Musterlösung - AC3 Übung Gruppentheorie.cdx

Gruppentheorie - Musterlösung
s.S. 1.18
1) Bei welchen Beispielen handelt es sich um Gruppen?
a) ganze Zahlen, Addition
Gruppe
A1
erfüllt
die Rechenvorschrift führt nie aus der Menge der ganzen Zahlen
heraus
A2
erfüllt
für die Addition gilt das Assoziativgesetz
A3
erfüllt
das Neutralelement ist die Zahl 0
A4
erfüllt
das inverse Element ist die entsprechende negative Zahl
keine Gruppe
b) Natürlich Zahlen ohne Null, Multiplikation
A1
erfüllt
die Rechenvorschrift führt nie aus der Menge der natürlichen
Zahlen heraus
A2
erfüllt
für die Multiplikation gilt das Assoziativgesetz
A3
erfüllt
das Neutralelement ist die Zahl 1
A4
nicht erfüllt
keine Gruppe
c) {-1, 0 1}, Addition
A1
es existiert kein inverses Element !
nicht erfüllt
d) ganze Zahlen, Subtraktion
Menge ist nicht abgeschlossen
keine Gruppe
die Rechenvorschrift führt nie aus der Menge der ganzen Zahlen
heraus
A1
erfüllt
A2
nicht erfüllt
e) {1, -1}, Multiplikation
1+1 = 2
das Assoziativgesetz gilt für die Subtraktion nicht
Gruppe
A1
erfüllt
die Rechenvorschrift führt nie aus der Menge {1, -1} heraus
A2
erfüllt
es gilt das Assoziativgesetz
A3
erfüllt
das Neutralelement ist das Element 1
(s. Gruppenmultiplikationstabelle)
A4
erfüllt
das Element -1 ist das inverse Element
(s. Gruppenmultiplikationstabelle)
1
-1
1
1
-1
-1
-1
1
2) Gegeben: M = {e,a,b}
Es gibt nur eine Möglichkeit eine Gruppenmultiplikation zu definieren.
Gruppenmultiplikationstabelle
e
a
b
e
e
a
b
a
a
b
e
b
b
e
a
Es gelten alle Gruppenaxiome (abgeschlossen, assoziativ, neutralelement (e), inverses
Element (b)
Generatoren: a, b
Die Tabelle ist symmetrisch bzgl. der Hauptdiagonalen: abelsche (kommutative) Gruppe!
Es existiert nur die triviale Untergruppe {e}.
3) Gegeben: N = {e,a}
Es gibt ebenfalls nur eine Möglichkeit eine Gruppenmultiplikation zu definieren.
kommutative Gruppe
e
a
e
e
a
a
a
e
e
a
e
a
e
nur triviale Untergruppe {e}
a
e
a
Generator: a
4) Gegeben: O = {e,a,b,c}
Es gibt nur zwei Möglichkeit eine Gruppenmultiplikation zu definieren.
1. Möglichkeit: a a = Neutralelement e
2. Möglichkeit: a a = anderes Element
dabei spielt es keine Rolle welches, da man durch Umbenennen immer
wieder die gleich Gruppenmultiplikationstabelle erhält
e
a
b
c
e
e
a
b
c
a
a
e
c
b
b
c
c
c
b
e
a
b
c
e
e
a
b
c
b
a
a
b
c
e
e
a
b
b
c
e
a
a
e
c
c
e
a
b
- kommutativ (zyklische Gruppe)
- kommutativ
- Untergruppe: {e,b}
- Untergruppen: {e,a} | {e,b} | {e,c}
- Generatoren: a | c
- Generatoren: a,b | b,c | a,c