Mathematik I für MEC und WT
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Mathematik I für MEC und WT
Übungsaufgaben, Serie 2
WS 2005/2006
1. Bestimmen Sie den Wahrheitswert folgender Aussage:
£
¤
(A ∧ B) ∨ (A ∧ B) ∧ (A ∨ B) .
2. Zeigen Sie mit Hilfe von Wahrheitswerttabellen, daÿ die folgenden Aussagen immer wahr
sind:
a) (A ⇒ B) ⇔ (B ⇒ A)
b) (A ∨ B) ⇔ (A ∧ B)
c) (A ⇔ B) ⇔ ((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)) .
3. Zeigen Sie durch einen direkten Beweis, daÿ die Aussage a2 + b2 ≥ 2ab für alle reellen
Zahlen a, b wahr ist.
4. Man bestimme den Wahrheitswert folgender Aussagen und negiere sie:
a) ∀x ∈ R : x2 ≥ 1
b) ∃n ∈ N : 2n > 100 .
5. Bestimmen Sie den Wahrheitswert folgender Universalaussagen:
a) ∀x, y ∈ R mit x > 0, y > 0 gilt
b) ∀x, y ∈ R mit x + y 6= 0 gilt
x2 +y 2
x+y
x2 +y 2
x+y
<x+y ,
<x+y .
6. Es seien die Intervalle K = (1, 5], L = [3, 6) und M = [1, 5) gegeben. Bestimmen Sie
a)
K ∪ L, K ∪ M ,
b) K ∩ L , K ∩ M ,
c)
K \ L, L \ K , K \ M , M \ K .
7. Es seien A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A ∩ B = {2, 4, 6} und A \ B = {1, 3, 5}.
Bestimmen Sie A, B und B \ A !
8. Es sei A eine Teilmenge von B (A ⊆ B ). Was bedeuten in diesem Fall die Ausdrücke
a) A ∪ B ,
b) A ∩ B ,
c) A \ B ,
d) B \ A ?
9. Es seien A und B zwei nichtdisjunkte Mengen, d.h. A ∩ B 6= ∅ . Wie kann man die Menge
aller der Elemente angeben, die nur in genau einer der beiden Mengen liegen?
10. Gegeben seien die Mengen
A = {x ∈ R : −3 ≤ x ≤ 5} und B = {x ∈ R : −6 ≤ x ≤ 0 ∨ 1 < x < 4}.
Bestimmen Sie A ∪ B , A ∩ B , A \ B , B \ A.
11. Schreiben Sie die Potenzmenge von A = {3, 7, 8} auf!
12. Es sei Vn := {k ∈ N : n ist Teiler von k}, n ∈ N, n 6= 0.
Bestimmen Sie V5 ∩ V7 , V2 ∩ V10 und V6 ∩ V15 !
13. Es seien A, B , C und D beliebige Teilmengen einer Grundmenge G. Sind dann die folgenden Beziehungen richtig oder falsch
a) A ∪ (B \ C) = (A ∪ B) \ (A ∩ C)
b) (A \ B) ∩ (C \ D) = (A ∩ C) \ (B ∪ D) ?
Begründen Sie Ihre Antwort.
14. Bestimmen Sie das Komplement der folgenden Mengen bezüglich der Grundmenge G:
a) A = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ y + 1} , G = R2 ,
b) B = {−1, 2, −3, 4, ...} , G ist die Menge der ganzen Zahlen ,
c) C = {z = 2n + 1 : n ∈ N} , G = N .
15. Gegeben sind die Mengen A = {1, 2, 3, 4, 5} und B = {2, 4, 6}. Wieviele Elemente enthält
A × B ? Geben Sie drei dieser Elemente an! Ist das geordnete Paar (6, 3) ∈ A × B ?
16. Gegeben sind die abgeschlossenen Intervalle A = [2, 5] und B = [−1, 4].
Skizzieren Sie A × B und B × A in geeigneten Koordinatensystemen!
17. Gegeben seien die Mengen A = {1, 2}, B = {a, b} und C = {b, c}.
Bestimmen Sie damit
a) A × (B ∪ C)
b) (A × B) ∪ (A × C)
c) A × (B ∩ C)
d) (A × B) ∩ (A × C) .
1
i
18. Für i = 1, 2, 3, ... sei Mi = {x ∈ R : 1 −
∞
\
Mi = M1 ∩ M2 ∩ M3 ∩ ...
≤ x ≤ 2 + 1i }. Was stellen dann
∞
[
bzw.
i=1
Mi = M1 ∪ M2 ∪ M3 ∪ ...
i=1
dar?
19. Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke durch Kürzen und Zusammenfassen:
a)
(n+1)!
n(n−1)!
b)
n!
(n+2)!
1
n!
c)
1
(n+1)!
−
.
¡7 ¢
20. Bestimmen Sie der Wert der folgenden Binomialkoezienten:
21. Für welche natürlichen Zahlen k gilt
¡ ¢
¡k+2¢
a) k+1
=
78
b)
= 66 c)
2
k
¡k+1¢
k−1
>
¡k+11¢
4
,
¡100¢
96
,
¡
n
n−1
¢
.
?
k+10
22. Weisen Sie nach, daÿ folgender Zusammenhang für Binomialkoezienten gilt:
µ ¶ µ
¶ µ
¶
n
n
n+1
+
=
.
k
k+1
k+1
23. Bestimmen Sie mit Hilfe des Zusammenhangs aus Aufgabe 22 alle Lösungen für x ∈ N
der Gleichung
µ
¶ µ
¶ µ
¶
15
15
16
+
=
.
x
4
x
24. Berechnen Sie die folgenden Summen bzw. Produkte:
a)
e)
2
P
(2k + 1)
k=−3
5
P
(−1)k · 2k+1
k=0
b)
6
P
i=2
f)
5
Q
NP
+3
c)
3
(2N − m)
m=N
(j + 1)
j=2
g)
1
Q
k=−8
k7
d)
2 P
3
P
(k − 2m)
m=0 k=1
6
Q
h) (
5
Q
i) · (
i=1
( 1i ))
i=1
i)
5
Q
(−1)i · i .
i=1
25. Schreiben Sie die folgenden Summen unter Verwendung des Summenzeichens:
a) 2 + 5 + 8 + ... + 122
b)
1
16
+ 14 + 1 + ... + 1024
26. Berechnen Sie folgende Summen:
6 ¡ ¢
P
6
a)
· 5k · (−4)6−k
b)
k
k=0
5 ¡ ¢
P
5
k=1
k
c) 1 −
· 4k · (−2)5−k .
27. Bestimmen Sie alle Lösungen für x ∈ N der Gleichung
x! − 7(x − 1)! + 8(x − 2)! = 0 .
1
3
+ 19 −
1
27
+ ... +
1
6561
.
