· b =0=⇒ (a = 0 oder b = 0).

Übungsblatt 5 zur Linearen Algebra I im Herbstsemester 07
Ausgabe: Montag, 22.10., 11.00 Uhr Y15G19
Abgabe: Montag, 29.10, 11.00 Uhr Y15G19
Link zur Vorlesung: http://www.math.unizh.ch/hs07/2809
Aufgabe 1 [Multiplikation auf Z] Zeige, dass es genau eine Multiplikation · : Z × Z −→ Z
gibt, welche die Multiplikation auf N ⊂ Z fortsetzt, und für die folgendes gilt:
1. (Z, ·) ist eine kommutative Halbgruppe.
2. Für alle a, b, c ∈ Z gilt: a · (b + c) = (a · b) + (a · c) (Distributivität)
3. Für alle a ∈ Z gilt 1 · a = a.
4. Für alle a, b ∈ Z gilt: a · b = 0 =⇒ (a = 0 oder b = 0).
Aufgabe 2
Sei (R, +, ·) ein kommutativer Ring mit Eins.
1. Sei M eine Menge. Sei c : R −→ Abb(M, R) die Abbildung, welche einem Element
r ∈ R die konstante Abbildung
c(r) : M −→ R, m 7→ r
zuordnet. Zeige, dass die Ringstruktur (+, ·) auf R eine Ringstruktur auf Abb(M, R)
induziert, so dass die Abbildung c ein Homomorphismus von Ringen ist.
2. Sei n ∈ N. Beweise, dass in R die binomische Formel gilt:
n X
n k n−k
n
a b
.
∀a, b ∈ R : (a + b) =
k
k=0
Aufgabe 3 Sei n ∈ N, und seien a1 , . . . , an ∈ Z ganze Zahlen. Beschreibe die Untergruppe
ha1 , . . . , an i als Menge. Gib also eine konkrete Beschreibung aller Elemente von ha1 , . . . , an i
an. Formuliere die Antwort als Behauptung und beweise diese.
Aufgabe 4 [Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung] Es seien r, s ∈ N\{0} positive
natürliche Zahlen, und es seien p1 < . . . < pr , q1 < . . . < qs Primzahlen, sowie m1 , . . . , mr , n1 , . . . , ns ∈
N\{0}. Beweise, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
n1
mr
ns
1
1. pm
1 · . . . · pr = q 1 · . . . · q s .
2. r = s und für alle 1 ≤ i ≤ r gilt: pi = qi und mi = ni .
Hinweis: Induktion über n := m1 + . . . + mr .