Topologie (10480-01) Universität Basel im FS 2015 Blatt 2 Prof. Dr

Topologie (10480-01)
Blatt 2
Universität Basel im FS 2015
Prof. Dr. P. Habegger
Aufgabe 1. (2 + 2 Punkte)
(i) Beweisen Sie, dass
B = {(a, b]; a, b ∈ R und a < b}
eine Basis einer Topologie auf R bildet.
(ii) Zeigen Sie, dass die von B aus Teil (i) induzierte Topologie auf R feiner als die
Standardtopologie ist.
Aufgabe 2. (4 Punkte) Seien X und Y topologische Räume. Zeigen Sie, dass eine
Funktion f : X → Y genau dann stetig ist, wenn f (M ) ⊆ f (M ) für alle M ⊆ X gilt.
Aufgabe 3. (1 + 1 + 1 + 1 + 4 + 2 Punkte) Felix Hausdorff (1868–1942) war einer der
Mitbegründer der Topologie. Er definierte 1914 allerdings topologische Räume mit Hilfe
von Umgebungsaxiomen. Die uns aus der Vorlesung bekannte Definition topologischer
Räume führte Pavel Alexandroff (1925) ein.
Wir nehmen für diese Aufgabe an, dass Umgebungen nicht offen sein müssen. (Siehe
Bemerkung nach Definition 1.10 im Skript.) D.h. eine Umgebung eines Punktes x ist
eine Teilmenge des topologischen Raumes, welche eine offene Teilmenge U mit x ∈ U
enthält.
(1) Sei (X, τ ) ein topologischer Raum. Zeigen Sie, dass die Menge U(x) der Umgebungen eines Elementes x ∈ X folgende Eigenschaften hat:
(a) Für alle U ∈ U(x) ist x ∈ U .
(b) Aus U ∈ U(x) und U ⊆ V folgt V ∈ U(x).
(c) Aus U1 , U2 ∈ U(x) folgt U1 ∩ U2 ∈ U(x).
(d) Jedes U ∈ U(x) enthält eine Menge V ∈ U(x), so dass für alle y ∈ V gilt
U ∈ U(y).
(2) Sei X eine Menge und für alle x ∈ X sei U(x) ⊆ P(X) eine nichtleere Menge,
welche die Axiome 1a – 1d erfüllt. Zeigen Sie, dass die Menge der U ⊆ X mit
U ∈ U(x) für alle x ∈ U eine Topologie auf X ist.
(3) Zeigen Sie, dass die Mengen in U(x) aus Teil (2) gerade die Umgebungen des
Punktes x sind.
Aufgabe 4. (4 + 2 Punkte)(Lemma von Urysohn für metrische Räume)
(1) Es sei (X, d) ein metrischer Raum und M ⊆ X eine Teilmenge. Zeigen Sie, dass
die durch
dist(x, M ) := inf{d(x, y); y ∈ M }
gegeben Funktion dist( · , M ) : X → R stetig ist.
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(2) In dieser Teilaufgabe trägt R die Standardtopologie. Beweisen Sie nun die folgende Aussage. Es sei (X, d) ein metrischer Raum und A, B ⊆ X abgeschlossen
mit A ∩ B = ∅. Dann gibt es eine stetige Funktion ϕ : X → R, für die ϕ(x) = 1
für alle x ∈ A und ϕ(x) = 0 für alle x ∈ B gilt.
Abgabe am 19. März 2015 um 12 Uhr.