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Die komplexen Zahlen als Korper aus
Drehstreckmatrizen
Kristof L. Beck
27.04.2009
In der Vorlesung wurden die komplexen Zahlen als 2-Tupel aus reellen Zahlen mit
der ublichen Vektoraddition und einer speziellen Multiplikation eingefuhrt.
Beim Zusammenhang von komplexer und reeller Dierentiation trat dann an die
Stelle der komplexen Zahl f 0 (z0 ) als Ableitung in einem Punkt die reelle JacobiMatrix, die (fur holomorphe Funktionen) die Gestalt einer Drehstreckmatrix hat.
Dies wirkt weniger uberraschend, wenn man die folgende Moglichkeit, die komplexen Zahlen einzufuhren, kennt:
Wir betrachten die Menge
C :=
a b
b a
a; b 2 R
R22
mit der ublichen Addition und Multiplikation von Matrizen.
Zunachst uberlegt man sich, dass C ein Korper ist. Dabei sieht man schnell ein,
dass die additiven Eigenschaften
ˆ Assoziativit
at
ˆ Kommutativit
at
ˆ Existenz der Null: 0 =
0 0
0 0
ˆ Existenz des Inversen:
2C
a b
b a
=
1
a b
b a
2C
direkt aus Eigenschaften der Matrixaddition folgen. Auerdem ist C abgeschlossen
bezuglich der Addition, das heit, die Summe zweier Drehstreckmatrizen ist wieder
eine Drehstreckmatrix. Auch die Matrixmultiplikation ist assoziativ, jedoch im
Allgemeinen nicht kommutativ. Hier gilt jedoch:
a b c d = ac bd (ad + bc) = c d a b
b a
d c
ad + bc ac bd
d c
b a
Hieraus folgt auch, dass C bezuglich der Matrixmultiplikation abgeschlossen ist.
Das multiplikativ-neutrale Element ist die Einheitsmatrix. Man sieht sofort, dass
sie in C liegt. Eine einfache Methode, die Inverse einer (invertierbaren) 2 2-Matrix
zu bestimmen (die man sich auch unabhangig von der Funktionentheorie merken
sollte), ist
1
1
d
b
a
b
1
A = c d
=
c a
det A
Fur A 2 Cnf0g ist also
a b
b a
1
1
a b 2 C:
A =
= 2 2
b a
a +b
Eine nicht viel schwerere, aber muhsamere Rechnung zeigt auch die Gultigkeit des
Distributivgesetzes.
Nun betrachten wir die Abbildung
1
' : C ! C ; z = x + iy 7!
x y
y x
Die Bijektivitat von ' ist oensichtlich. Des Weiteren ist fur z = x + iy , w =
a + ib 2 C
'(z ) + '(w) =
=
=
=
'(z ) '(w) =
=
=
=
=
x y + a b
y x
b a
x + a (y + b)
y+b x+a
'((x + iy) + (a + ib))
'(z + w); x y a b
y x
b a
xa yb (xb + ya)
xb + ya ax by
'((xa yb) + i(xb + ya))
'((x + iy)(a + ib))
'(zw);
2
das heit, Addition und Multiplikation vor oder nach Raumwechsel entsprechen
einander. ' ist ein Korperisomorphismus.
Die Darstellung der Basis f1; ig von C uber R ist
1 '(1) =
1 0
0 1
; i '(i) =
0
1
1
0
:
Dies ist eine R-Basis von C und die reellen Zahlen lassen sich einbetten in der Form
'(x + i 0) = x'(1) =
x 0
0 x
:
Die komplex konjugierte Zahl von z = x + iy stellt sich dar als
'(z ) =
x y
y x
= '(z )T :
Damit erhalt man
x y
y x
jzj
= z z jzj2
= det('(z )) 2 R:
2
x y
y x
=
x2 + y2
0
0
x2 + y2
x2 + y2 2 R
Kehrt man nun zuruck zur Motivation des hier gezeigten, dem Vergleich von komplexer und reeller Dierenzierbarkeit, so sieht man, dass gilt:
f = (u; v) ist in p
komplex dierenzierbar.
,
(u; v ) ist in p reell total dierenzierbar und
die Funktionalmatrix entspricht einer C -Zahl.
Der Beweis des entsprechenden Satzes in der Vorlesung zeigt, dass fur f dierenzierbar in z mit f 0 (z ) = a + ib gilt
'(f 0 (z )) =
3
a b
b a
: