Übung 11

Prof. Dr. Manfred Lehn
T. Weißschuh
11. Übung zur Vorlesung
Algebra I: Körper, Ringe, Moduln
im Wintersemester 2015/2016
Aufgabe 1 — Unter einer Neusis (Einschiebung) versteht man die Konstruktion einer Geraden g
durch einen gegebenen Punkt p mit der Eigenschaft, daß der durch zwei gegebene Geraden ` und
`0 auf g herausgeschnittene Streckenabschnitt eine vorgegebene Länge s hat. Man kann sich das so
vorstellen, daß man ein Lineal, auf dem zwei Punkte A und B im Abstand s markiert sind, durch den
Punkt p legt und solange dreht und verschiebt, bis A auf ` und B auf `0 liegt. Wenn man Neusis als
Konstruktionsmittel zulässt, konnte man schon in der Antike auch Kubikwurzeln ziehen und Winkel
dreiteilen. Verifiziere:
(a) Würfelverdopplung. Es sei k vorgegeben und b so gewählt, daß b3 < k. Setze s := k/(2b2 ). Man
errichtet über einer Strecke |AB| = b ein gleichschenkliges Dreieck mit den Seiten |AC| = |BC| =
s und konstruiert D auf der Geraden AC so, daß |AD| = s. Jetzt schiebt man eine Gerade g
durch den Punkt C so ein, daß die Strecke |P Q| auf g, die durch die Punkte P = g ∩ DB und
Q = g ∩ AB bestimmt ist, die Länge s hat. Dann gilt für x = |CP | die Beziehung x3 = k.
C
x
P
A
Q
B
g
D
(b) Winkeldreiteilung. Es sei der Winkel α = ](BAC) gegeben, BC ⊥ AC. Es sei die Parallele h
zu AC durch B gezeichnet und die Gerade g so durch den Punkt A gelegt, daß die Strecke |QP |
mit Q = g ∩ BC und P = g ∩ h gleich 2|AB| ist. Dann gilt für den Winkel β = ](QAC) die
Beziehung 3β = α.
B
h
P
g
Q
A
C
Hinweis: Ist M der Mittelpunkt von QP , so gilt auch |BM | = |AB|.
bitte wenden
Aufgabe 2 — Es sei p eine Primzahl und Fp der endliche Körper mit p Elementen. Zeige:
Fp (x, y)/Fp (xp , y p ) ist eine endliche Körpererweiterung vom Grad p2 ohne primitives Element.
Aufgabe 3 — Für zwei Unbestimmte x und y ist die Körpererweiterung C(x, y)/C(x3 , y 3 ) eine
Galoiserweiterung.
(a) Bestimme die Galoisgruppe der Erweiterung und alle ihre Untergruppen.
Hinweis: Ist ρ ∈ C eine primitive 3-te Einheitswurzel, so ist zum Beispiel der durch x 7→ ρx, y 7→
y gegebene Homomorphismus ein Körperautomorphismus.
(b) Bestimme alle echten Zwischenkörper dieser Körpererweiterung und gib jeweils ein primitives
Element an.
Aufgabe 4 — Es seien f = x3 + x + 1 und g = x3 + x2 + 1 Polynome aus F2 [x].
(a) Zeige, daß f und g irreduzibel sind.
(b) Gib einen expliziten Isomorphismus φ : F2 [x]/f (x) −→ F2 [y]/g(y) an.
Abgabe am Dienstag, 19.1.2015