9 Natürliche Zahlen im Zweiersystem

Inhalt
A
Natürliche Zahlen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
Anzahlen
Große Zahlen
Besondere natürliche Zahlen
Potenzen
Teiler und Vielfache
Primzahlen
Runden
Die römische Zahlschreibweise
Natürliche Zahlen im Zweiersystem
Wahr oder falsch? Wo steckt der Fehler?
Rechnen mit natürlichen Zahlen
1 Addieren und Subtrahieren
2 Multiplizieren und Dividieren
3 Rechenregeln
4 Rechenausdrücke und Variablen
5 Einfache Gleichungen und Ungleichungen
6 Keine Angst vor Textaufgaben
Probe-Klassenarbeit: Natürliche Zahlen
C
18
21
23
25
26
27
29
Bruchteile und Bruchzahlen
1
2
3
4
5
6
7
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6
7
9
10
11
13
14
15
16
17
Bruchteile
Bruchteile von Größen
Kürzen und Erweitern von Brüchen
Bruchzahlen
Brüche mit den Nennern 10, 100 und 1000
Die Anordnung der Bruchzahlen
Einfache Rechnungen mit Brüchen
30
33
37
38
39
40
41
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D
Sachrechnen
1
2
3
4
5
E
Messen von Größen
Größen addieren und subtrahieren
Größen multiplizieren und dividieren
Zuordnungen – Einfache Dreisatzaufgaben
Vermischte Übungen
Geometrie
1
Räumliche Grundformen – Körper
2
Ebene Grundformen – Vielecke und Kreise
3
Geometrische Grundbegriffe
4
Abstände
5
Darstellungen – Modelle – Netze
6
Punkte und Figuren im Koordinatensystem
7
Winkel
Probe-Klassenarbeit: Geometrie
F
63
64
66
67
69
Symmetrie – Spiegelung und Parallelverschiebung
1
2
3
4
H
50
52
53
55
56
59
60
62
Flächen- und Ruminhalte
1
Einheiten des Flächeninhalts
2
Flächeninhalt und Umfang von Rechtecken
3
Einheiten des Rauminhalts
4
Rauminhalt und Oberfläche von Quadern
Probe-Klassenarbeit: Flächen- und Rauminhalte
G
42
45
46
48
49
Achsensymmetrie
Punktsymmetrie
Spiegelung
Parallelverschiebung
70
71
72
73
Statistisches
1
2
Urlisten und Häufigkeitstabellen
Diagramme
Lösungen
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74
76
78
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A Natürliche Zahlen
1
Anzahlen
Beim Zählen will man eine Anzahl feststellen. Man zählt „eins, zwei,
drei, vier, fünf, sechs, sieben, ...“, benutzt also zum Zählen die natürlichen Zahlen.
Der Zählvorgang wird erleichtert,
IIIIIIIIIIIIIIIIII
indem man Strichlisten anlegt.
IIII IIII IIII III
Diese sind leichter auszuwerten, wenn man die Striche als 5er-Bündel
hinschreibt.
Beispiel
Die Kinder der Klasse 5 a wurden gefragt, wie sie täglich zur Schule kommen.
Mit dem Bus:
IIII IIII III
Mit dem Fahrrad: IIII IIII I
Mit dem Auto der Eltern: III
Zu Fuß:
IIII I
Darstellung der Umfrage in einer Tabelle.
Art
Bus
Fahrrad
Auto
zu Fuß
insgesamt
Anzahl
13
11
3
6
33
Aufgaben
1.
Die letzte Mathearbeit in der Klasse 5c fiel so aus:
Note 1: IIII Note 2: IIII IIII Note 3: IIII II Note 4: IIII
Note 5: I
a) Lege eine Tabelle an.
b) Wie viele Kinder schrieben mit?
c) Wie viele Kinder hatten eine 3 oder eine bessere Note?
2.
In der Klasse 5b wurde nach den Lieblingssportarten gefragt. Das Umfrageergebnis wurde als
Balkendiagramm dargestellt.
a) Lege eine Tabelle an und trage die Anzahlen
ein, auch die der insgesamt befragten Kinder.
b) Wie viele Kinder haben eine Ballsportart am
liebsten?
Fußball
Schwimmen
Reiten
Tennis
Inliner fahren
2
4
Anzahl
6
8
6
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2 Große Zahlen
2
Große Zahlen
Die natürlichen Zahlen stellen wir im Zehnersystem dar. Besonders
übersichtlich ist die Schreibweise in einer Stellenwerttafel.
Im Zehnersystem werden immer
1 Z = 10 E = 101 E
10 Zahlen einer Einheit zu einer
1 H = 10 Z = 10 · 10 E = 102 E
Zahl der nächstgrößeren Einheit
1 T = 10 H = 10 · 10 · 10 E = 103 E
gebündelt.
1 ZT = 10 T = …
B
ZM
M
HT
ZT
T
H
Z
1012
HMrd ZMrd Mrd HM
1011
1010
109
108
107
106
105
104
103
102
101
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
E
0
0
Eingetragen sind die Zahlen
111 000 111 000 (einhundertelf Milliarden einhundertelftausend) und
1 000 001 000 000 (eine Billion eine Million).
Beispiele
1. Schreibe die Zahl drei Milliarden einundfünfzig Millionen in Ziffern.
3 051 000 000
2. Wie viele Nullen hat die Zahl fünfhundert Milliarden?
Die Zahl 500 000 000 000 hat 11 Nullen.
Aufgaben
3. Schreibe die Zahl mit Ziffern.
a)
c)
b)
d)
135 Millionen
109
4 Milliarden 206 Millionen
7 Billionen 38 Tausend
Tipp
Merke dir: 1 Million = 1 Mio. = 106 = eine 1 mit 6 Nullen
1 Milliarde = 1 Mrd. = 109 = eine 1 mit 9 Nullen
1 Billion = 1 Bio. = 1012 = eine 1 mit 12 Nullen
4. Lies die Zahl.
b)
10 001 001 001
a)
c)
4 565 800 100
1 090 555 234 000 d)
999 999 999
5. Schreibe die Zahl mit Ziffern.
a)
b)
c)
d)
neunhundertfünftausenddreihundertvier
drei Millionen vierhundert
vierzig Milliarden elftausendachthundert
vier Billionen drei Milliarden fünf Millionen sechshunderttausend
7
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A Natürliche Zahlen
Auch große Zahlen kann man am Zahlenstrahl markieren, man muss
nur die entsprechende Größenordnung beachten.
0
100 000
0
Aufgaben
200 000
500 000
300 000
1 000 000
400 000
500 000
1 500 000
2 000 000
6. Welche Zahlen wurden durch Buchstaben auf dem Zahlenstrahl markiert?
a)
C
A
B
0
D
500 000
b)
C
0
1 000 000
A
500 000
B
1 000 000
D
1 500 000
2 000 000
7. Welche Zahl ist hier gemeint? Schreibe sie mit Ziffern und lies sie.
a)
b)
c)
d)
Die größte fünfstellige Zahl.
Die kleinste Zahl mit 9 Ziffern.
Die größte fünfstellige Zahl mit lauter verschiedenen Ziffern.
Der Nachfolger der gesuchten Zahl lautet 108.
8. Stelle die Zahlen an einem Zahlenstrahl dar.
a)
b)
3 500 000, 6 700 500, 1 000 000 und 900 000
61 000, 76 000, 100 000, 120 000 und 50 000
9. Ordne die Zahlen 750 000, 25 000 000, 5 500 000, 1 010 000 und 900 000
der Größe nach.
10. Schreibe in Ziffern und ordne der Größe nach: 106; einhundert Milliarden;
Null; 1010; eine Billion einhunderttausendeinhundert.
11. Wie heißen jeweils die Vorgänger und Nachfolger?
a)
106
b) 109
c)
1010
d)
1012
12. Addiere zur kleinsten sechsstelligen Zahl die größte siebenstellige Zahl.
▲
13. Subtrahiere von der größten sechsstelligen Zahl mit lauter verschiedenen
Ziffern die kleinste sechsstellige Zahl mit lauter verschiedenen Ziffern.
8
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3 Besondere natürliche Zahlen
3
Besondere natürliche Zahlen
Die Zahlen 0, 2, 4, 6, 8, 10, ... nennt man gerade Zahlen.
Die Zahlen 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... nennt man ungerade Zahlen.
Alle natürlichen Zahlen fasst man zur Menge N zusammen:
N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
In der Menge der natürlichen Zahlen hat jede Zahl einen Nachfolger
und einen Vorgänger, Ausnahme: Die Zahl 0 besitzt keinen Vorgänger.
Die Zahlen 0, 1, 4, 9, 16, 25, ... heißen Quadratzahlen.
Die Zahlen 0, 1, 8, 27, 64, 125, ... heißen Kubikzahlen.
1. Die Quadratzahl 100 ist eine gerade Zahl. Ihr Vorgänger heißt 99 und ihr
Nachfolger heißt 101.
2. Die Kubikzahl 27 ist ungerade. Es gilt: 26 < 27 < 28.
Beispiele
14. Zeichne einen Zahlenstrahl mit Marken für die Zahlen von 0 bis 20.
Aufgaben
Markiere die geraden und die ungeraden Zahlen in diesem Bereich mit zwei
verschiedenen Farben.
15. Wie viele gerade und wie viele ungerade Zahlen gibt es
a)
b)
im Bereich von 0 bis 100,
im Bereich von 0 bis 1000 ?
16. Welche Zahlen sollen hier dargestellt sein?
a)








 ...
________________________
b)

 

  . . .
________________________
17. Setze die fehlenden Zahlen ein.
a)
34 <
c)
36 < 49 <
<
< 40
< 81
b)
101 >
>
d)
400 >
> 324 > 289 >
> 95 >
18. Wie heißen die Quadratzahlen und wie die Kubikzahlen
a)
von 100,
b)
von 1000,
c)
von 1 000 000 ?
19. Das Quadrat einer ungeraden Zahl ist ungerade. Stimmt das?
9
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A Natürliche Zahlen
4
Potenzen
Für 3 · 3 · 3 · 3 schreibt man kürzer 34 und liest dann „3 hoch 4“.
Man nennt 34 eine Potenz mit der Grundzahl 3 und der Hochzahl 4.
Es ist: 34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81
Grundzahl
Hochzahl
34
Zusätzlich wird festgelegt: 31 = 3 und 30 = 1.
Potenz
Potenzrechnungen gehen vor Punktrechnungen.
Beispiele
Tipp
Aufgaben
1. 25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32
3. 131 = 13
5. 5 · 5 · 5 = 53 = 125
2. 82 = 8 · 8 = 64
4. 1000 = 10 · 10 · 10 = 103
6. 70 = 1
Eine Potenz gibt an, welche Zahl (= Grundzahl) wie oft (= Hochzahl) als Faktor
in einem reinen Produkt vorkommt.
20. Berechne die folgenden Potenzen im Kopf.
a)
e)
23
3351
b)
f)
26
35
c)
g)
43
371
b)
392
c)
153
d)
h)
112
80
21. Rechne schriftlich.
a)
352
d)
84
22. Die ersten Quadratzahlen lauten 12 = 1; 22 = 4; 32 = 9; …
a)
b)
c)
23. a)
b)
Setze die Aufzählung der Quadratzahlen bis 102 fort.
Berechne die Quadratzahlen von: 15, 20 und 1000. Beginne so: 152 = …
Schreibe als Quadratzahl: 49, 64, 900, 196. Beginne so: 49 = 7 · 7 = …
Schreibe die Kubikzahlen von 13 bis 103 auf.
Ordne der Größe nach: 102, 105, 1002 und 1003.
24. Es ist 5 · 42 = 5 · 16 = 80. Berechne entsprechend.
a)
4 · 32
b)
6 · 52
c)
33 · 2
d)
5 · 103
25. Es ist 3 · 4 · 3 · 4 · 3 · 3 = 3 · 3 · 3 · 3 · 4 · 4 = 34 · 42. Vereinfache ebenso.
a)
2·5·2·5·2
b)
3·7·8·7·3
c)
4·4·3·8·4·4·3·8
10
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5 Teiler und Vielfache
5
Teiler und Vielfache
Teilbarkeitsregeln: Eine Zahl ist genau dann
teilbar durch 10, wenn sie auf 0 endet;
teilbar durch 5, wenn sie auf 0 oder 5 endet;
teilbar durch 2, wenn sie auf 0, 2, 4, 6 oder 8 endet;
teilbar durch 4, wenn ihr zweistelliges Ende durch 4 teilbar ist;
teilbar durch 8, wenn ihr dreistelliges Ende durch 8 teilbar ist;
teilbar durch 3, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist;
teilbar durch 9, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
Beispiel
Durch welche der Zahlen 2, 3, 4, 5, 8, 9 und 10 ist 1140 teilbar?
Da 1140 auf 0 endet, ist 1140 durch 2, 5 und 10 teilbar.
Da 40 (zweistelliges Ende) durch 4 teilbar ist, ist 1140 auch durch 4 teilbar.
Da 140 (dreistelliges Ende) nicht durch 8 teilbar ist, ist 1140 nicht durch 8 teilbar.
Die Quersumme von 1140 ist 1 + 1 + 4 + 0 = 6. Die Quersumme 6 ist zwar durch
3, aber nicht durch 9 teilbar. Also ist 1140 durch 3 teilbar, aber nicht durch 9.
26. Prüfe, ob die folgenden Zahlen durch 2, 3, 4, 5, 8, 9 oder 10 teilbar sind.
a)
e)
1680
96
b)
f)
255
117
c)
g)
5 424
269
d)
h)
Aufgaben
6122
304 578
27. Prüfe, ob die folgenden Zahlen ein Vielfaches von 2, 3, 4, 5, 8 oder 9 sind.
a)
135
b)
5064
c)
8505
d)
654 387 912
d)
3 und 8.
28. Finde je eine dreistellige Zahl, die teilbar ist durch
a)
2 und 3
b)
3 und 4
c)
5 und 9
29. Woran erkennt man, ob eine Zahl durch 6 (durch 100) teilbar ist?
▲
30. Anna kauft an einem Kiosk eine Zeitschrift für 3 Euro sowie drei Päckchen
Kaugummi derselben Sorte. Der Verkäufer verlangt von ihr dafür 4,94 1.
„Das kann nicht stimmen“, sagt Anna daraufhin. Wie kommt sie darauf?
▲
31. Als Peter an der Tafel die Aufgabe „3827 : 4 = “ liest, sagt er sofort
„Da bleibt Rest 3 übrig.“ Wieso ist Peter hier so sicher? Begründe.
11
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A Natürliche Zahlen
32. Bestimme die gemeinsamen Teiler von
a) 6 und 12
b) 8 und 16
c) 10 und 15 d) 20 und 30
e) 12 und 30 f) 16 und 30
g) 20 und 36 h) 24 und 36
Tipp: Schreibe die Teiler der ersten Zahl hin und darunter übersichtlich die
Teiler der zweiten Zahl.
33. Bestimme die ersten drei gemeinsamen Vielfachen von
a) 4 und 6
b) 6 und 12
c) 10 und 15
Tipp: Verfahre ähnlich wie bei Aufgabe 32.
d)
20 und 30
34. Wenn eine Zahl durch 24 teilbar ist, dann ist sie auch durch 1, 2, 3, 4, 6, 8
und 12 teilbar. Wieso?
35. Eine bestimmte natürliche Zahl ist durch 40 teilbar.
a)
b)
c)
Durch welche Zahlen ist sie dann auch teilbar?
Nenne drei aufeinander folgende Zahlen, die durch 40 teilbar sind.
Unter diesen drei Zahlen ist mindestens eine auch durch 80 teilbar.
Wieso?
36. Bestimme den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von
a)
8 und 12
b)
24 und 36
c)
14 und 42
d)
15 und 32
d)
15 und 32
37. Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von
a)
8 und 12
b)
24 und 36
c)
14 und 42
38. Eva möchte ein Kartenspiel erfinden, das zwei, drei, vier oder sechs Spieler
spielen können. Dabei sollen stets alle Karten gleichmäßig an die Spieler
verteilt werden.
a) Wie viele Karten muss das Kartenspiel mindestens haben?
b) Wie viele Karten sind mindestens nötig, damit auch fünf Spieler das
Kartenspiel spielen können?
▲
39. Der kleine Felix hat sehr viele Holzbausteine, die jeweils 2 cm lang, 2 cm
breit und 3 cm hoch sind. Wie viele dieser Steine muss er mindestens
nehmen, wenn er daraus einen Würfel bauen will?
▲
40. Peters Schlange bekommt alle 8 Tage Futter. Alle 3 Tage erhält sie zudem
frisches Wasser. Am Montag gab es Futter und frisches Wasser für die
Schlange. An welchem Wochentag wird Peters Schlange das nächste Mal
zugleich Futter und frisches Wasser bekommen?
12
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6 Primzahlen
6
Primzahlen
Eine Zahl, die genau zwei Teiler hat, nennt man eine Primzahl.
Primzahlen sind nur durch 1 und sich selbst teilbar.
Die ersten Primzahlen lauten 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …
1. Die Primzahlen zwischen 20 und 40 lauten 23, 29, 31 und 37.
2. 82 ist außer durch 1 und durch 82 auch noch durch 2 und durch 41 teilbar.
Also ist 82 keine Primzahl, denn 82 hat mehr als zwei Teiler
3. 117 ist ebenso keine Primzahl, denn auch 117 hat mehr als zwei Teiler, z. B.
ist 117 außer durch 1 und durch 117 auch noch durch 3 teilbar.
4. 1 ist keine Primzahl, denn 1 hat nur einen einzigen Teiler, nämlich die 1.
Beispiele
41. Entscheide, ob die folgenden Zahlen Primzahlen sind.
Aufgaben
Gib für alle Zahlen, die keine Primzahlen sind, alle Teiler an.
a) 29
b) 47
c) 51
d) 53
e) 77
f)
119
f)
372
42. Begründe, dass die folgenden Zahlen keine Primzahlen sind.
a)
3285
b)
777
c)
8752
d)
0
e)
105
43. Zwei Primzahlen, deren Differenz 2 beträgt, heißen „Primzahlzwillinge“.
Nenne vier Primzahlzwillinge.
44. Zerlege in ein Produkt aus lauter Primzahlen (= Primfaktordarstellung).
a)
b)
12 = 2 · 2 ·
210 = 2 ·
·
·
45. Verfahre wie bei der vorherigen Aufgabe.
a)
40
b)
65
c)
78
d)
360
e)
59
f)
143
46. Entscheide, welche der Aussagen wahr und welche falsch sind.
Gib
a)
b)
c)
d)
▲
zu den falschen Aussagen je ein Gegenbeispiel an.
Primzahlen sind stets ungerade.
Die Summe aus zwei Primzahlen ist nie eine Primzahl.
Das Produkt aus zwei Primzahlen ist nie eine Primzahl.
Wenn eine Zahl durch 12 teilbar ist, dann ist sie auch durch 4 teilbar.
47. Welche Primzahlen zwischen 1 und 30 sind gemeint?
Vertausche die beiden Ziffern und es entsteht wieder eine Primzahl.
13
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A Natürliche Zahlen
7
Runden
Beim Runden gilt: Steht rechts von der Rundungsstelle
eine 0, 1, 2, 3 oder 4, so wird abgerundet;
steht dort eine 5, 6, 7, 8 oder 9, so wird aufgerundet.
Überlege immer zuerst, an welcher Stelle du nachschauen musst.
Beispiel 1 Runde 37 499 und 21 500 jeweils auf Tausender.
Um auf Tausender zu runden, musst du die Hunderterstelle überprüfen.
37 499 ≈ 37 000 (abgerundet, da an der Hunderterstelle eine 4 stand)
21 500 ≈ 22 000 (aufgerundet, da an der Hunderterstelle eine 5 stand)
Beispiel 2 Runde 3 446 278 und 3 877 jeweils auf Zehntausender.
3 446 278 ≈ 3 450 000 (aufgerundet, da an der Tausenderstelle eine 6 stand)
3 877 ≈ 0 (abgerundet, da an der Tausenderstelle eine 3 stand)
Aufgaben
48. a)
b)
c)
Runde auf Hunderter: 366; 51; 5 700; 32; 12 345; 3 408 702.
Runde auf Millionen: 4 567 981; 2 345 999; 687 932; 59 999.
Runde auf ganze Euro: 13,66 1; 47,49 1; 0,55 1; 999,99 1; 200,00 1.
49. Runde die Zahlen auf Hundertausender und trage sie auf einem Zahlenstrahl
ein: 3 467 137; 669 405; 1 089 800; 2 300 999; 1 555 555.
50. In einem Zeitungsartikel ist zu lesen: „Rund 10 000 Personen nahmen an der
Befragung teil.“ Wie viele Personen waren es mindestens und wie viele
höchstens, wenn hier auf Tausender gerundet wurde?
51. Runde die Berghöhen auf 100 m genau und fertige ein Diagramm an.
Brocken: 1142 m; Zugspitze: 2962 m; Feldberg: 1493 m; Säuling: 2047 m.
52. In einem Kaufhaus wurde eine Woche lang täglich gezählt, wie viele Leute
etwas gekauft haben. Runde die Ergebnisse auf Hunderter und zeichne ein
Bilddiagramm. Zeichne dabei für je 100 Käufer ein Männchen .
Wochentag
Mo
Di
Mi
Do
Fr
Sa
Käufer
743
679
1063
938
811
1297
Weshalb hat das Kaufhaus diese Zählung wohl durchgeführt?
14
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8 Die römische Zahlschreibweise
8
Die römische Zahlschreibweise
Die Römer benutzten kein Stellenwertsystem. Sie verwendeten stattdessen diese Zahlzeichen.
Zahlzeichen
I
V
X
L
C
D
M
Wert
1
5
10
50
100
500
1000
Für die römische Zahlschreibweise gelten folgende Regeln:
• Die Zeichen V, L und D dürfen in einer Zahl nur einmal vorkommen.
• Jedes der Zeichen I, X, C und M soll höchstens dreimal hintereinander vorkommen.
• Die Zeichen werden der Größe nach geordnet. Man beginnt mit dem
größten Zeichen und addiert die Werte. Es gibt jedoch Ausnahmen:
IV = 5 – 1 = 4;
IX = 10 – 1 = 9;
XL = 50 – 10 = 40;
XC = 100 – 10 = 90; CD = 500 – 100 = 400; CM = 1000 – 100 = 900.
1.
2.
3.
4.
5.
Beispiele
XXIII = 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 23
CXL = 100 + 40 = 140
CLXIV = 100 + 50 + 10 + 4 = 164
DCCXCIX = 500 + 100 + 100 + 90 + 9 = 799
MCMXCVIII = 1000 + 900 + 90 + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998
Aufgaben
53. Schreibe mit römischen Zahlzeichen.
a)
e)
17
256
b)
f)
25
439
c)
g)
43
2624
d)
h)
c)
g)
LXII
d)
MMMCCLV h)
88
2999
54. Übersetze in unsere Zahlschreibweise.
a)
e)
XIV
XCIX
b)
f)
XXXIX
CLXXXVII
XLIV
CMXLIX
55. In einer Kloster-Bibliothek findet Anna einige ganz alte Bücher.
In welchem Jahr und wo wurden sie gedruckt?
a) VENETIIS, MDCCLXI
b) FRIBURG BRISG., MDCCLXXIII
c) VIENNAE, MDCXXXIX
15
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A Natürliche Zahlen
9
Natürliche Zahlen im Zweiersystem
Im Zweiersystem (Dualsystem) können wir alle Zahlen durch die beiden
Ziffern 0 und 1 ausdrücken. Die letzte Ziffer einer Zahl steht für die
Einer. 2 Einer werden zu einem 2er zusammengefasst, 2 2er zu einem
4er usw. Immer, wenn man eine Stelle weiter nach links rückt, verdoppelt sich der Wert der Ziffer.
Zahlen aus dem Zweiersystem nennt man Dualzahlen oder auch
Binärzahlen. Um sie von Zahlen aus dem Zehnersystem zu unterscheiden, setzen wir sie in Klammern und benutzen eine kleine 2 als Index.
Stellenwerttafel des Zweiersystems
…
64er
1
32er
0
16er
0
8er
1
4er
0
2er
1
1er
1
(1001011)2 = 1 · 64 + 0 · 32 + 0 · 16 + 1 · 8 + 0 · 4 + 1 · 2 + 1 · 1
= 64 + 8 + 2 + 1 = 75
Die Dualzahl (1001011)2 ist gleich der Zahl 75 im Zehnersystem.
Beispiele
1. (1101)2 = 1 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 1 · 1 = 8 + 4 + 1 = 13
2. 13 = 8 + 4 + 1 = 1 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 1 · 1 = (1101)2
3. Der Nachfolger von (1001)2 heißt (1010)2, der Vorgänger (1000)2.
Aufgaben
56. Schreibe die Zahl im Zehnersystem.
a)
(1010)2
b)
(1111)2
c)
(10 100)2
d)
(1 100 110)2
57. Vervollständige die Tabelle.
Vorgänger
Dualzahl
(101)2
(1001)2
Nachfolger
(1101)2
(100)2
58. Schreibe im Zweiersystem.
a)
e)
7
63
b)
f)
11
64
c)
g)
25
100
d)
h)
49
111
59. Woran erkennt man an einer im Zweiersystem geschriebenen Zahl
a)
ob sie gerade oder ungerade ist, b)
ob sie durch 4 teilbar ist?
16
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10 Wahr oder falsch? Wo steckt der Fehler?
10 Wahr oder falsch? Wo steckt der Fehler?
60. a)
b)
c)
d)
Jede Quadratzahl ist durch 2 teilbar.
Jede Zahl, die durch 20 teilbar ist, ist auch durch 10 teilbar.
Jede Zahl, die durch 10 teilbar ist, ist auch durch 20 teilbar.
Wenn eine Zahl durch 100 teilbar ist, dann ist sie auch durch 2, 4, 5,
8, 10, 20, 25 und 50 teilbar.
61. Isabell hat die Zahlenfolgen durch die jeweils fett gedruckte Zahl fortgesetzt.
a) 1; 3; 5; 7; 9
c) 100; 90; 80; 70; 60
e) 22; 33; 44; 55; 77
b)
d)
1; 4; 9; 16; 20
1000; 990; 970; 940; 910
62. Hannes rundet 145 so: 145 ≈ 150 und 150 ≈ 200.
63. Hier hat einer versucht, Jahreszahlen mit römischen Ziffern zu schreiben.
a)
c)
e)
1061 = MLXI
1088 = MLXXXVIII
2001 = MMI
b)
d)
1074 = MLXXIIII
1099 = MLXXXXIX
64. Johannes behauptet: „Bei der Aufgabe 3999 : 5 bleibt der Rest 4.“
65. Eine Aufgabe lautet 587 + 649 + 179 =
.
Veronika macht folgenden Überschlag: 600 + 700 + 200 = 1500.
66. Frank hat für die Aufgabe „2 · 30²“ das Ergebnis 3600 gefunden.
67. Anna kauft an einem Kiosk eine Zeitschrift für 5 Euro sowie drei Päckchen
Kaugummi einer bestimmten Sorte. Sie soll 6,94 Euro bezahlen. „Das kann
nicht stimmen“, sagt Anna daraufhin.
Wie kommt sie darauf?
17
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13.07.2006 09:42:45
B Rechnen mit natürlichen Zahlen
1
Addieren und Subtrahieren
Begriffe, die du kennen solltest:
Summand + Summand
Minuend – Subtrahend
246 + 753
= 999
357 – 246
= 111
Summe
Wert der
Differenz
Wert der
Summe
Differenz
Schriftliche Rechenverfahren
Denke an die Stellenwerttafel des Zehnersystems. Schreibe also Einer
unter Einer, Zehner unter Zehner, Hunderter unter Hunderter usw.
ZT T H Z
3 4 5 3
+ 1 3 1 8
+
5 8
1
2
1
E
3
0
9
4 8 3 0 2
3 4
– 1 0
–
–
8
1
1
5
2
5
4
2
1
0
4
8
1
3
2
1
3
1 5 2 8 7
Aufgaben
Sprich: „neun plus null plus drei gleich zwölf.“
Schreibe die Ziffer 2 in die Einerstelle der Antwort
und den Übertrag 1 in die nächste Spalte links.
Sprich: „neun (8+1) plus acht plus drei gleich zwanzig.“ Schreibe die Ziffer 0 in die Zehnerstelle und
den Übertrag 2 in die nächste Spalte links usw.
Sprich: „drei plus eins plus zwei gleich sechs,
plus sieben gleich dreizehn.“
Schreibe die Ziffer 7 in die Einerstelle der Antwort
und den Übertrag 1 in die nächste Spalte links.
Sprich: „neun (8+1) plus vier plus null gleich dreizehn, plus acht gleich einundzwanzig.“
Schreibe die Ziffer 8 in die Zehnerstelle und den
Übertrag 2 in die nächste Spalte links. usw.
1. Rechne im Kopf.
a)
100 000 + 1000 + 1 =
b)
1 000 000 + 1000 + 10 =
c)
100 000 – 10 000 – 1000 =
d)
1 000 000 – 100 000 – 1000 =
18
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13.07.2006 09:48:42
1 Addieren und Subtrahieren
2. Rechne im Kopf.
a)
c)
e)
g)
100 + 200 + 300 + 400
1000 – 100 – 200 – 100
60 + 35 + 25 + 30
3 + 7 + 11 + 9
b)
d)
f)
h)
200 + 400 + 600 + 800
1000 – 900 – 90 – 9
225 – 175 – 25 – 24
100 – 10 – 30 – 50
3. Kannst du auch dies im Kopf rechnen?
a)
c)
1 + 10 + 100 + 1000
b) 1000 – 100 – 10 – 1
10 000 + 20 000 + 50 000 + 30 000 + 70 000 + 20 000
4. Bestimme einen Näherungswert durch eine Überschlagsrechnung.
a) 517 + 382 + 97
b)
c) 3204 + 2987 + 987
d)
e) 10 321 + 25 019 + 48 765
f)
Tipp zu a): Rechne so: 500 + 400 + 100 =
687 – 293 – 112
4896 – 3109 – 1978
100 000 – 89 765 – 1067
...
5. Rechne schriftlich.
a)
2 4 6 8 1 3 5
9 8 7 6 7 8
+
d)
3
5
1
9
+
+
+
4
6
0
9
5
7
1
8
4
8
0
8
3
7
1
7
2
6
1
7
b)
–
e)
–
–
–
1 0 0 0 0 0 0 0
8 4 3 5 6 1
1 0 0 0
8 7 6
9 9
8
0
5
7
0
0
4
7
8
0
3
5
0
c)
–
f)
7 4 1 2 3 5 6
8 9 1 4 7
2 2 2
– 1 0 0
–
9 0
–
1
0
1
8
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6. Schreibe untereinander und addiere bzw. subtrahiere.
a)
b)
c)
d)
4 356 798 + 33 444 + 287 365 + 1 722 849
52 300 000 + 4 850 000 + 88 500 + 9 200 600
77 100 000 – 3 270 000 – 89 700 – 9 890 000
88 234 513 – 5 577 810 – 98 900 – 7 605 065
7. Rechne aus. Prüfe dein Ergebnis durch eine Überschlagsrechnung.
a) 77 867 + 88 120 + 101 306 + 6780 – 80 150
b) 999 888 – 777 010 – 101 104 + 3683 + 587
c) 1 307 850 + 2 460 780 – 1 101 202 – 876 500
Tipp: Bilde zunächst eine Zwischensumme aus den Summanden. Schreibe
dann die Subtraktion auf.
19
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13.07.2006 09:48:42
B Rechnen mit natürlichen Zahlen
8. Setze das richtige Zeichen ein.
a)
100 + 250
400 – 160
b)
200 – 150
300 – 270
c)
1000 + 300
2000 – 700 d)
500 + 700
1000 – 70
e)
4000 – 2500
2600 – 500 f)
3600 + 450
4020
9. Wie viel fehlt an einer Million?
a)
d)
g)
b)
e)
h)
999 999
100 000
1000
c)
f)
i)
999 000
99 000
100
900 000
90 000
10
10. Alexander jobbt 6 Tage lang und erhält Montag 32,60 1, Dienstag 28,70 1,
Mittwoch 43,20 1, Donnerstag 22,90 1, Freitag 44,40 1 und Sonnabend
18,00 1. Wie viel Euro hat er in dieser Woche verdient?
11. Alexa macht Kassensturz. Sie verdient monatlich netto 1650 Euro und noch
320 Euro durch einen Nebenjob.
Ihre monatliche Miete beträgt 480 Euro, für Strom, Gas und Wasser bezahlt
sie im Durchschnitt monatlich 260 Euro und für Gebühren und Versicherungen 340 Euro. Für Essen und Trinken kalkuliert sie 600 Euro pro Monat.
Wie viel Euro bleiben übrig?
▲
12. In der Zeitung ist ein Bild mit 6 älteren Damen. Darunter steht:
„3 mal Zwillinge und zusammen 510 Jahre alt.“ Die Geschwister Schneider
sind jeweils 80 Jahre alt, die beiden Schwestern Matra jeweils 85 Jahre.
Wie alt ist Luise Mairhofer?
▲
13. Wie heißen die fehlenden Ziffern?
a)
3 4 5 8 7 6 0
b)
+
+
+
+
c)
–
4 3 4 8 8 6 0
d)
2 0 5 6 8 9
3
2
4
1
4
8
0
0
0 5 6 0
0 6 3
8 5
1
1
2 6
1 1 3 1 0 5 0
1 1 9 0 5
e)
1 0 0 0 0 0 0
–
9 0 0 0 0 0
–
9 0 0
–
0 0
7 9 8 0
3 6 5 0 8 6 0
+ 2 7 4
0
1 8 1
f)
8 8 8 7 7 7
–
– 6 6 6 5 5 5
–
1 1 1 1 1
8 7 6 5 5
20
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13.07.2006 09:48:43
2 Multiplizieren und Dividieren
2
Multiplizieren und Dividieren
Begriffe, die du kennen solltest:
Faktor · Faktor
Dividend : Divisor
120 · 30
= 3600
4800000 : 1200 = 4000
Produkt
Wert des
Quotient
Wert des
Produkts
Quotienten
Schriftliche Rechenverfahren
3 4 9 1 · 8 4 2 Man fasst den zweiten Faktor als Multiplikator auf
und berechnet Teilprodukte.
2 7 9 2 8
Du beginnst mit der höchsten Stelle des
1 3 9 6 4
6 9 8 2 Multiplikators, im Beispiel links multiplizierst du
1 1 2 1
also mit 8 Hundertern.
2 9 3 9 4 2 2 Beim nächsten Teilprodukt rückst du eine Stelle
nach rechts und multiplizierst mit 4 Zehnern,
danach dann noch mit 2 Einern.
Als letztes addierst du die (drei) Teilprodukte.
Überschlag: 3000 · 1000 = 3 000 000
10
6
3
3
24 : 64=16
4
84
84
0
Du zerlegst den Dividenden zunächst von vorn
in eine Zifferngruppe, die bei der Division eine
1 oder eine größere Zahl ergibt. Im Beispiel: 102
dividiert durch 64 gleich 1, Rest 38 (Zehner).
Danach addierst du zum Divisionsrest (38 Zehner)
den Wert der nächsten Stelle (4) und erhältst 384
(Einer) und setzt die Division fort: 384 : 64 = 6.
Überschlag:
1020 : 60 = 102 : 6 = 17
Mögliche Kontrolle:
Die Gegenoperation durchführen.
16 · 64
96
64
1024
Aufgaben
14. Rechne im Kopf.
a)
d)
15. a)
d)
100 · 100
200 · 100
b)
e)
1000 · 1000
3000 · 1000
c)
f)
1000 · 100
50 000 · 100
23 · 100
444 · 1 000 000
b)
e)
340 · 1000
301 · 2000
c)
f)
8900 · 1000
1010 · 3000
21
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13.07.2006 09:48:43
B Rechnen mit natürlichen Zahlen
16. a)
d)
360 : 10
360 : 30
b)
e)
36000 : 100
360 000 : 60
c)
f)
36 000 000 : 1000
36 000 000 : 120
17. Bestimme einen Näherungswert durch eine Überschlagsrechnung.
a)
d)
5 · 24 · 32
39 672 : 4006
b)
e)
18 · 22 · 51
4 000 765 : 2012
c)
f)
108 · 9898
98 000 000 : 107
18. Rechne schriftlich. Führe eine geeignete Kontrolle durch.
a) 3 4 6 5 · 7 6 1 2
2 4 2 5 5
0
5
0
b) 2 1 4 5 0 · 9 6 1
c) 4 3 2 0 9 · 4 8 7 2
Tipp zur Kontrolle für a): Durch Überschlag: 3000 · 8000 = 24 000 000;
mithilfe von Teilbarkeitsregeln: Der erste Faktor (3465) ist durch 9 teilbar
(Quersumme 18). Das Produkt muss also auch durch 9 teilbar sein.
19. a)
1 401 712 : 92
b) 5 248 871 : 191
c) 214 840 : 22
Tipp: Die letzte Aufgabe geht nicht auf. Schreibe auch den Rest hin. Bei
einer Kontrolle mithilfe der Gegenoperation musst du zum Produkt den
Rest addieren. Hilfe findest du auch im Lösungsteil.
20. Die Klasse 5e (31 Kinder) spart für einen Schullandheimaufenthalt.
Dreimal schon hat jedes Kind 3 1 eingezahlt. Wie viele Euro sind in der
Klassenkasse?
21. Frau Fanning hat für Ihren zweiwöchigen Urlaub 1260 1 zur Verfügung.
Das Hotel kostet 504 1, für die An- und Abreise rechnet sie mit 280 Euro.
a) Wie viel kostet eine Übernachtung?
b) Wie viele Euro kann sie jeden Tag ausgeben. Rechne auf einen Euro
genau.
▲ 22. Eine unbekannte Zahl wird durch 97 dividiert. Das Ergebnis lautet
a) 36 852,
b) 896 451.
Wie heißt die Zahl?
22
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3 Rechenregeln
3
Rechenregeln
(1) Was in Klammern steht, das muss man zuerst berechnen.
(2) Punktrechnungen (· und :) gehen vor Strichrechnungen (+ und –).
(3) In allen anderen Fällen rechnet man von links nach rechts.
60 – (3 · 7 + 6) · 2
= 60 – (21 + 6) · 2
= 60 – 27 · 2
= 60 – 54 = 6
In der Klammer: Punktrechnung vor Strichrechnung,
dann die Klammer berechnen,
dann Punktrechnung vor Strichrechnung.
Zum Schluss die Differenz berechnen.
Beispiel 1
[40 : (8 – 3) + 4] · 5
= [40 : 5 + 4] · 5
= [8 + 4] · 5
= 12 · 5 = 60
Zuerst die innere Klammer berechnen,
dann in der Klammer: Punkt- vor Strichrechnung.
Die äußere Klammer berechnen.
Zum Schluss das Produkt berechnen.
Beispiel 2
So heißen die Ergebnisse: Summe (+), Differenz (–), Produkt (·), Quotient (:)
Tipp
23. Rechne im Kopf und schreibe nur das Ergebnis auf.
Aufgaben
a)
d)
(32 – 25) · 8
16 + 48 : 12
b)
e)
9 · (7 + 5)
43 – 5 · 7
c)
f)
(6 + 5) · (27 – 12)
13 · 5 – 4 · 9
24. Rechne schrittweise, so wie in den Beispielen oben.
a)
d)
100 – (20 · 3 + 30) b)
94 – (13 · 4 + 14) e)
(20 + 10 · 4) : 6
(18 + 6 · 7) : 5 – 7
c)
f)
[(30 – 4 · 5) : 2] · 5
[(7 + 7 · 4) : 5] · 16
25. Rechne die ersten drei Aufgaben im Kopf, die anderen schriftlich.
a)
d)
40 · 20 + 200
35 · 25 – 567
b)
e)
1000 – (800 – 100) c)
845 – (735 – 598) f)
(50 · 20 – 500) : 5
(23 · 18 – 262) : 4
26. Wie lautet die fehlende Zahl? Bilde eine Umkehraufgabe und rechne.
a)
37 +
d)
= 113
· 17 = 221
b)
– 84 = 29
c)
224 :
e)
: 12 = 23
f)
946 –
▲ 27. Setze Klammern so, dass die Rechnung richtig wird.
a) 5 · 5 – 4 · 3 = 15
b) 7 + 3 · 4 – 2 = 13 c)
= 28
= 457
250 – 5 · 30 · 2 =200
23
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