V.27 ABCD sei ein Sehnenviereck. Die Gerade durch die

V.27 ABCD sei ein Sehnenviereck. Die Gerade durch die Inkreismittelpunkte der Dreiecke ABC und ABD verläuft dann stets parallel zu der Winkelhalbierenden zwischen den Diagonalen AC und BD.
V.27 Beweis: (Bild) Wir bezeichnen die Winkel ]CAB ≡ α, ]CBA ≡ β, ]DAB ≡ γ und
]DBA ≡ δ; der Inkreismittelpunkt von 4ABC sei I 1 , der von 4ABD entsprechend I2 . Damit
ist
]I1 AB =
β
γ
δ
α
, ]I1 BA = , ]I2 AB = , ]I2 BA = .
2
2
2
2
D
w
ε
C
ε
S
Nach dem Peripheriewinkelsatz ist ]ACB = ]ADB ≡ ε und
demnach
I1
α+β
ε
◦
◦
]AI1 B = 180 −
= 90 +
I2
2
2
A
B
γ+δ
= 180 ◦ −
= ]AI2 B
(V.105)
2
(vgl. Aufgabe D.9); somit ist auch ABI 1 I2 ein Sehnenviereck. Wir berechnen nun den Winkel
η zwischen den Geraden I1 I2 und AB (vgl. Aufgabe V.4):
¯
γ ¯¯ |β − γ|
¯
◦
◦
η ≡ |180 − ]I1 I2 A − ]I2 AB| = ¯180 − (]I1 I2 B + ]AI2 B) − ¯ =
.
2
2
Dabei wurde (V.105) und ]I1 I2 B = ]I1 AB = 12 α (Peripheriewinkel über BI1 ) benutzt. Andererseits ist der Winkel zwischen w und SB 12 (α + δ) (d. i. die Hälfte des Außenwinkels ]BSC
im 4ABS), der Winkel zwischen w und der Geraden AB schließlich
¯
¯
µ
¶
¯
¯
¯180 ◦ − 180 ◦ − α − δ + α + δ − α¯ = |δ − α| = η.
¯
¯
2
2
Die beiden Geraden w und I1 I2 verlaufen daher parallel. ¤