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3. Übung Mathematik I für ET, WI-ET und SportInf
Lösungsvorschläge Test
(T 1) Die folgenden Graphen stellen Relationen auf R dar. Welche dieser Relationen sind Abbildungen?
(X)
( )
y
( )
y
x
y
x
x
(T 2) Es sei f : X → Y eine eineindeutige Abbildung mit der Denitionsmenge
X . Dann gilt:
( ) Es können x, y ∈ X mit x 6= y existieren, so daÿ f (x) = f (y).
( ) Die Abbildung f muÿ nicht unbedingt umkehrbar sein.
(X) Zu jedem y ∈ B(f ) existiert genau ein x ∈ D(f ) mit y = f (x).
(T 3) Es sei f : X → Y eine Abbildung mit der Denitionsmenge X . Dann gilt:
(X) Ist B(f ) = Y , dann existiert zu jedem y ∈ Y ein x ∈ D(f ) mit y = f (x).
( ) Ist B(f ) = Y , dann ist f injektiv.
( ) Zu jedem y ∈ Y existiert ein x ∈ D(f ) mit y = f (x)
Gruppenübungen
(G 9) Gleichheit von Funktionen.
Zwei Funktionen können nur dann gleich sein, wenn sie über die gleiche Denitionsmenge verfügen. Daher muÿ man untersuchen, ob f2 , f3 und f6 bzw. f4 und f7 gleich
sind. Es gilt
f2 (−2) = 4,
f2 (0) = 0,
f3 (−2) = 4,
f3 (0) = 0,
f6 (−2) = f1 (4) = 4, f6 (0) = f1 (0) = 0.
Somit sind f2 , f3 und f6 identische Funktionen.
Auÿerdem ist f4 (0) = 0 und f4 (2) = 4, sowie
f7 (0) = (f3 ◦ f5−1 ◦ f4 )(0) = f3 (f5−1 (f4 (0))) = f3 (f5−1 (0)) = f3 (0) = 0
und
f7 (2) = (f3 ◦ f5−1 ◦ f4 )(2) = f3 (f5−1 (f4 (2))) = f3 (f5−1 (4)) = f3 (−2) = 4.
Daher sind auch f4 und f7 identische Funktionen.
(G 10) Injektivität, Surjektivität und Bijektivität.
(a) Das einfachste Beispiel für eine bijektive Funktion bildet die identische Abbildung idR : R → R mit der Abbildungsvorschrift idR (x) := x. Wir zeigen zuerst
die Injektivität: Seien x, y ∈ D(idR ) = R mit x 6= y beliebig gewählt. Dann
gilt
idR (x) = x 6= y = idR (y)
und somit ist idR injektiv. Zum Nachweis der Surjektivität sei ein y ∈ B(idR ) =
R beliebig vorgegeben. Es ist nun zu zeigen, daÿ es genau ein x ∈ D(idR ) mit
y = idR (x) gibt. Wählt man x = y , dann gilt gewiÿ y = idR (x) und somit ist
die Existenz eines geeigneten Elementes des Denitionsbereichs nachgewiesen.
Es bleibt nun noch zu zeigen, daÿ dieses Element eindeutig ist. Hierzu sei
angenommen, daÿ ein weiteres Element xe des Denitionsbereichs mit y =
idR (e
x) existiert. Dann würde aber
x = idR (x) = y = idR (e
x) = x
e
folgen und somit ist bewiesen, daÿ zu jedem y ∈ B(idR ) = R genau ein x ∈
D(idR ) = R mit y = idR (x) existiert.
(b) Die Abbildung f : R → R mit der Zuordnungsvorschrift
(
x + 1 , falls x ≥ 0
f (x) =
x
, sonst
ist injektiv , aber nicht surjektiv . Wir zeigen zunächst die Injektivität: Hierzu
seien mit x, y ∈ D(f ) = R zwei beliebige voneinander verschiedene Elemente
des Denitionsbereichs vorgegeben, für die sich nun die folgenden Fälle unterscheiden lassen:
1. Fall: x, y ≥ 0
Wegen x 6= y gilt in diesem Fall
f (x) = x + 1 6= y + 1 = f (y).
2. Fall: x < 0, y ≥ 0
Hier ist f (x) < 0 und f (y) = y+1 > 0, weshalb auch hier f (x) 6= f (y)
folgt.
3. Fall: x ≥ 0, y < 0
In Analogie zum vorigen Fall folgt aus f (x) = x + 1 > 0 und f (y) =
y < 0 ebenfalls f (x) 6= f (y).
4. Fall: x, y ≥ 0
Wenn sowohl x als auch y kleiner als Null gewählt werden, dann ist
f (x) = x 6= y = f (y).
Somit wurde gezeigt, daÿ für alle x, y ∈ R mit x 6= y stets f (x) 6= f (y) gilt,
womit die Injektivität von f bewiesen ist. Daÿ die Funktion f nicht surjektiv
ist, läÿt sich beispielsweise daran erkennen, daÿ kein x ∈ R mit f (x) = 12
existiert.
(c) Wir betrachten die Funktion f : R → R mit der Zuordnungsvorschrift
f (x) =
Diese Funktion ist
nicht injektiv
(
1
x
2
x
, falls x ∈ Z
, sonst.
, denn es gilt beispielsweise
f (1) = f ( 12 ) = 12 .
Zum Nachweis der Surjektivität sei ein beliebiges y ∈ R vorgegeben. Dann ist
y entweder eine ganze Zahl und es gilt f (2y) = y oder y ist keine ganze Zahl
und es ist f (y) = y .
(d) Hier kann eine konstante Funktion , also eine Funktion, die für jedes ihrer Argumente denselben Wert annimmt, als ein Beispiel herangezogen werden. Für
die Funktion f : R → R mit f (x) = 1 gilt f (1) = f (2) = 1 und somit ist sie
nicht injektiv . Sie ist aber auch nicht surjektiv , denn es gibt beispielsweise kein
x ∈ D(f ) = R mit f (x) = 2.
(G 11) Bilder von Funktionen.
(a) Es gelten die folgenden äquivalenten Beziehungen:
y ∈ f (U ∪ V )
⇔ Es existiert ein x ∈ U ∪ V mit y = f (x)
⇔ Es existiert ein x ∈ U oder ein x ∈ V mit y = f (x)
⇔ Es existiert ein x ∈ U mit y = f (x) oder es existiert ein x ∈ V mit y = f (x)
⇔ y ∈ f (U ) oder y ∈ f (V )
⇔ y ∈ f (U ) ∪ f (V ).
(b) Es sei y ∈ f (U ∩ V ). Dann gibt es ein x ∈ U ∩ V mit y = f (x). Dies bedeutet,
daÿ ein x ∈ U mit y = f (x) existiert und daÿ es ein x ∈ V mit y = f (x) gibt.
Damit ist sowohl y ∈ f (U ) als auch y ∈ f (V ), woraus y ∈ f (U ∩ V ) folgt.
Die Gleichheit ist in Aufgabenteil (b) im allgemeinen nicht gegeben. Als Gegenbeispiel läÿt sich die Funktion f : Z → Z mit der Zuordnungsvorschrift
f (m) := m2 und der Denitionsmenge D(f ) = Z anführen, denn für U =
{−2, −3} und V = {2, 3} gilt
f (U ∩ V ) = f (∅) = ∅ =
6 {4, 9} = {4, 9} ∩ {4, 9} = f (U ) ∩ f (V ).
(G 12) Umkehrfunktionen.
Sei f (m) = f (n) für m, n ∈ Z. Dann gilt m + (−1)m = n + (−1)n , bzw.
m − n = (−1)n − (−1)m .
Sind nun m und n gerade Zahlen, so folgt m − n = 1 − 1 = 0 und somit m = n.
Sind m und n ungerade Zahlen, so erhält man m − n = −1 − (−1) = 0, und somit
wieder m = n. Ist nun m gerade und n ungerade, so folgt m − n = 1 − (−1) = 2.
Die Dierenz einer geraden und einer ungeraden Zahl kann aber niemals 2 sein und
daher kommt dieser Fall erst gar nicht in Frage. Gleiches gilt für den Fall, daÿ m
ungerade und n gerade ist. Insgesamt hat man daher aus f (m) = f (n) die Gleichheit
von m und n gefolgert. Die Funktion f ist damit eineindeutig.
Wir zeigen nun, daÿ B(f ) = Z gilt: Sei hierzu ein beliebiges z ∈ Z vorgegeben. Wir
suchen ein m ∈ Z mit z = f (m) = m + (−1)m . Ist z gerade, so ist m ungerade
und es gilt z = m − 1 bzw. m = z + 1. Ist z ungerade, so ist m gerade und es gilt
z = m + 1 bzw. m = z − 1. In beiden Fällen gibt es also ein m ∈ D(f ) = Z mit
f (m) = z , weshalb B(f ) = Z gilt.
Aufgrund der vorausgegangenen Überlegungen ist die Umkehrabbildung f −1 : Z → Z
durch
(
z + 1 , falls z gerade
f −1 (z) =
z − 1 , falls z ungerade
bzw.
f −1 (z) = z + (−1)z
gegeben.