1.¨Ubung: Mathematische Methoden der Physik II

Universität Würzburg
Institut für Mathematik
Dr. G. Dirr
Sommersemester 2012
Würzburg, den 27.04.20112
1. Übung: Mathematische Methoden der Physik II
Topologische Räume
1.1. (a) Sei X eine beliebige Menge und sei S ⊂ P(X) ein beliebiges System von Teilmengen
von X. Zeigen Sie, dass es eine kleinste“ Topologie T (S) auf X gibt, die S enthält.
”
Dies bezeichnen wir als die von S erzeugte Topologie.
(b) Zeigen Sie, dass jeder topologische Raum X, dessen Topologie eine abzählbare Basis
besitzt, auch eine abzählbare dichte Teilmenge enthält.
(c) Finden Sie eine Topologie T auf R, die keine abzählbare Basis besitzt.
(d) Untersuchen Sie, ob die folgenden Mengesysteme T Topologien auf den entsprechenden Räumen X definieren:
i. X := R und T := {(−∞, q) | q ∈ Q} ∪ {R, ∅}.
ii. X := C R, R und T enthalte alle Teilmengen von X, die sich als beliebige
Vereinigung von Mengen der Form
U (f ; x1 , . . . , xn ; r1 , . . . , rn ) := {g ∈ X | |g(xi ) − f (xi )| < ri für i = 1, . . . , n }.
darstellen lassen.
(3+2+2+2+3 Punkte)
1.2. Sei K eine kompakte Teilmenge eines topologischen Raums X und sei A ⊂ K abgeschlossen. Zeigen Sie, dass dann auch A kompakt ist.
(4 Punkte)
Metrische und normierte Vektorräume
1.3. Zeigen Sie (ohne Satz I.2 aus der Vorlesung), dass auf dem Rn alle p-Normen kxkp :=
Pn
p 1/p
, p ∈ [1, ∞] äquivalent sind.
k=1 |xk |
(4 Punkte)
1.4. (a) Zeigen Sie die diskrete“ Hölderung-Ungleichung
”
n
X
|xk yk | ≤ kxkp kykq
k=1
für alle x, y ∈ Rn und p, q ∈ [1, ∞] mit
1
p
+
1
q
= 1.
[Hinweis: Für a, b ≥ 0 dürfen Sie ohne Beweis die Unleichung a1/p b1/q ≤
benutzen.]
a
p
+
b
q
(b) Folgern Sie aus (a) die diskrete“ Minkowski-Ungleichung (Dreiechsungleichung der
”
p-Normen)
kx + ykp ≤ kxkp + kykp
für alle x, y ∈ Rn .
(c) Seien p, q ∈ [1, ∞] mit p1 + 1q = 1 gegeben. Folgern Sie aus (a), dass die Folge (xk yk )k∈N
in l1 (N) liegt, falls (xk )k∈N ∈ lp (N) und (yk )k∈N ∈ lq (N).
(3+3+3 Punkte)
1.5. Untersuchen Sie, ob die folgenden Paare (V, d) metrische Vektorräume definieren:
(a) V := R und d(x, y) :=
|x−y|
.
1+|x−y|
(b) V := R2 und d(x, y) := |x1 − y1 |1/2 + |x2 − y2 |1/2 .
P
(c) V := Cn ([0, 1], R) und d(f, g) := nk=0 kf (k) − g (k) k∞ .
P
(k)
(d) V := C∞ ([0, 1], R) und d(f, g) := ∞
− g (k) k∞ .
k=0 kf
P
(k)
(k)
−k kf −g k∞
(e) V := C∞ ([0, 1], R) und d(f, g) := ∞
.
k=0 2
1+kf (k) −g (k) k∞
(f) V := C(R, R) und d(f, g) := supx∈R
|f (x)−g(x)|
.
1+|f (x)−g(x)|
Dabei bezeichne k · k∞ die Maximumsnorm auf [0, 1], also kf k∞ := maxx∈[0,1] |f (x)|.
(2+2+2+3+3+3 Punkte)
1.6. Zusatzaufgabe: Die folgende Aufgabe dient nur zur Vertiefung des Stoffes und ist nicht
prüfungsrelevant.
Zeigen Sie, dass jede abgeschlossene, perfekte Teilmenge P eines vollständigen metrischen
Raums X überabzählbar ist. Dabei heißt eine Mengen P ⊂ X perfekt, wenn jeder Punkt
von P auch ein Häufungspunkt von P ist.
(4 Punkte)
Bitte geben Sie Ihre schriftlichen Lösungen am Donnerstag, den 03.05.2012, in der Vorlesung ab.
Weitere Übungsblätter und Hinweise zur Vorlesung finden Sie auf
http://www2.mathematik.uni-wuerzburg.de/index.php?id=Ss12&type=soverview
unter dem Link Mathematische Methoden der Physik II.