Topologie (10480-01) Universität Basel im FS 2015 Blatt 5 Prof. Dr

Topologie (10480-01)
Blatt 5
Universität Basel im FS 2015
Prof. Dr. P. Habegger
Aufgabe 1 (2 + 2 + 0 Punkte). Seien X und Y separable topologische Räume und sei
∼ eine Äquivalenzrelation auf X. Beweisen Sie die folgenden Behauptungen.
(i) Der Produktraum X × Y ist separabel.
(ii) Der Quotientenraum X/∼ ist separabel.
(iii)∗ Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussage. Das Produkt beliebig vieler
separabler Räume ist separabel.
Aufgabe 2 (2 + 2 + 2 + 2 Punkte). Sei X ein topologischer Raum und sei ∼ eine
Äquivalenzrelation auf X. Sei q : X → X/∼ die Quotientenabbildung. Wir statten X/∼
mit der Quotiententopologie und X ×X mit der Produkttopologie aus. Mit R bezeichnen
wir die Menge {(x, y) ∈ X × X; x ∼ y}. Zeigen Sie die folgenden Aussagen.
(i) Der Raum X ist genau dann T1 , wenn es zu je zwei Punkten x 6= y in X eine
offene Menge gibt, die x aber nicht y enthält.
(ii) Der Raum X/∼ ist genau dann T1 , wenn jede Äquivalenzklasse in X abgeschlossen ist.
(iii) Ist X/∼ ein Hausdorffraum, so ist R abgeschlossen in X × X.
(iv) Sei q offen. Dann ist X/∼ genau dann ein Hausdorffschraum, wenn R abgeschlossen ist.
Aufgabe 3 (2 + 2 Punkte). Zeigen Sie, dass die Sorgenfreygerade das erste Abzählbarkeitsaxiom
erfüllt aber nicht das zweite.
Aufgabe 4 (3 Punkte). Sei K = {1, 1/2, 1/3, 1/4, . . .} und RK der topologische Raum
mit Punktemenge R, der von der Basis
{(a, b); a < b} ∪ {(a, b) r K; a < b}
erzeugt wird. Konvergiert die Folge (1/n)n≥1 in RK ? Begründen Sie Ihre Antwort!
Aufgabe 5 (2 + 4 Punkte). Sei I eine Indexmenge und für
`jedes i ∈ I sei ein topologischer Raum
X
gegeben.
Wir
definieren
die
Menge
X
=
i∈I Xi als die (disjunkte)
S i
Vereinigung i∈I Xi × {i} und betrachten Xi vermöge der Abbildung x →
7 (x, i) als
Teilmenge von X. Wir definieren
τ = {U ⊆ X; U ∩ Xi ist offen in Xi für alle i}.
(i) Zeigen Sie, dass τ eine Topologie auf X definiert. Der topologische Raum X
heisst disjunkte Vereinigung der Xi .
(ii) Formulieren und beweisen Sie eine universelle Eigenschaft für die disjunkte Vereinigung der Xi .
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Freiwillige Aufgabe. Wir wollen einen Raum Y und eine Funktion auf Y betrachten,
die zwar folgenstetig ist, aber nicht stetig im topologischen Sinne ist. Dazu darf Y nicht
dem ersten Abzählbarkeitsaxiom genügen. Sei X = [0, 1][0,1] der Raum der Funktionen
auf [0, 1] mit Werten in [0, 1]. Wir betrachten die Produkttopologie auf X. Zeigen Sie
die folgenden Aussagen.
(i) Jede Umgebung U ⊆ X der konstanten Funktion die auf 1 abbildet, enthält eine
Funktion fU ∈ X, die fast überall gleich 0 ist.
(ii) Zeige, dass eine Folge (fn )n in X genau dann gegen f ∈ X konvergiert, wenn die
Folge punktweise gegen f konvergiert.
Wir betrachten nun die Teilmenge Y ⊆ X der Lebesgue–messbaren Funktionen ausgestattet mit der Teilraumtopologie. Definiere die Funktion
Z 1
f (x) dx.
I : Y → [0, 1],
f 7→
0
Zeigen Sie nun folgende Aussagen.
(i) Die Funktion I ist folgenstetig, d.h. dass I(fn ) → I(f ) für jede Folge (fn )n in Y
die gegen f konvergiert. (Hinweis: Satz der majorisierten Konvergenz.)
(ii) Die Funktion I ist nicht stetig.
* = freiwillig.
Abgabe am 16. April 2015 um 12 Uhr.