Aufgabenblatt 3

Übungen zu Grundlagen der Mathematik
Sommersemester 2017
Prof. Dr. Thomas Thierauf
Fak. Elektronik und Informatik
Aufgabenblatt 3
http://image.informatik.htw-aalen.de/∼thierauf/
1. Die Relation ∼
= ist auf Z definiert durch
a∼
= b, falls a − b = 3k für ein k ∈ Z.
D.h. a − b ist Vielfaches von 3. Zeigen Sie, dass ∼
= eine Äquivalenzrelation ist.
2. Wir definieren die Relation ≡ über der Menge A = { (a, b) | a, b ∈ Z und b 6= 0 }, also auf
Paaren von ganzen Zahlen, wie folgt: für a, b, c, d ∈ Z mit b, d 6= 0 ist
(a, b) ≡ (c, d), falls a · d = b · c.
Zeigen Sie, dass ≡ eine Äquivalenzrelation ist.
3. Sei R eine reflexive Relation über A mit folgender Eigenschaft:
∀a, b, c ∈ A aRb und aRc =⇒ bRc.
Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist.
4. Sei R Äquivalenzrelation über A und a, b ∈ A. Zeigen Sie:
a) aRb =⇒ [a]R = [b]R .
b) Entweder [a]R = [b]R oder [a]R ∩ [b]R = ∅.
5. Für a, b ∈ N+ = N − {0} definieren wir die Teiler-Relation durch
∃ t ∈ N+ b = ta .
a teilt b, kurz: a\b, falls
Zeigen Sie, dass die Teiler-Relation eine Halbordnung auf N+ ist, aber keine Ordnung.
6. Zwei Graphen G1 = (V, E1 ) und G2 = (V, E2 ) heißen isomorph, wenn sie, bis auf Umbenennung der Knoten, gleich sind. Formal heißt das, dass es eine Permutation ϕ auf V gibt,
so dass für alle Knoten u, v ∈ V gilt: (u, v) ∈ E1 ⇐⇒ (ϕ(u), ϕ(v)) ∈ E2 .
Welche der folgenden 3 ungerichteten Graphen G1 , G2 und G3 sind isomorph?
2
3
2
1
4
6
3
2
1
5
4
6
G1
3
1
5
4
6
G2
5
G3
7. Zeigen Sie durch vollständige Induktion:
a)
n
X
k
n+1
k 2 = (n − 1) 2
n
X
n+2
k
=2− n
b)
k
2
2
+2
k=1
k=1
8. Zeigen Sie mit Hilfe der geometrischen Reihe: für x, y ∈ R und n ≥ 1 gilt
n
n
x − y = (x − y)
n−1
X
k=0
xn−1−k y k