Blatt 9

Übungen zur Vorlesung Stochastik 2
Sommersemester 2014
Universität Freiburg
Prof. Lerche
Blatt 9
Abgabe: 17.06.2014 vor der Vorlesung
Bitte vermerken Sie auf jedem Lösungsblatt unbedingt Ihren Namen und Ihre Übungsgruppe.
Aufgabe 34
Auf einer Farm legen Hühner innerhalb eines Jahres N Eier, N sei Poisson-verteilt mit Parameter λ.
Aus jedem Ei schlüpft unabhängig von den anderen Eier ein Küken mit Wahrscheinlichkeit p. Wenn
Y die Anzahl der geschlüpften Küken ist, was ist E(N | Y = k)?
Aufgabe 35
Nehmen Sie an, dass es gerade regnet und dass dabei im Schnitt in der Minute 30 Tropfen pro
Quadratzentimeter fallen.
1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fallen in den nächsten zehn Sekunden auf eine Fläche von einem
Quadratdezimeter keine Tropfen?
2. Jeder Tropfen ist unabhängig von den anderen Tropfen mit Wahrscheinlichkeit 2/3 ”groß“ und
mit Wahrscheinlichkeit 1/3 ”klein“. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fallen auf eine Fläche von
einem Quadratdezimeter in den nächsten zehn Sekunden genau vier große und fünf kleine Tropfen?
Aufgabe 36
P
Wir nehmen an, dass p0 , p1 , ... ∈ [0, 1] sind mit ∞
k=0 pk = 1. Sei (Xn,i )n,i≥0 eine unabhängige Familie
von Zufallsvariablen mit P (Xn,i = k) = pk . Die Erzeugendenfunktion der Xn,i sei mit f bezeichnet.
Wir setzen Z0 = 1 und
Zn−1
Zn =
X
Xn−1,i .
i=1
(Mögliche Interpretation: Zn ist die Anzahl von Individuen in der n-ten Generation einer sich zufällig
entwickelnden Population. Das i-te Individuum aus der n-ten Generation hat Xn,i Nachkommen.)
1. Zeigen Sie, dass für die Erzeugendenfunktion fZn von Zn folgendes gilt:
fZn = fn ,
wobei fn die n-te Iterierte von f ist, d.h. f1 := f und fn := f ◦ fn−1 .
2. Bestimmen Sie damit E[Zn ].
3. Bestimmen Sie die Aussterbewahrscheinlichkeit der Population P (∃n ≥ 1 : Zn = 0) in Abhängigkeit
von E[Z1 ].
Übungen zur Vorlesung Stochastik 2
Prof. Lerche
Sommersemester 2014
Universität Freiburg
Aufgabe 37
Die erzeugende Funktion ψX : Rn → R eines Zufallsvektors X = (X1 , ..., Xn ) ist definiert durch
ψX (t) := E[exp(ht, Xi)] für alle t ∈ Rn .
1. Zeigen Sie, dass für unabhängige, N (µ, σ 2 )-verteilte Zufallsvariablen X1 , ..., Xn gilt
ψ(X n ,X1 −X n ,...,Xn −X n ) ((t0 , t1 , ..., tn )) = ψX n (t0 )ψ(X1 −X n ,...,Xn −X n ) ((t1 , ..., tn )),
wobei X n :=
1
n
Pn
k=1 Xk .
2. Folgern Sie, dass X n und
n
σ
bn2 :=
1 X
(Xk − X n )2
n−1
k=1
unabhängig sind.
Bonusaufgabe (8 Bonuspunkte)
Wir stellen uns einen Autofahrer vor, der eine Einbahnstraße entlang fährt, an der sich an den Stellen
..., −2, −1, 0, 1, 2, ... Parkplätze befinden. Er kommt von −Q und sucht einen freien Parkplatz möglichst
nahe bei 0. Wir nehmen an, dass jeder Prakplatz unabhängig von den anderen mit Wahrscheinlichkeit
p frei ist. Der Autofahrer soll sich an jedem freien Parkplatz für Parken oder Weiterfahren entscheiden
können, wobei ihm der Blick auf die nachfolgenden Parkplätze versperrt sei. Die Frage ist nun, ab
welcher Nummer der Fahrer bereit sein muss zu parken, wenn er den Abstand seines Parkplatzes zur
Null im Mittel möglichst gering halten will.
1. Berechnen Sie EN , den mittleren Abstand zur Null, wenn man den nächsten freien Parkplatz
nach −N wählt.
2. Vergleichen Sie nun die verschiedenen EN miteinander und entwicklen Sie daraus eine optimale
Stoppstrategie.