Algebra Wintersemester 2011/2012 Serie 6 Prof. P. Habegger Die

Algebra
Serie 6
Wintersemester 2011/2012
Prof. P. Habegger
Die mit † versehenen Aufgaben werden im Rahmen des e-learning Projekts durch
Jakob Hüwer gelöst. Die Aufzeichnung wird auf Dropbox zugänglich gemacht.
Aufgabe 1 (2 Punkte). Ist das Ideal I = (X, Y ) im Polynomring C[X, Y ] ein
Hauptideal?
Aufgabe 2† (4 + 4 + 2 Punkte). Sei R ein Ring und I, J ⊂ R Ideale.
(i) Zeigen Sie, dass
I ∩J
und I + J = {a + b; a ∈ I und b ∈ J}.
Ideale von R sind.
(ii) Sei I = 6Z und J = 9Z. Bestimmen Sie ganze Zahlen n und m mit
I ∩ J = nZ und I + J = mZ.
(iii) Ist die Teilmenge I ∪ J stets ein Ideal von R?
√
Aufgabe 3 (4 Punkte). Sei ρ = ( −3 + 1)/2 ∈ C. Zeigen Sie, dass
Bild(fρ ) = {a + bρ; a, b ∈ Z}
wobei fρ : Z[X] → C durch fρ (P ) = P (ρ) definiert ist.
Aufgabe 4† (2 + 2 + 2 + 0 Punkte). In dieser Aufgabe spielen “Ringe”
eine Rolle, die weder kommutativ sind, noch eine Eins besitzen. Wir betrachten
Tupel (R, 0, +, ·) bestehend aus einer Menge R, einem Elemente 0 ∈ R und zwei
Verknüpfungen + : R × R → R (genannt Addition) und · : R × R → R (genannt
Multiplikation) mit den folgenden Eigenschaften.
(1) Das Tripel (R, 0, +) ist eine abelsche Gruppe.
(2) Die Multiplikation ist assoziativ, d.h. für a, b, c ∈ R gilt a·(b·c) = (a·b)·c.
(3) Addition und Multiplikation sind kompatibel: es gilt das Distributivgesetz:
a · (b + c) = (a · b) + (a · c) und (b + c) · a = (b · a) + (c · a)
für alle a, b, c ∈ R.
Wir sagen, dass (R, 0, +, ·) eine Eins enthält, falls es 1 ∈ R gibt mit 1·a = a·1 = a
für alle a ∈ R.
(i) Finden Sie ein Beispiel, welches keine Eins enthält, und bei welchem die
Multiplikation nicht kommutativ ist.
2
(ii) Finden Sie ein Beispiel, welches eine Eins enthält, und bei welchem die
Multiplikation nicht kommutativ ist.
(iii) Finden Sie ein Beispiel, welches keine Eins enthält, und bei welchem die
Multiplikation kommutativ ist.
(iv) Freiwillig: Sei (R, 0, +, ·) ein Tupel, welches Eigenschaften 1-3 oben erfüllt,
mit der Ausnahmen, dass die Kommutativität der Addition nicht verlangt
wird. Nehmen Sie auch an, dass es 1 ∈ R gibt, mit 1 · a = a für alle a ∈ R.
Zeigen Sie, dass (R, 0, +) dennoch kommutativ ist.
Termin: Freitag 2. Dezember, 2011 um 12 Uhr.