Einführung in das mathematische Arbeiten Abschnitt 1
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Dr. G. Wachsmuth Einführung in das mathematische Arbeiten Typische Prüfungsfragen Die folgenden Fragen dienen lediglich der Orientierung und müssen nicht den tatsächlichen Prüfungsfragen entsprechen. Für eine gute Prüfungsleistung werden auch Kenntnisse über die zugehörigen Beweise bzw. Beweisideen vorausgesetzt. Auch Erkenntnisse aus den Übungen können Bestandteil der Prüfung sein. Abschnitt 1: Teilen mit Rest (1) Was haben wir in der Vorlesung unter „Teilen mit Rest“ verstanden? (2) Warum kann man immer eindeutig mit Rest teilen (Satz 1.1)? (3) Wie kann man mit Kongruenzen rechnen (Lemma 1.4)? Kann man auch mit Kongruenzen dividieren (Übung 1, Hausaufgabe 2)? (4) Was besagt das „Prinzip des kleinsten Täters“ (Übung 1, Aufgabe 2)? Beweisen Sie dieses Prinzip mithilfe des Prinzips des Minimums. Geben Sie eine einfache Anwendung an. Abschnitt 2: Beweise und Beweisen (5) Welche Beweisarten kennen Sie? Geben Sie jeweils ein einfaches Beispiel an. (6) Erklären Sie die Verwendung des Summenzeichens. Erläutern Sie dabei auch die Begriffe „Indexverschiebung“ und „Teleskopsumme“. (7) Was ist vollständige Induktion? Warum funktioniert sie (Satz 2.3)? Erläutern Sie ausführlich an einem einfachen Beispiel die einzelnen Schritte eines Induktionsbeweises. P (8) Leiten Sie eine explizite Formel für ni=1 q i her. Abschnitt 3: Aussagenlogik (9) Was ist eine Aussage? Geben Sie Beispiele für Aussagen, sowie Beispiele, die keine Aussagen sind, an. (10) Welche Funktionen auf Wahrheitswerten kennen Sie? Geben Sie wichtige Rechenregeln an. (11) Welche Möglichkeiten hat man, eine aussagenlogische Formel zu beweisen? (12) Wie zeigt man die Äquivalenz von Aussagen? Geben Sie ein Beispiel an. Gegeben seien drei Aussagen A, B und C. Wie kann man zeigen, dass diese Aussagen äquivalent sind? http://tu-chemnitz.de/mathematik/part_dgl/teaching/WS2016_Einführung_in_das_mathematische_Arbeiten Dr. G. Wachsmuth (13) Wie wird eine Aussage negiert? Was ist dabei bei Quantoren zu beachten? Geben Sie dazu Beispiele an. Was ist die Negation von A ⇒ B? (14) Was ist ein Prädikat? Was sind Quantoren? Dürfen mehrere Quantoren getauscht werden? Abschnitt 4.1: Grundlagen der naiven Mengenlehre (15) Was ist eine Menge? Wodurch wird eine Menge bestimmt? Wie können Mengen angegeben werden? (16) Definieren Sie die Gleichheit von Mengen und die Mengeninklusion (⊂). Wie kann die Gleichheit von Mengen gezeigt werden? (17) Definieren Sie Durchschnitt und Vereinigung von Mengen. Können auch mehr als zwei Mengen geschnitten bzw. vereinigt werden? Geben Sie jeweils Beispiele an. (18) Geben Sie Rechenregeln für Mengenoperationen an. Warum lassen sich viele Rechenregeln aus der Aussagenlogik auf die Mengenlehre übertragen? (19) Was ist ein geordnetes Paar? Definieren Sie das kartesische Produkt zweier Mengen. Abschnitt 4.2: Relationen (20) Definieren Sie den Begriff der Relation. Welche Eigenschaften können Relationen haben? Geben Sie Beispiele an. (21) Was ist eine Äquivalenzrelation? Definieren Sie Äquivalenzklasse. Wie ist der Zusammenhang zu Partitionen? (22) Was sind Ordnungsrelationen und Totalordnungen? Definieren Sie das Supremum einer Menge. Geben Sie Beispiele an. (23) Was ist ein Verband? Geben Sie Beispiele und Gegenbeispiele an. Abschnitt 5: Funktionen (24) Was ist eine Funktion? Geben Sie Beispiele und Gegenbeispiele an. (25) Definieren Sie Bild und Urbild von Mengen. Geben Sie Rechenregeln an. (26) Definieren Sie injektiv, surjektiv, bijektiv. Was ist eine Umkehrfunktion? (27) Was ist die Komposition von Funktionen? Ist diese assoziativ oder kommutativ? (28) Was kann über f und g gesagt werden, wenn f ◦ g bijektiv ist? http://tu-chemnitz.de/mathematik/part_dgl/teaching/WS2016_Einführung_in_das_mathematische_Arbeiten Dr. G. Wachsmuth Abschnitt 6: Axiomatische Mengenlehre (29) Definieren Sie „mindestens so mächtig“ und „gleichmächtig“. Geben Sie Beispiele an. (30) Sind alle unendlichen Mengen gleichmächtig? Wo liegen die Grenzen der naiven Mengenlehre? (31) Was ist ein Axiomensystem? Geben Sie ein einfaches Beispiel an. (32) Beschreiben Sie die Grundzüge der axiomatischen Mengenlehre. Über welche Objekte werden Aussagen gemacht? Geben Sie beispielhaft zwei Axiome an. Abschnitt 7: Zahlenmengen (33) Erläutern Sie die Zahlenmengen N, Z, Q und R (naives Verständnis). (34) Definieren Sie die natürlichen Zahlen mittels der Peano-Axiome. http://tu-chemnitz.de/mathematik/part_dgl/teaching/WS2016_Einführung_in_das_mathematische_Arbeiten
