Blatt7

Prof. Dr. Reinhard Höpfner
Frederik Klement
Grundlagen der Stochastik
Blatt 7 (überarbeitete Version)
Aufgabe 1:( 4 + 1 Punkte)
a) Es sei (Ω, P, A) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (Ai )i∈I ⊂ A eine Familie von Ereignissen
mit beliebiger Indexmenge I. Für jedes i ∈ I definieren wir Bi0 := Ai und Bi1 := A{i . Zeigen
Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent zueinander sind.
i) Die Ereignisse (Ai )i∈I sind unabhängig.
ii) Für jede endliche Teilmenge J und für jede Abbildung φ : J → {0, 1} gilt:
\
Y
φ(i)
φ(i)
P
Bi
=
P[Bi ].
i∈J
i∈J
b) Kann es auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P, A) zwei unabhängige Ereignisse A und
B geben mit P[A] ∈ (0, 1) und P[B] ∈ (0, 1) sowie A ∪ B = Ω ? Geben Sie ein Beispiel oder
beweisen Sie, dass dies unmöglich ist.
Aufgabe 2:( 3 + 3 Punkte)
Wir nehmen an, dass die Anzahl der Druckfehler in einem Buch Poissonverteilt mit Parameter λ > 0 ist. Beim Korrekturlesen wird jeder Fehler unabhängig von den anderen mit einer
Wahrscheinlichkeit p ∈ (0, 1) gefunden.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beim Korrekturlesen eines Buches genau k Fehler gefunden werden.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Buch genau n Druckfehler enthält, wenn
beim Korrekturlesen genau k Fehler gefunden wurden (n ≥ k).
Aufgabe 3:( 4 Punkte)
Wir betrachten den n-fachen Wurf eines k-seitigen Würfels des Bsp.3.10 aus der Vorlesung.
Gegeben sind pi ∈ (0, 1), 1 ≤ i ≤ k, und der Wahrscheinlichkeitsraum (Ωn , An , Pn ) mit Ωn :=
{1, 2, ..., k}n und An := P(Ωn ). Für (ω1 , ω2 , ..., ωn ) ∈ Ωn interpretieren wir ωi als die Augenzahl
des i-ten Wurfs. Über das Maß P wissen wir nur, dass für die Mengen der Form
An,n1 ,n2 ,...,nk = {n1 mal die 1, n2 mal die 2,..., nk mal k}
mit n1 + n2 + ... + nk = n gilt:
P[An,n1 ,n2 ,...,nk ] =
n!
pn1 pn2 · · · pnk k .
n1 !n2 ! · · · nk ! 1 2
Außerdem wissen wir, P[{ω}] = pn1 1 pn2 2 · · · pnk k für alle ω ∈ An,n1 ,n2 ,...,nk . Wir definieren Bi,j :=
{(ω1 , ω2 , ..., ωn ) ∈ Ωn : ωi = j} für 1 ≤ i ≤ n und 1 ≤ j ≤ k. Zeigen Sie, dass für jede Wahl von
j1 , j2 , ..., jn die Ereignisse B1,j1 , B2,j2 , ..., Bn,jn unabhängig sind unter Pn .
Hinweis: Orientieren Sie sich an der Beweisskizze aus der Vorlesung und ergänzen Sie die fehlenden Details.
Bitte Wenden.
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Prof. Dr. Reinhard Höpfner
Frederik Klement
Aufgabe 4:( 1 + 1 + 3 Punkte)
Beim zweimaligen unabhängigen Würfeln mit einem fairen Tetraederwürfel, dessen Flächen mit
den Nummern {1, 2, 3, 4} beschriftet seien, bezeichne die Zufallsvariable X die Summe und Y
das Maximum der Augenzahlen.
a) Geben Sie einen passenden Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) an.
b) Geben Sie für den von ihnen gewählten Wahrscheinlichkeitsraum die passenden Zufallsvariablen X : Ω → N und Y : Ω → N an.
c) Bestimmen Sie die Verteilungen L(X|P ), L(Y |P ) und L((X, Y )|P ).
Abgabe: Freitag, 11.12.15, 10 Uhr
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