Universität Duisburg-Essen/Campus Essen Abgabe

Universität Duisburg-Essen/Campus Essen
Institut für experimentelle Mathematik
Prof. Dr. Dr. h.c. G. Frey
Abgabe: Donnerstags bis 10:00
T03 R02 D (Kasten LA II)
ÜG-Nr. angeben!
1. Übung zur Vorlesung Lineare Algebra II SS 2008
Aufgabe 1:
Betrachten Sie die Menge M = Abb(N, R) der Abbildungen von N nach R (auch
bekannt als Folgen). Für eine Folge {ai }i∈N ∈ M und j ∈ N definiere Projektionen: pj : M −→ R : {ai }i∈N 7→ aj . Verifizieren Sie die universelle Eigenschaft
des direkten Produktes.
Aufgabe 2:
Gegeben seien Mengen und Relationen. Entscheiden Sie ob es sich dabei um
Äquivalenzrelationen handelt:
• Sei Z die Menge der ganzen Zahlen, und nZ = {n · z|z ∈ Z}. Es sei für
a, b ∈ Z definiert: a ∼ b ⇐⇒ a − b ∈ nZ
• Seien x, y ∈ Q. x ∼ y ⇐⇒ x − y ∈ Z
• Seien x, y ∈ Z. x ∼ y ⇐⇒ x · y 6= 0
• Seien a, b ∈ R. a ∼ b ⇐⇒ a < b
• Seien a, b ∈ R. a ∼ b ⇐⇒ a2 = b2
• Für a, b ∈ Z bezeichne a|b die Existenz einer ganzen Zahl c für die gilt:
a · c = b. Folgende Relation sei definiert: a ∼ b ⇐⇒ a|b
• Es bezeichne ggt(a, b) den grössten gemeinsamen Teiler zweier ganzer Zahlen a, b. a ∼ b ⇐⇒ ggt(a, b) > 1
• Sei G(R2 ) die Menge aller Geraden im R2 . Für g1 , g2 ∈ G(R2 ) sei definiert:
g1 ∼ g2 ⇐⇒ g1 ||g2 . (g1 parallel zu g2 )
Aufgabe 3:
Gegeben sei die Permutationsgruppe S3 als Menge aller bijektiven Abbildungen
einer 3-elementigen Menge in sich. Bestimmen Sie alle Normalteiler dieser Gruppe. (Hinweis: Erstellen Sie zunächst eine Verknüpfungstafel)
Aufgabe 4:
Gegeben sei eine Menge S mit einer Relation ∼. Diese Relation sei symmetrisch
und transitiv. Betrachten Sie folgende Kette von Implikationen:
a ∼ b =⇒ b ∼ a =⇒ a ∼ a
Folgt somit die Reflexivität aus der Symmetrie und der Transitivität?