Elemente der Topologie

Probeklausur1 zur Vorlesung
Elemente der Topologie
Wintersemester 13/14
M. Joachim, F. Springer
Abgabe Donnerstag, 09.01.2013
Aufgabe 1 (4 Punkte). Seien X und Y topologische Räume und sei f : X → Y eine
Abbildung. Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch?
a)
b)
c)
d)
f ist genau dann stetig, wenn f −1 (A) für alle abgeschlossenen
Teilmengen A ⊂ Y abgeschlossen ist.
f ist genau dann stetig, wenn f −1 (Å) = (f −1˚(A)) für alle Teilmengen A ⊂ Y ist.
f ist genau dann offen, wenn f −1 (U ) für alle offenen Teilmengen
U ⊂ Y offen ist.
f ist genau dann eine Einbettung, wenn f offen, stetig und
injektiv ist.
wahr
falsch
wahr
falsch
wahr
falsch
wahr
falsch
Aufgabe 2 (4 Punkte). Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch?
a)
b)
c)
d)
Seien X, Y und Z topologische Räume und seien f, f 0 : X → Y
und g, g 0 : Y → Z stetige Abbildungen. Sind sowohl f und
f 0 als auch g und g 0 homotop, so sind auch g ◦ f und g 0 ◦ f 0
homotop.
Die Abbildungen f : R → R, t 7→ exp(πt) und g : R → R, t 7→
sin(πt) sind nicht homotop.
Seien X und Y topologische Räume und f, g, h : X → Y stetige
Abbildungen. Falls f und g homotop sind, so sind f und h
genau dann isotop, wenn g und h isotop sind.
Sind A ⊂ X und B ⊂ Y Teilmengen topologischer Räume X
und Y , so ist die kanonische Abbildung A × B → X × Y eine
Einbettung.
wahr
falsch
wahr
falsch
wahr
falsch
wahr
falsch
Aufgabe 3 (2+2 Punkte).
a) Seien X, Y und Z topologische Räume. Seien f : X → Y und g : Y → Z Abbildungen. Zeigen
Sie: Falls f ein Homöomorphismus ist, dann ist g genau dann ein Homöomorphismus, wenn
g ◦ f ein Homöomorphismus ist.
b) Zeigen Sie: Die Inklusion iU : U → X eines Teilraums U in einen topologischen Raum X ist
genau dann eine offen Abbildung, wenn U offen in X ist.
Aufgabe 4 (3 Punkte). Es sei (X, d) ein metrischer Raum und S ⊂ X eine endliche Teilmenge. Zeigen Sie, dass die Teilraumtopologie auf S mit der diskreten Topologie übereinstimmt.
Aufgabe 5 (2+2 Punkte).
a) Definieren Sie explizit einen polygonalen Knoten, der keine reguläre Projektion besitzt.
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Die Probeklausur entspricht in Anforderungsniveau und Umfang einer halben Klausur.
b) Für i = 1 . . . 8 seien die Punkte Pi ∈ R3 gegeben durch Pi = (cos(2πi/8), sin(2πi/8), 0).
Geben Sie eine ∆-Deformation des Knotens [P1 , . . . , P8 ] an, so dass das Knotendiagramm
des neuen Knotens aus dem des gegebenen Knoten durch eine Reidemeisterbewegung vom
Typ II hervorgeht.
Aufgabe 6 (2+2+2 Punkte). Welchen Wert haben die folgenden Knoteninvarianten für die
beiden nachfolgenden Knoten? Tragen Sie den entsprechenden Wert in den zugehörigen Kasten
ein.
Knoten links
a)
Entwirrungszahl
b)
Brückenzahl
c)
Färbungszahl
Knoten rechts
Aufgabe 7 (4+2+2 Punkte).
a) Berechnen Sie das Bracketpolynom < V > für die unten angegebene Verschlingung.
b) Bestimmen Sie das Jonespolynom JV (A) für die unten angegebene Verschlingung.
c) Zeigen oder widerlegen Sie: Die Verdrillungszahl eines Verschlingungsdiagramms hängt nur
von der durch das Verschlingungsdiagramm bestimmten Äquivalenzklasse ab.
Viel Erfolg!
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