Blatt 7: Trennung und Zusammenhang

Topologie
M. Eisermann / A. Thumm
WiSe 2013/2014
Blatt 7: Trennung und Zusammenhang
1. L OKAL - KOMPAKTE G RUPPEN
Aus der linearen Algebra kennen wir folgende Dualität: Zu jedem R–Vektorraum V betrachten wir den Dualraum V ∗ := HomR (V, R). Jede R–lineare Abbildung f : V → W
induziert eine R–lineare Abbildung f ∗ : W ∗ → V ∗ durch f ∗ (ϕ) := ϕ ◦ f . Wir haben die
kanonische Einbettung ΦV : V → V ∗∗ mit Φ(v)(ϕ) := ϕ(v).
1.1. Zum Aufwärmen weise man die gemachten Aussagen nach und zeige: Für jeden
endlich-dimensionalen Vektorraum V ist ΦV : V → V ∗∗ ein Isomorphismus.
Eine analoge Konstruktion wollen wir nun für lokal-kompakte abelsche Gruppen (G, ·)
durchführen, zum Beispiel für die diskreten Gruppen (Z, +) und (Z/n, +) oder für (R, +)
und (S1 , ·) mit den üblichen euklidischen Topologien. Zu (G, ·) ist das Pontryagin–Dual
die Gruppe Ĝ := Hom(G, S1 ) aller stetigen Homomorphismen f : G → S1 mit punktweiser
Multiplikation und der Topologie der kompakten Konvergenz.
1.2. Man bestimme Ĝ in jedem der vier Beispiele R und Z/n sowie Z und S1 .
b
b
mit Ψ(g)(χ) := χ(g). Der berühmWir haben die kanonische Einbettung ΨG : G → G
te Dualitätssatz von Pontryagin (1908–1988) und van Kampen (1908–1942) besagt: Für
jede lokal-kompakte abelsche Gruppe G ist ΨG ein Isomorphismus. Die vorige Übung beweist dies in vier wichtigen Spezialfällen; dies ist die Basis der Fourier–Transformation
L2 (R) ↔ L2 (R) sowie L2 (S1 ) ↔ `2 (Z) und `2 (Z/n) ↔ `2 (Z/n).
2. T RENNUNGSAXIOME : U MFORMULIERUNGEN
2.1. Für jeden topologischen Raum (X, T) sind folgende Aussagen äquivalent:
(a) X ist ein T1 –Raum.
(b) Jede einpunktige Menge {x} ⊂ X ist abgeschlossen.
(c) Jede Menge A ⊂ X ist der Durchschnitt all ihrer Umgebungen.
2.2. Für jeden topologischen Raum (X, T) sind folgende Aussagen äquivalent:
(a) X ist ein T2 –Raum.
(b) Die Diagonale ∆ ⊂ X × X ist abgeschlossen.
(c) Jeder Filter auf X hat höchstens einen Grenzwert in X.
2.3. Ein topologischer Raum (X, T) erfüllt T3 genau dann, wenn für jeden Punkt a ∈ X
die abgeschlossenen Umgebungen eine Umgebungsbasis bilden.
V 2.4. Ein topologischer Raum (X, T) erfüllt T4 genau dann, wenn für jede abgeschlossene Menge A ⊂ X die abgeschlossenen Umgebungen eine Umgebungsbasis bilden.
2.5. Genau dann ist (X, T) ein T5 –Raum, wenn jeder Teilraum Y ⊂ X ein T4 –Raum ist.
S 2.6. Sei (X, T) normal. Genau dann existiert f : X → [0, 1] mit f −1 (0) = A, wenn A
abgeschlossen ist und zudem eine Gδ –Menge, also abzählbarer Durchschnitt offener Mengen. Somit ist ein topologischer Raum (X, T) genau dann perfekt normal,
wenn er normal ist und jede abgeschlossene Menge eine Gδ –Menge ist.
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Stand 27. November 2013
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3. T RENNUNGSAXIOME : B EISPIELE UND G EGENBEISPIELE
V 3.1. Die Menge N mit koendlicher Topologie erfüllt T1 aber nicht T2 .
3.2. Eine Menge U ⊂ N heiße offen, wenn sie zu jedem a ∈ U eine arithmetische Folge
a + bN mit b ∈ N und ggT(a, b) = 1 enthält. Dies ist eine Topologie und erfüllt T2
aber weder T3 noch T4 . Hinweis: Man betrachte A = N r (3 + 2N) und b = 3.
V 3.3. Man finde jeweils einen topologischen Raum (X, T), wobei die Menge X endlich
und so klein wie möglich sein soll, sodass gilt:
(a) T4 aber nicht T3 .
(b) T4 und T3 aber weder T2 noch T1 .
3.4. Wir topologisieren R2 wie folgt: die offenen Umgebungen für einen Punkt (x, y) ∈
R2 mit x 6= 0 werden erzeugt von offenen Bällen Bε (x, y), die offenen Umgebungen eines Punktes (0, y) von den Mengen Bl (−l, y) ∪ {(0, y)} ∪ Br (+r, y), wobei
l, r positive reelle Zahlen sind. Diese Topologie erfüllt T3 aber nicht T4 .
4. Z USAMMENHANG UND W EGZUSAMMENHANG
V 4.1. Man finde Einbettungen f1 , f2 , f3 : R ,→ R2 , deren Komplement aus einer, zwei
bzw. drei (!) Wegkomponenten besteht, und beweise jeweils diese Eigenschaft.
H 4.2. Man finde eine Einbettungen f : R ,→ R2 , deren Komplement aus überabzählbar
vielen Wegkomponenten besteht.
4.3. (Satz vom Grenzübertritt) Sei A ⊂ X zusammenhängend und B ⊂ X. Wenn A sowohl B als auch X r B trifft, dann trifft A auch den Rand von B.
4.4. (Hilberts Kloster, mit offenen und abgeschlossenen Zellen) Wir betrachten
X = ]0, 1[ ∪ [2, 3] ∪ ]4, 5[ ∪ [6, 7] ∪ . . . ,
Y = ]0, 1] ∪ [2, 3] ∪ ]4, 5[ ∪ [6, 7] ∪ . . . .
∼
Gibt es stetige Bijektionen X → Y und Y → X? einen Homöomorphismus X −
→
Y?
2
S 4.5. In R betrachten wir A = { (x, sin(π/x)) | x ∈ ]0, 1] } und B = {0} × [−1, +1]. Dann
ist C = A ∪ B zusammenhängend aber nicht wegzusammenhängend. Genauer gilt
Z(C) = {C} aber π0 (C) = {A, B}. Hierbei ist A offen und B abgeschlossen in C.
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