Topologie

Dr. F. Stoll
8. Übungsblatt zur Vorlesung
Prof. Dr. R. Dipper
Topologie
Winter 2008/09
Aufgabe P 30. Ein-Punkt-Kompaktifizierung
Sei (X, OX ) ein lokalkompakter, aber nicht kompakter Raum. Sei X∞ = X ∪ {∞}. Wir
definieren U(∞) = {X∞ \K | K ⊆ X kompakt } und O∞ = OX ∪ U(∞). Zeigen Sie, dass
(X∞ , O∞ ) topologischer Raum ist.
Aufgabe P 31.
Seien X, Y, Z topologische Räume, und alle Abbildungen stetig. Zeigen Sie:
(a) Sind f, g : X → Y homotop (relativ A ⊆ X) und h : Y → Z, dann ist h ◦ f ' h ◦ g
(relativ A).
(b) Sind g, h : Y → Z homotop (relativ B ⊆ Y ) und f : X → Y , dann ist g ◦ f ' h ◦ f
(relativ f −1 (B)).
Aufgabe P 32.
Sei D2 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 1} die Einheitskreisscheibe um den Ursprung und S 1 =
{(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1} deren Rand.
(a) Überlegen Sie sich kurz, dass D2 homöomorph zu (S 1 ×[0, 1])/∼ ist, wobei (x, t) ∼ (y, s)
ist genau dann, wenn (x, t) = (y, s) ist oder t = s = 0.
(b) Sei X ein topologischer Raum und f : S 1 → X eine stetige Abbildung. Zeigen Sie, dass
f genau dann homotop zu einer konstanten Abbildung ist, wenn sich f zu einer stetigen
Abbildung D2 → X fortsetzen lässt.
Aufgabe P 33.
Sei A ⊆ Rn sternförmig, d. h. es gibt ein b ∈ A, sodass für jedes y ∈ A die Strecke von b nach
y Teilmenge von A ist, also {tb + (t − 1)y | t ∈ [0, 1]} ⊆ A. Sei X ein topologischer Raum und
f, g : X → A stetige Abbildungen. Zeigen Sie, dass f und g homotop sind.
8. Übungsblatt
Topologie
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 21.
Zeigen Sie:
4 Punkte
(a) In einem lokalkompakten Raum enthält jede Umgebung eines Punktes eine kompakte,
und daher abgeschlossene Umgebung.
(b) Lokalkompakte Räume sind regulär.
(c) Eine offene (bzw. abgeschlossene) Teilmenge eines lokalkompakten Raums ist wieder
lokalkompakt (bzgl. der Spurtopologie).
Aufgabe H 22. 2 Punkte
Zeigen Sie: Sind zwei topologische Räume homotopieäquivalent, und ist der eine wegzusammenhängend, dann ist auch der andere wegzusammenhängend.
Hinweis: Vergessen Sie nicht zu zeigen, dass gewisse Abbildungen stetig sind!