Proseminar Lineare Algebra WS 2016/17 10. bzw. 11. Oktober 2016

Proseminar Lineare Algebra
WS 2016/17
10. bzw. 11. Oktober 2016
1) Was ist der Graph einer Funktion ? Schreiben Sie die Graphen
der Funktionen
{1, 2, 3} → N , 1 7→ 0 , 2 7→ 4 , 3 7→ 2 ,
N → N , z 7→ z 3 + z + 1 ,
Z → N , y 7→ 7 ,
{1, 2, 3, 4, 5, 6} → {Christa, Heiner, Hubert, M ichael, Sergiy, W erner} ,
1 7→ Christa , 2 7→ Heiner , 3 7→ Heiner ,
4 7→ Sergiy , 5 7→ W erner , 6 7→ Hubert .
an.
2) Berechnen Sie
6
∑
j=2
und
(j + 1) ,
3
∑
ab=−1
2 ∑
4
∑
ab ,
3
1
∏
(∑
)
(s − r) ,
r=2 s=−1
4
∑
7
n=1
(3i + 2) · (j + 1) .
i=0 j=1
3) Schreiben Sie das Folgende mit Hilfe des Summenzeichens oder
Produktzeichens kürzer an:
−9 + (−6) + (−3) + 0 + 3 + 6 + 9 , 2 · 4 · 6 · 8 · 10 · 12 ,
3·4+3·5+3·6+4·4+4·5+4·6+5·4+5·5+5·6
4) Was ist eine rationale Zahl ? Wie sind Addition und Multiplikation von rationalen Zahlen definiert? Berechnen Sie ganze Zahlen a und b so, dass
a ( 31 64 ) 21 ( 13 )−1
=
−
·
·
b
43 27 31 34
ist. Sind die zwei rationalen Zahlen
23456788
23456789
und
789123457
789123455
gleich?
5) Wie sind die Wahrheitswerte von durch und, oder oder wenn dann zusammengesetzten Aussagen festgelegt?
Überprüfen Sie, ob eine der zusammengesetzten Aussagen
(A ⇒ (B ∧ A)) ∨ ((¬B ∨ ¬A) ⇒ ¬A)
(A ∨ B) ⇒ ((B ∧ A) ∨ (¬B ∨ ¬A))
immer wahr ist (unabhängig davon, ob A oder B wahr oder
falsch sind).
6) Was bedeutet es, eine Behauptung durch Induktion zu beweisen? Beweisen Sie durch Induktion:
∑
2
2
a) Für jede positive ganze Zahl n ist ni=1 i3 = n (n+1)
.
4
2
2
b) Für jede positive ganze Zahl n ≥ 3 ist 2n > (n + 1) .