Serie 8 - TU Ilmenau

Institut für Mathematik
Dr. rer. nat. habil. H. Winkler (Curiebau C 231),
Dipl.-Math. M. Vielitz, M.Sc. M. Kellner
WS 2012/13
Analysis I
8. Serie
Bestimme alle reellen Zahlen x, für die gilt:
x+3 1
>3;
|1 + x| < 1−x
;
b) 2x−5
Aufgabe* 43
a)
c)
x2 − |x + 2| ≥ 4 ;
Aufgabe* 44
d)
|x + 1| − |x + 3| < 1 .
Betrachte die folgenden Abbildungen:
k · k1 : Rn → R, (x1 , ..., xn ) 7→
n
X
i=1
|xi |,
k · k∞ : Rn → R, (x1 , ..., xn ) 7→ max{|x1 |, ..., |xn |}.
(
k(x1 , x2 )k∞ , x2 > 0
k · kn : R2 → R, (x1 , x2 ) 7→
k(x1 , x2 )k1 , x2 ≤ 0.
(a) Zeige, dass k · k1 und k · k∞ Normen sind.
(b) Ist k · kn ebenfalls eine Norm?
(c) Skizziere die Einheitskreise S(0; 1) bezüglich der „Normen“ k · k1 , k · k2 , k · kn und
k · k∞ im Falle n = 2.
(d) Die Zahl π wird aus dem Quotienten des Umfanges des Kreises U und des Durchmessers des Kreises d := sup {||x − y||} bestimmt: π = U/d. Berechne die Zahl
x,y∈S(0;1)
π für die Kreise in den normierten Räumen (R2 , || · ||1 ) und (R2 , || · ||∞ ).
(e) Zeige weiterhin für beliebiges n ∈ N
∀ x ∈ Rn : kxk∞ ≤ kxk2 ≤ kxk1 .
Anmerkung: In einem normierten Raum V mit Norm k · k ist der Einheitskreis S(0; 1) die Menge { v ∈ V | kvk = 1 }.
Aufgabe* 45
Konstruiere im R2
(a) unter Benutzung der Betragssummennorm eine Ellipse mit den Elementen F1 :=
(−3, 0), F2 := (3, 0), a := 5. Zur Erinnerung: eine Ellipse ist der geometrische Ort
aller Punkte x ∈ R2 , für die die Summe der Abstände von zwei festen Punkten F1
und F2 (den Fixpunkten) konstant (= 2a) ist. In Form der Mengenschreibweise:
Ellipse := {x ∈ R2 | ||x − F1 || + ||x − F2 || = 2a},
1
(b) unter Benutzung der Maximummetrik die Mittelsenkrechten zu den Punktpaaren
(0, 0), (1, 0); (0, 0), (1, 1) und (0, 0), (1, 21 ). Zur Erinnerung: die Mittelsenkrechte zweier Punkte a, b ∈ R2 ist der geometrische Ort aller Punkte x ∈ R2 für welche die
Abstände zu a und b gleich sind. In Form der Mengenschreibweise:
Mittelsenkrechte := {x ∈ R2 | ||x − a|| = ||x − b||},
Aufgabe 46 Wir statten den n-dimensionalen Vektorraum Rn , n ∈ N mit der euklidischen Norm || · ||2 aus. Zeige, dass für alle x, y ∈ Rn die Parallelogrammgleichung
2(||x||22 + ||y||22 ) = ||x + y||22 + ||x − y||22
erfüllt ist.
Aufgabe 47
√
√
Wir betrachten Q( 2) := {a + b 2 | a, b ∈ Q} als Teilmenge der reellen Zahlen und
können so Addition und Multiplikation auf diese Menge in bekannter Weise erklären.
√ Eine
weitere Möglichkeit die Addition und Multiplikation zu erklären, besteht darin Q( 2) als
Teilmenge von Q × Q aufzufassen und dort die folgenden Operationen einzuführen:
⊕ : Q2 × Q2 → Q2 ,
(p, q), (u, v) 7→ (p + u, q + v),
⊙ : Q2 × Q2 → Q2 ,
(p, q), (u, v) 7→ (pu + 2qv, pv + qu).
(a) Zeige, dass die
√ beiden Definitionen äquivalent sind, d.h. dass ein Isomorphismus
zwischen (Q( 2), +, ·) und (Q2 , ⊕, ⊙) existiert.
√
(b) Zeige weiterhin, dass Q( 2) ein Körper ist.
(c) Vergleiche die Definitionen der Addition ⊕ und der Multiplikation ⊙ mit der Addition und Multiplikation auf C (vgl. Aufgabe 35, Serie 6)
Aufgabe 48 Wir definieren die Potenzen mit rationalen Exponenten, indem wir für
a ∈ R+ und r := pq mit p, q ∈ N
√
q
1
ar
setzen. Weiterhin gilt bekanntermaßen a0 = 1 und 0r = 0 für r > 0. Beweise die folgenden
Potenzregeln für a, b ∈ R+ und r, s ∈ Q.
ar :=
ap
und
a−r :=
(a)
ar as = ar+s ;
(b)
ar
as
(c)
(ar )s = ars ;
(d)
ar br = (ab)r ;
(e)
ar
br
(f)
a < b ⇔ ar < br , falls r > 0 ;
(g)
a < b ⇔ ar > br , falls r < 0 ;
(h)
ar < as ⇔ a > 1, falls r < s ;
(i)
ar > as ⇔ a < 1, falls r < s .
=
a r
b
= ar−s ;
;
Die mit * markierten Aufgaben sind als Hausaufgaben zu bearbeiten und vor der nächsten
Übung am 26.11.12 abzugeben. Die restlichen Aufgaben sind so vorzubereiten, dass diese
an der Tafel vorgestellt werden können.
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