Zur integrierten Zustandsdichte von Schrödingeroperatoren mit

Zusammenfassung
In der vorliegenden Arbeit werden zwei Modelle von Operatoren mit zufälligen, aber
inhomogenen Störungen betrachtet: Schrödingeroperatoren mit zufälligen Oberflächenpotentialen und solche mit abfallendem Zufall.
Dazu wird eine dem jeweiligen Modell angepaßte Definition der integrierten Zustandsdichte angegeben und die Existenz der so definierten integrierten (Oberflächen-) Zustandsdichte sowie deren Unabhängigkeit von der zufälligen Realisierung
des Potentials gezeigt.
Für Schrödingeroperatoren mit zufälligen Oberflächenpotentialen wird gezeigt, daß
die so definierte Oberflächenzustandsdichte eine Distribution höchstens der Ordnung 1 ist, die sich hier als Ableitung eines signierten Maßes darstellen läßt. Dieses Resultat erweitert, insbesondere für Oberflächenpotentiale mit indefinitem Vorzeichen, die Arbeiten [KS00, KS01]. Für Schrödingeroperatoren mit einem halbbeschränkten zufälligen Oberflächenpotential wird zudem erstmals die Unabhängigkeit dieser Oberflächenzustandsdichte von Randbedingungen gezeigt. Diese Unabhängigkeit ist überraschend, weil Randbedingungen als eine Störung entlang der
Randflächen aufgefaßt werden können, die für Oberflächenpotentiale von derselben
Größenordnung wie die Störung durch das Potential zu sein scheint.
Zu zufälligen Gaußschen Oberflächenpotentialen wird ein Lifshits-artiges Verhalten der Oberflächenzustandsdichte am Infimum des Spektrums bewiesen.
3
Bei vollständig inhomogenen Störungen, die durch Potentiale mit abfallendem Zufall erzeugt werden, wird allgemein ein starkes Gesetz der großen Zahlen für nichtstationäre Zufallsvariablen bewiesen, das die nur für stationäre Potentiale verfügbaren Ergodentheoreme ersetzt und damit die Existenz der integrierten Zustandsdichte
und deren Unabhängigkeit von Randbedingungen gezeigt. Für Schrödingeroperatoren mit kompakt getragenem, negativem Potential wird dabei zudem der gleichmäßige exponentielle Abfall der Eigenfunktionen des mit Neumann-Randbedingungen
eingeschränkten Operators bewiesen und die Konvergenz der Eigenwertzählfunktionen für Dirichlet- und Neumann-Randbedingungen gegen die des Operators ohne
Randbedingungen für Energien E < 0 gezeigt.
4