Stochastik für das Lehramt, Sommersemester 2017

Stochastik für das Lehramt, Sommersemester 2017
Dr. A. Szkoła
Dr. M. Tautenhahn
Hausaufgabe 3
Abgabe am 29. Mai 2017
Aufgabe 1. Fluggesellschaften haben festgestellt, dass Passagiere, die einen Flug gebucht
haben, unabhängig voneinander mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% nicht einchecken.
Deshalb werden normalerweise mehr Tickets verkauft als es Sitzplätze im Flugzeug gibt.
Eine Fluggesellschaft hat für ein Flugzeug mit 18 Sitzen 20 Flugtickets verkauft. Wie groß
ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Sitzplätze nicht ausreichen?
Hinweis: Stellen Sie ein Binomialverteilungsmodell auf.
Aufgabe 2. Sei (Ω, P(Ω), P) ein diskreter Wahrscheinlichkteitsraum. Beweisen Sie für alle
A, B, C ∈ Ω die Gleichungen
P(A ∩ B) + 1 = P(Ac ∩ B c ) + P(A) + P(B)
und
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C) − P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C).
Aufgabe 3. Bei einem Glücksspiel werden drei faire Tetraeder geworfen. Der Spieler gewinnt,
wenn das Ereignis A = {drei gleiche Augenzahlen} oder B = {mindestens eine Vier} oder
C = {mindestens 11 als Augensumme} eintritt.
Aufgabe 4. Ein fairer Tetraederwürfel hat vier Seiten, auf denen er mit gleicher Wahrscheinlichkeit zu liegen kommt. Die vier Seiten unseres Exemplars seien mit 1, 2, 3 bzw. 4
Augen beschriftet.
Wir werfen einen fairen Tetraederwürfel drei Mal und notieren die Augenzahlen. Der Wahrscheinlichkeitsraum, in dem Ergebnis liegt, ist (Ω0 , P(Ω0 ), P0 ) mit Ω0 := {1, 2, 3, 4}3 und der
Gleichverteilung P0 . Aus den drei Augenzahlen können wir mit der Funktion
F : Ω0 → Ω, F (x, y, z) := x + y + z
die Augensumme berechnen, wobei Ω := {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} die Menge der möglichen
Augensummen ist. Bestimmen Sie für alle Augensummen ω ∈ Ω die Wahrscheinlichkeit und
stellen Sie die Zähldichte graphisch dar.
Zusatzaufgabe 5. Ein Schachmeister besucht einen Schachverein und spielt eine Partie
Simultanschach gegen die fünf anwesenden Clubmitglieder. Dazu werden fünf Schachbretter
in einer Reihe aufgebaut. Auf der einen Seite sitzen vor je einem Brett die Vereinsmitglieder,
während auf der anderen Seite der Schachmeister reihum auf jedem Brett zieht. Es sei X die
Anzahl der Spiele, die der Schachmeister gewinnt. (Ein Schachspiel kann mit Remis beendet
werden, so dass keiner gewinnt.)
(a) Geben Sie einen Grundraum Ω und die Zufallsgröße X samt Zustandsraum Z an.
(b) Bestimmen Sie die Anzahl der Elemente von Ω.
(c) Wie viele Elementarereignisse besitzt das Ereigns {X ≥ 4}?