Reelle Algebra - Fachbereich Mathematik und Statistik

Universität Konstanz
Fachbereich Mathematik und Statistik
Prof. Dr. Alexander Prestel
Sven Wagner
Wintersemester 2007/08
Übungsblatt 10
11.01.2008
Reelle Algebra
Aufgabe 10.1: (Satz von Dini)
Sei X 6= ∅ ein quasikompakter topologischer Raum. Es bezeichne C(X, R) den Raum der stetigen reellwertigen Funktionen auf X, versehen mit der Maximumsnorm. Sei f ∈ C(X, R),
und sei (gn )n∈N ⊂ C(X, R) eine Folge, bei der für alle x ∈ X die Folge (gn (x))n∈N monoton
steigend ist und gegen f (x) konvergiert. Zeigen Sie, daß dann (gn )n∈N in C(X, R) gegen f
konvergiert.
Aufgabe 10.2: (Satz von Stone-Weierstraß)
Sei X 6= ∅ ein kompakter topologischer Raum, und sei C(X, R) die mit der Maximumsnorm
versehene R-Algebra der stetigen reellwertigen Funktionen auf X. Sei A eine Q-Unteralgebra
von C(X, R), die die Punkte von X trennt, das heißt zu je zwei verschiedenen Punkten
x, y ∈ X existiert ein f ∈ A mit f (x) 6= f (y). Zeigen Sie, daß dann A dicht in C(X, R)
liegt, d.h. der Abschluß von A ist C(X, R). Beweisen Sie dafür die folgenden Aussagen:
a) Der Abschluß von A ist eine R-Unteralgebra von C(X, R). Wir können nun also ohne
Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, daß A eine abgeschlossene R-Unteralgebra
von C(X, R) ist.
√
b) Sei
f
∈
C(X,
R)
mit
0
≤
f
≤
1
auf
X,
und
sei
g
∈
C(X,
R)
mit
0
≤
g
≤
f , wobei
0
0
p
√
f die Funktion in C(X, R) sei, die x ∈ X auf f (x)
√ abbildet. Dann konvergiert die
durch gn+1 := gn + 12 (f − gn2 ) definierte Folge gegen f in C(X, R).
(Hinweis: Verwenden Sie den Satz von Dini.)
c) Ist f ∈ A, so auch |f | : X → R, x 7→ |f (x)|.
d) Sind f, g ∈ A, so auch die Abbildungen min{f, g} : X → R, x 7→ min{f (x), g(x)}, und
max{f, g} : X → R, x 7→ max{f (x), g(x)}.
e) Zu je zwei verschiedenen Punkten x, y ∈ X und beliebigen Zahlen a, b ∈ R gibt es ein
f ∈ A mit f (x) = a und g(y) = b.
f) Ist 0 < ε ∈ R, f ∈ C(X, R) und x ∈ X, so gibt es ein g ∈ A mit g(x) = f (x) und
g < f + ε auf X.
(Hinweis: Benutzen Sie die Kompaktheit von X, um g als das Minimum von endlich
vielen geeigneten Funktionen zu wählen.)
g) Ist 0 < ε ∈ R und f ∈ C(X, R), so gibt es ein g ∈ A mit f − ε < g < f + ε auf X.
(Hinweis: Benutzen Sie die Kompaktheit von X, um g als das Maximum von endlich
vielen geeigneten Funktionen zu wählen.)
Aufgabe 10.3:
Zeigen Sie, daß für alle x ∈ R
(1 − x2 )3 ≥ 0 ⇒ 1 − x2 ≥ 0
gilt, es aber dennoch keine Quadratsummen s, t in R[X] mit
1 − X 2 = s + t(1 − X 2 )3
gibt.
Abgabe bis Freitag, den 18. Januar, 10 Uhr in Briefkasten 18.