Mathematik I für Maschinenwesen und

Rechnen mit komplexen Zahlen
z1 = x1 + iy1 ,
Gleichheit
Addition
z1 = z2
⇔
z2 = x2 + iy2 .
x1 = x2 und y1 = y2
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 )
Multiplikation
z1 · z2 = x1 x2 − y1 y2 + i(x1 y2 + x2 y1 )
konj. komplex
z̄ = x − iy
Division
z1 z1 z̄2
z1 z̄2
=
=
z2 z2 z̄2 |z2 |2
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Mathematik I
Der Körper der komplexen Zahlen
Die komplexen Zahlen C bilden einen Körper, denn es gelten
die Axiome
A1 : Die Addition ist kommutativ: z1 + z2 = z2 + z1 .
A2 : Die Addition ist assoziativ: z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3 .
A3 : Für alle a, b ∈ C besitzt die Gleichung a + x = b genau eine
Lösung x ∈ C , [% Subtraktion].
M1 : Die Multiplikation ist kommutativ: z1 · z2 = z2 · z1 .
M2 : Die Multiplikation ist assoziativ: z1 · (z2 · z3 ) = (z1 · z2 ) · z3 .
M3 : Für alle a, b ∈ C, a 6= 0 + i0 besitzt die Gleichung a · x = b
genau eine Lösung x ∈ C, [% Division].
D1 : Addition und Multiplikation sind distributiv:
z1 · (z2 + z3 ) = z1 · z2 + z1 · z3 .
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Mathematik I