Stoff für die Abschlussklausur
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Stoff für die Abschlussklausur 1. Logik i. ii. iii. 2. Besprechung des Eingangstests! i. ii. 3. Fragen anschauen Zusätzliche Bemerkungen von mir Mengenlehre i. ii. iii. iv. v. vi. vii. viii. ix. x. xi. xii. xiii. 4. Quantorschreibweise: „es existiert“, „für alle“ Wann verwende ich Gleichheitszeichen, wann Äquivalenzpfeile Korrekte Verneinung von Aussagen Definition Menge, Element, leere Menge und deren Eigenschaften Korrekte Schreibweisen: Abzählende Notation, Notation durch mathematische Beschreibung Schnitt und Vereinigung von Mengen (muss auch praktisch angewendet werden können, z.B. die Vereinigung von zwei vorgegebenen Mengen bestimmen) disjunkte Mengen Teilmenge Gleichheit von Mengen (wie beweise ich die?) Potenzmenge und deren Eigenschaften Differenz von Mengen Komplementbildung Mächtigkeit/Kardinalität von Mengen kartesisches Produkt Die Mengen der natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen Rechenregeln: Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz, doppelte Komplementbildung, De Morgan‘sche Regeln Ungleichungen und Betrag i. ii. iii. iv. Ordnung auf den reellen Zahlen, also die Regeln der Ordnungsrelation „<“ (kleiner): Trichotomie (d.h. eine Zahl ist entweder positiv, negativ oder null), Transitivität, Monotonie bzgl. Addition, Monotonie bzgl. Multiplikation mit einer positiven Zahl, Umdrehen des Zeichens bei Multiplikation mit negativer Zahl, etc. Definition des Absolutbetrags auf den reellen Zahlen mit allen Eigenschaften/ Rechenregeln Rechnen mit Beträgen: Fallunterscheidung durchführen bei Auflösen von Beträgen Intervallschreibweise 5. Potenzen und Logarithmen i. ii. iii. iv. v. vi. vii. viii. 6. Summen, Produkte i. ii. iii. iv. v. vi. vii. 7. Was versteht man unter einer Summe, einem Produkt? Was ist eine leere Summe, ein leeres Produkt? Rechenregeln: Verschieben des Summationsindexes, Konstante Faktoren, Assoziativgesetz Wichtige Summen: „Kleiner Gauß“, Geometrische Summe, Teleskopsumme, Binomischer Lehrsatz mit Definition des Binomialkoeffizienten und der Fakultät Teleskopprodukt Vorgegebene Summen/Produkte mit dem neuen Zeichen schreiben können Summen/Produkte berechnen Prozentrechnung, insb. in Hinblick auf Zinsrechung (z.B. 1000 Euro Kapital, jedes Jahr 10% Zinsen, wie viel Kapital nach n Jahren?) Beweismethoden i. ii. iii. iv. 8. Definition der Potenz mit natürlichem Exponenten Definition der n-ten Wurzel für natürliche n Potenzgesetze Definition der Eulerschen Zahl Definition des logarithmus naturalis ln und Zusammenhang zur Exponentialfunktion Definition des Logarithmus zu einer beliebigen Basis Umrechnen zwischen Logarithmen verschiedener Basis Logarithmusregeln Direkter Beweis Beweis durch Kontraposition Beweis durch Widerspruch (indirekter Beweis) Vollständige Induktion (inkl. Abschätzungen) Funktionsbegriff i. ii. iii. iv. v. vi. Definitionsbereich, Bildbereich bestimmen Notation Die Begriffe Bild und Urbild Surjektivität, Injektivität, Bijektivität Bedeutung der Umkehrfunktion Definition der Komposition zweier Funktionen 9. Elementare Funktionen und deren grundlegende Eigenschaften i. ii. iii. iv. v. vi. vii. viii. ix. 10. Elementare Kurvendiskussion aus der Schule i. ii. iii. iv. 11. Konstante Funktionen Identität Monome Polynome Rationale Funktionen Wurzelfunktionen Exponentialfunktionen, insb. exp(x) Logarithmusfunktionen, insb. ln(x) Trigonometrische Funktionen (inkl. wichtigen Werten): Definition am Einheitskreis und an rechtwinkligen Dreiecken, Trigonometrischer Phythagoras Lineare Funktionen: Steigung berechnen, Geradengleichung aufstellen, senkrechte Gerade zu Vorgegebener finden Quadratische Funktionen: Scheitelpunkt bestimmen durch quadratische Ergänzung, Nullstellenbestimmung mit Mitternachtsformel / quadr. Ergänzung / Satz von Vieta / p-q-Formel, Diskriminante und Anzahl der Nullstellen Polynome höherer Ordnung: Linearfaktorzerlegung mittels Polynomdivision, Substitution Rationale Funktion: Definitionslücken bestimmen, Algebraische Vielfachheit von Nullstellen und deren Auswirkung auf den Graphen Differentialrechung i. ii. iii. iv. v. vi. Steigung an Punkten bestimmen können Formale Definition, Differenzenquotient, Differentialquotient Allgemeine Ableitungsregeln: Linearität, Produktregel, Kettenregel, Quotientenregel Ableitungen von trigonometrischen Funktionen und der Exponentialfunktion Ableitungen von Monomen und Polynomen (sowie weiteren Grundfunktionen) Kurvendiskussion: Monotonie einer Funktion (Definition) und Zusammenhang mit der ersten Ableitung, Notwendige Bedingung für lokales Extremum, Hinreichende Bedingungen
