Zahlentheorie

Zahlentheorie
Übung, LVA 405.131,132-135
C. Fuchs
6. Übungsblatt, SS 2015
1. Sei σ(n) die Summer aller Teiler d von n, d.h. σ(n) =
teilerfremden a, b ∈ N gilt σ(ab) = σ(a)σ(b).
29.04.2015
P
d|n
d. Zeige, dass für alle
2. Zwei verschiedene natürliche Zahlen a, b heißen befreundet, falls σ(a) = a+b = σ(b).
a) Überprüfe, dass die Zahlen 220 und 284 befreundet sind.
b) Für eine feste natürliche Zahl n setzen wir x = 3 · 2n − 1, y = 3 · 2n−1 − 1 und
z = 9 · 22n−1 − 1. Zeige: Wenn x, y und z Primzahlen sind, dann sind die beiden
Zahlen a = 2n · x · y und b = 2n z befreundet.
3. Bestimme ggT(3600, 3240), ggT(360360 , 540180 ) und ggT(232 − 1, 38 − 28 ).
4. Finde die Primfaktorzerlegung der Zahlen 720, 9797, 360360 und 232 − 1 und zeige,
dass 255 ein Teiler von 232 − 1 ist.
5. Unter welchen Bedingungen an die natürlichen Zahlen a1 , . . . , an gilt ggT(a1 , . . . , an )·
kgV(a1 , . . . , an ) = a1 · · · an ?