Gruppentheorie II: Proendliche Gruppen – Blatt 2

Prof. Dr. Benjamin Klopsch
Sommersemester 2017
Gruppentheorie II: Proendliche Gruppen Blatt 2
Abgabe der Lösungen bis 03.05.2017 in der Vorlesung
Bitte geben Sie schriftliche Lösungen zu den Aufgaben 2.1 und 2.2 ab, und bereiten Sie
zusätzlich die Aufgaben 2.3 und 2.4 für die Übungsstunde vor; weitere Informationen auf
http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/GruppenII_SS17/
(4 Punkte)
Aufgabe 2.1
Sei G eine topologische Gruppe. Erläutern bzw. zeigen Sie:
(a) Jede Untergruppe H ≤ G ist selbst eine topologische Gruppe bezüglich der Unterraumtopologie.
(b) Sei N ⊴ G ein Normalteiler. Dann ist die Faktorgruppe G/N eine topologische Gruppe
bezüglich der Quotiententopologie, und der kanonische Homomorphismus π∶ G → G/N ist
oen, d. h., für jedes U ⊆off G ist U π ⊆off G/N .
Es bietet sich an, zunächst zu zeigen, daÿ π∶ G → G/N oen ist. Anschlieÿend
ist es hilfreich, sich zu überlegen, daÿ (G × G)/(N × N ) ≅ G/N × G/N gilt.
Hinweis:
(4 Punkte)
Sei G eine kompakte topologische Gruppe, und seien m ∈ N0 sowie A1 , . . . , Am ⊆abg G.
Dann ist für jedes Gruppenwort w = w(x1 , . . . , xm ) ∈ ⟨x1 , . . . , xm ⟩, also jedes Element der
freien Gruppe vom Rang m, die Wertemenge der zugehörigen Einsetzungsabbildung
Aufgabe 2.2
w(A1 , . . . , Am ) = {w(a1 , . . . , am ) ∣ ai ∈ Ai für 1 ≤ i ≤ m}
abgeschlossen in G.
Aufgabe 2.3
(a) Zeigen Sie, daÿ GL2 (R) und GL2 (C), bzgl. der euklidischen Topologie, lokalkompakte
topologische Gruppen sind.
(b) Zeigen Sie, daÿ GL2 (C) zusammenhängend ist.
(c) Beweisen Sie, daÿ GL2 (R) nicht zusammenhängend ist.
(d) Wieviele Zusammenhangskomponenten hat GL2 (R)?
Hinweis:
Denken Sie an die Determinantenabbildung und an Normalformen für Matrizen.
Bitte wenden!
S. 1/2
Gruppentheorie II: Proendliche Gruppen Blatt 2
S. 2/2
Aufgabe 2.4
Sei p eine Primzahl. Wir betrachten Q, mit dem p-adischen Absolutbetrag ∣⋅∣p (welcher
entsprechend einen p-adischen Abstandsbegri nahelegt). Eine Cauchyfolge in Q bzgl.
∣⋅∣p ist eine Folge (xn )n∈N rationaler Zahlen dergestalt, daÿ zu jedem ε ∈ R>0 ein N ∈ N
existiert mit:
∣xm − xn ∣p < ε
für alle m, n ∈ N mit m, n ≥ N .
Eine Nullfolge bzgl. ∣⋅∣p ist eine Folge (xn )n∈N rationaler Zahlen dergestalt, daÿ die Folge
(∣xn ∣p )n∈N reeller Zahlen eine Nullfolge im euklidischen Sinne ist.
(a) Zeigen Sie: Sei (ai )i∈N0 eine beliebige Ziern-Folge in {0, 1, . . . , p − 1}. Dann bilden die
Partialsummen ∑ni=0 ai pi eine Cauchyfolge bzgl. ∣⋅∣p .
(b) Erläutern Sie: Die Folge (pn )n∈N0 ist eine Nullfolge bzgl. ∣⋅∣p .
(c) Zeigen Sie: Eine formale Reihe ∑∞
i=1 xi mit rationalen Summanden xi symbolisiert über
ihre Partialsummen genau dann eine Cauchyfolge bzgl. ∣⋅∣p , wenn (xi )i∈N eine Nullfolge
bzgl. ∣⋅∣p ist.
(d) Erläutern Sie: Die Cauchyfolgen in Q bzgl. ∣⋅∣p bilden einen kommutativen Ring R
mit Eins; Addition und Multiplikation sind hierbei koordinatenweise erklärt. Über die
konstanten Folgen ist Q in natürlicher Weise als Unterring in diesen Ring R eingebettet.
Die Nullfolgen bzgl. ∣⋅∣p bilden ein Ideal N ⊴ R und R/N ist ein Körper.
Hinweis: Wie kann man ein multiplikatives Inverses einer Folge modulo N konstruieren?
(e) Zeigen Sie: Q bettet sich in natürlicher Weise als Unterring in den Körper Qp = R/N
ein. Weiter läÿt sich der Absolutbetrag ∣⋅∣p eindeutig zu einem Absolutbetrag ∣⋅∣p auf Qp
fortsetzen. Bezüglich der induzierten Topologie ist Q dicht in Qp .
Bemerkung: Der Körper Qp , ausgestattet mit ∣⋅∣p , heiÿt der Körper der p-adischen Zahlen.
Die Konstruktion der p-adischen Zahlen kann auch auf anderem Wege
erfolgen. Vertiefend oder ergänzend können Sie z. B. die Ausführungen in
Literaturhinweis:
(i) Leutbecher, Zahlentheorie, Springer-Verlag, 1996 (Kapitel 20)
(ii) Neukirch, Die p-adischen Zahlen, Kaptitel 6 in: Ebbinghaus e. a., Zahlen, SpringerVerlag, 1992
studieren.