss von Qp
K
algebraischer Abschluss des Körpers K
τK
trivialer Absolutbetrag auf einem Körper
ϕα
F -lineare Abbildung, die auf K/F die Multiplikation mit α ∈ K beschreibt
Br (a)
offene Kugel mit Mittelpunkt a und Radius r
d(x, y)
Metrik
K/F
Körpererweiterung K über F
Kfunv /Qp
unverzweigte Körpererweiterung über Qp vom Grad f
l∞ (X)
Raum der beschränkten, reellwertigen Funktionen auf der Menge X
R [[X]]
Ring der formalen Potenzreihen über R
R×
Einheitengruppe des Ringes R
Sr (a)
Sphäre mit Mittelpunkt a und Radius r
108
0
Literaturverzeichnis
[1] G. Bachman. Introduction to P-Adic Numbers and Valuation Theory. Academic Press Inc.,
1964.
[2] Z.I. Borevich and I.R. Shafarevich. Number theory (Pure and Applied Mathematics). Academic Press Inc., New Ed. 1986.
[3] S. Bosch. Algebra. Springer-Verlag, 4., überarb. Aufl. 2001.
[4] N. Bourbaki. Elements of mathematics. General topology: Chapters 1-4. Springer-Verlag,
Softcover edition of the 2nd printing 1989.
[5] P. Bundschuh. Einführung in die Zahlentheorie. Springer-Verlag, 5., überarb. und aktualisierte Aufl. 2002.
[6] J.W.S. Cassels. Local Fields. Cambridge University Press, First published 1986, digital
printing 2003.
[7] H.D. Ebbinghaus. Zahlen. Springer-Verlag, 3., verb. Aufl. 1992.
[8] M. Giaquinta and G. Modica. Mathematical Analysis: Linear and Metric Structures and
Continuity. Birkhäuser, 2007.
[9] F.Q. Gouvêa. P-Adic Numbers: An Introduction. Springer-Verlag, 2nd Ed., Corrected 3rd
printing 2003.
[10] H. Heuser. Lehrbuch der Analysis, Teil 1. 11., durchges. Aufl. 1994.
[11] E. Hlawka and J. Schoißengeier. Zahlentheorie: Eine Einführung. MANZ Verlags- und
Universitäsbuchhandlung, 2., neubearb. Aufl. 1990.
[12] K. Jänich. Topologie. Springer-Verlag, 8. Aufl., 1. kor. Nachdruck 2006.
[13] S. Katok. P-Adic Analysis Compared with Real. American Mathematical Society, 2007.
[14] N. Koblitz. P-Adic Numbers, P-Adic Analysis, and Zeta-Functions. Springer-Verlag, 1984.
109
LITERATURVERZEICHNIS
[15] N. Koblitz. P-adic Analysis: A Short Course on Recent Work. Cambridge University Press,
First published 1980, digital printing 2004.
[16] K. Mahler. Introduction to p-adic numbers and their functions. Cambridge University
Press, 1973.
[17] J.J. O’Connor and E.F. Robertson. The MacTutor History of Mathematics archive. University of St. Andrews, Scotland. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/
index.html.
[18] A. Robert. A Course in P-Adic Analysis. Springer-Verlag, 2000.
[19] W.H. Schikhof. Ultrametric Calculus: An Introduction to P-Adic Analysis. Cambridge
University Press, First published 1984, digital printing 2006.
[20] J. Schoißengeier. Funktionalanalysis. Skriptum zur Vorlesung. Universität Klagenfurt,
Sommersemester 2008.
[21] J. Schoißengeier. Kommutative Algebra. Skriptum zur Vorlesung. Universität Wien, Wintersemester 2006/2007.
[22] J.P. Serre. A Course in Arithmetic. Springer-Verlag, 1973.
[23] The PARI Group, Bordeaux. PARI/GP, version 2.3.4, 2008. available from http://
pari.math.u-bordeaux.fr.
[24] G. Walz. Lexikon der Mathematik. Band 2. Spektrum Akademischer Verlag, 2001.
[25] G. Walz. Lexikon der Mathematik. Band 4. Spektrum Akademischer Verlag, 2002.
110
0
Lebenslauf
Ich, Julia Neidhardt, wurde am 24. September 1978 in Klagenfurt, Österreich, geboren. Von
1985 bis 1989 besuchte ich die Volksschule und ab 1989 das Bundesgymnasium Mössingerstraße
in Klagenfurt, an dem ich im Juni 1997 mit Auszeichnung maturierte. Im Herbst 1997 begann
ich die Diplomstudien Mathematik und Physik an der Universität Wien zu studieren. Zusätzlich
absolvierte ich zwischen Wintersemester 02/03 und Wintersemester 03/04 Lehrveranstaltungen
im Ausmaß von 35 Semesterwochenstunden aus dem Schwerpunkt „Software & Information
Engineering“ des Bakkalaureatsstudiums Informatik an der Technischen Universität Wien.
Während meiner Studienzeit engagierte ich mich in der Österreichischen HochschülerInnenschaft (ÖH) in der Studierenden- und Inskriptionsberatung, von 2002 bis 2003 als Sachbearbeiterin im Öffentlichkeitsreferat (Webseitenredaktion) der ÖH Universität Wien, von 2003 bis
2005 als Vorsitzende der Fakultätsvertretung Naturwissenschaften und Mathematik an der Universität Wien und von 2005 bis 2007 als Vorsitzende der Fakultätsvertretung Mathematik an
der Universität Wien.
Von 2006 bis 2009 war ich als Tutorin bei Teil 1 und Teil 2 der Übungen zu „Technische Praxis
der Computersysteme am Beispiel des Betriebssystems Linux“ an der Fakultät für Mathematik
an der Universität Wien tätig und bin seit 2007 als freie Dienstnehmerin im Rahmen des Frauenförderungsprojekts der Fakultät für Mathematik an der Universität Wien bei der Erstellung und
Umsetzung des Frauenförderungsplans beschäftigt.
Außerdem nehme ich seit 2003 regelmäßig in Deutschland am jährlich stattfindenden Kongress
„Frauen in Naturwissenschaft und Technik“ teil, im Mai 2008 in Bonn auch als Referentin, und
besuchte im September 2004 die „Informatica Feminale“, ein Sommerstudium für Frauen in der
Informatik an der Universität Bremen, sowie im Juli 2008 die „14th International Conference
of Women Engineers and Scientists“ in Lille, Frankreich.