Lsung zum 6.¨Ubungsblatt

Kryptographie
Sommersemester 2005
Theoretische Informatik
Universität Hannover
Ls̈ung zum 6.Übungsblatt
15.6.2005
1. Zeigen Sie: Sei n ≥ 2. Gilt ggT(a, n) = 1 und ggT(b, n) = 1, so gilt auch
ggT(a · b, n) = 1, und folgern Sie hieraus, dass die Einheiten in Zn mit der
Multiplikation eine Gruppe bilden.
Beweis Sei c ein gemeinsamer Teiler von a · b und n. Annahme: c > 1.
Sei p eine Primzahl, p | c. Dann gilt p | n und p | a · b. Da p Primzahl, folgt
auch p | a oder p | b, o.B.d.A. gelte p | a. Dann ist aber p ein gemeinsamer
Teiler von a und n, ein Widerspruch zur Voraussetzung.
Die Aussage über die Einheiten in Zn folgt hieraus leicht: Obiger Beweis
zeigt, dass die Einheiten abgeschlossen unter Multiplikation sind. Offenbar ist 1 eine Einheit, also hat die Einheitengruppe ein neutrales Element.
Zudem ist das Inverse einer Einheit wieder eine Einheit, und das Assoziativgesetz bleibt erhalten.
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2. Es sei ϕ(n) die in der Vorlesung definierte Eulersche Phi-Funktion, also ϕ(n)
die Mächtigkeit der Einheitengruppe von Zn . Zeigen Sie: Für eine Primzahl
p und eine natürliche Zahl k gilt ϕ(pk ) = pk−1 (p − 1).
Beweis Wir betrachten den Ring Zpk . Die Nicht-Einheiten in diesem Ring
sind nach Vorlesung genau die Zahlen, die nicht teilerfremd zu pk sind, die
also von p geteilt werden. Dies sind genau die vielfachen von p im Intervall
pk
= pk−1 Nicht-Einheiten. Die Anzahl der
0, . . . , pk − 1. Also gibt es genau
p
Einheiten ist also pk − pk−1 = pk−1 (p − 1).
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3. Wir stellen den Erweiterten Euklidischen Algorithmus vor, mit dem zu zwei
natürlichen Zahlen m und n der ggT und die Lineardarstellung des ggT
berechnet werden kann.
a0 := m
a1 := n
ak−1
qk := b ak für k > 0
ak := ak−2 − ak−1 · qk−1 für k > 1
x0 := 1
x1 := 0
y0 := 0
xk := xk−2 − qk−1 · xk−1 für k > 1
yk := yk−2 − qk−1 · yk−1 für k > 1
y1 := 1
Sei ap das letzte ak 6= 0. Dann gilt nach dem Euklidischen Algorithmus
ap = ggT(m, n). Weiterhin gilt: ggT(m, n) = xp · m + yp · n.
Beweis Wir zeigen: xk · a0 + yk · a1 = ak für alle k > 0, durch Induktion.
k = 1 x 1 · a0 + y 1 · a1 = 0 · a0 + 1 · a1 = a1 .
xk+1 · a0 + yk+1 · a1
k>1
= (xk−1 − qk · xk )a0 + (yk−1 − qk · yk )a1
= (xk−1 · a0 + yk−1 · a1 ) − qk (xk · a0 + yk · a1 )
= ak−1 − qk · ak
= ak+1 .
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Abgabe: Vor der nächsten Vorlesung oder per email an
[email protected].