Übungen zur Vorlesung Algebra und Zahlentheorie

Prof. Dr. F. Kalhoff
Dipl.-Math. Marc Zimmermann
WS 2015/16
Übungen zur Vorlesung Algebra und Zahlentheorie
Blatt 11
Aufgabe 41. Bestimmen Sie, für welche Zahlen n ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
folgende Gleichung ganzzahlig lösbar ist:
7X 2 − 11Y 2 = n
Tipp: Ist die Gleichung 7X 2 − 11Y 2 = n in Z lösbar, dann ist auch die Gleichung
[7]m [X]2m − [11]m [Y ]2m = [n]m lösbar in Z/mZ für jedes m ∈ N. Erklären Sie kurz
warum dies stimmt.
Aufgabe 42.
a) Bestimmen Sie alle quadratischen Reste modulo p für p = 3, 5, 7, 11. Kann
man allgemein etwas über die Anzahl der quadratischen Reste modulo p
sagen?
b) Stellen Sie fest, welche der Gleichungen x2 ≡ a mod p für a ∈ {39, 113, 782}
und p ∈ {19, 113, 859} lösbar sind.
Aufgabe 43.
a) Sei S eine Ringerweiterung eines Körpers K, β ∈ S und mβ ∈ K[X] das
Minimalpolynom von β. Zeigen Sie, dass mβ irreduzibel über K ist.
b) Es sei F9 = F3 [X]/(X 2 + 1) der Körper mit neun Elementen. Stellen Sie
beide Verknüpfungstafeln auf.
Aufgabe 44. Betrachten Sie das Ideal a := (2, 1 +
√
√
−5) ⊂ Z[ −5].
a) Zeigen Sie dass in einem Ring R mit Ideal I folgendes gilt: Die Ideale J des
Rings R/I stehen in Bijektion zu den Idealen M in R welche I enthalten,
d.h. I ⊂ M ⊂ R.
Vergleichen Sie dies mit dem 3. Isomorphiesatz, dieser ist für folgendes Problem
hilfreich:
√
b) Bestimmen Sie den Faktorring Z[ −5]/a elementweise. Zu welchem Ring
ist dieser Isomorph?
c) Ist a prim? Ist a maximal?
d) Geben Sie jeweil ein Beispiel (mit Begründung) für einen Ring der
• faktoriell, aber kein Hauptidealring ist.
• nicht faktoriell ist.
Abgabetermin: Donnerstag, der 21.01.16, 12:00 Uhr.