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I. 1 Rechenoperationen erster Stufe
Die Addition
Die allereinfachste Rechenoperation ist das Zusammenzählen zweier
Zahlen etwa
3+4=7
Nun gibt es aber unendlich viele (natürliche) Zahlen, da es ja keine größte
Zahl gibt (warum nicht?). Daher gibt es auch unendlich viele Additionen.
Wie kann man nun die Summe mathematisch beschreiben?
Dazu ist eine weitere Abstraktion notwendig: Wir definieren Buchstaben
als die Stellvertreter aller Zahlen und schreiben
a+b
=
c
Wert der Summe
↑
SUMME
a und b sind als beliebige Zahlen, die man Summanden nennt. Ihre
Summe ergibt wieder eine Zahl aus der Menge N, wobei die Reihenfolge,
wie ich addiere, unwichtig ist, denn die Addition ist eine schöne
Rechenoperation:
Schön
ist
nicht
anders
als
symmetrisch,
also
vertauschbar (kommutativ): Beispiel 3+4 =4+3 und allgemein1
a+b = b+a
Die Summanden (Posten) sind vertauschbar, denn die Reihenfolge des
Addierens ist unerheblich. Betrachtet man zB. auf einer Weide zehn Kühe,
1
Wie zählt man 7 + 28+ 93 zusammen? Man rechnet wegen 7+93 = 100
also
7 + 93 + 28 = 100 +28 = 128
Außerdem sind die natürlichen Zahlen bezüglich der Addition noch – nicht asozial,
sondern - assoziativ, d. h. die Reihenfolge ist beliebig ausführbar:
(a + b) +c = a + (b+c)
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so spielt es keine Rolle, ob möglicherweise zuerst 7 da waren und dann
drei dazu kamen, oder ob zuerst drei da waren und sieben dazu kamen
Der Buchstabe x soll nun für eine gesuchte Zahl reserviert sein. Fragen
wir uns etwa, welche Zahl zu drei addiert sieben ergibt,
3 + x = 7,
dann liefert das uns eine einfachste Gleichung mit einer Unbekannten
Größe x. Wie kann man diese Gleichung auflösen? Dazu benötigen wir die
Umkehroperation zur Addition, die Subtraktion (das Vermindern oder
Abziehen):
x =7–3
Allgemein
a–b
=
↑
c
Wert der Differenz
DIFFERENZ
Die Differenz ist nicht mehr symmetrisch, die Reihenfolge also nicht
vertauschbar, denn 7 - 3 und 3 – 7 sind nicht dasselbe (nur betragsmäßig
sind sie gleich 4). Man erhält durch die Subtraktion manchmal keine
natürlichen Zahlen mehr, und geschichtlich dauerte es recht lange, bis
man die negativen Größen (und übrigens auch die Null – durch die Inder)
als Zahlen allgemein anerkannte:
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Wenn sich drei Personen in einem Zimmer befinden, sieben Personen das
Zimmer verlassen, wie viele Personen müssten das Zimmer betreten,
damit es leer ist? Unmögliches wird möglich gemacht, indem man den
Zahlbereich erweitert. Jede ganze Zahl bekommt nun ein Vorzeichen und
ist Plus oder Minus; dieses Minuszeichen ersetzt die Operation des
Subtrahierens durch eine Addition der Gegenzahl: a – b =
a + (–b)
Aus dem Operations-Minus wird ein Vorzeichen-Minus, ähnlich wie wir
später bei der nächsten Zahlbereichserweiterung die Division durch die
Multiplikation mit dem Kehrwert ersetzten (mit dem reziproken Wert
malnehmen) können.
Allerdings machen negative Zahlen durchaus Sinn, wenn etwa das
Thermometer an einem Winter tagsüber drei Grad anzeigt und nachts
wegen der Abkühlung die Temperatur um sieben Grad zurückgeht, erhält
man vier Grad unter Null. Oder wenn man eine Markierung für den
Wasserstand als Null erklärt und das Wasser unter diese Linie sinkt.
Oder wenn man auf seinem Konto mehr Geld abhebt, als man eigentlich
hat. Dann sind die negative Zahlen Schulden und man könnte sie zur
deutlicheren Unterscheidung rot schreiben.
Man erhält die negativen Zahlen als Ergebnis von Differenzen, deren
Subtrahend größer ist als der Minuend. Aber a – b unterscheidet sich von
b - a recht wenig; nur durch ein Vorzeichen:
a - b = - (b-a)
Die Subtraktion ist also pseudo-symmetrisch, denn bei Vertauschung
kommt (nur) eine Änderung des Vorzeichens hinzu.
Die durch die Negativitäten erweiterte Menge der natürlichen Zahlen
nennt man die ganzen Zahlen; symbolisch Z.
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Die
natürlichen
bezüglich
des
Zahlen
tragen
zusammen
Zusammenzählens
eine
mit
ihren
wichtige
Gegenzahlen2
mathematische
Struktur (siehe folgende Verknüpfungstafel).
1
2
3
-1
0
1
2
-2
-1
0
1
-3
-2
-1
0
-4
-3
-2
-1
-5
-4
-3
-2
5
4
2
3
1
2
0 1
-1 0
-6
-5
-4
-3
-2
-7
-6
-5
-4
-ß
-7
-6
-9
-ß
-7
-10
-9
-ß
-7
0
4
7
6
5
4
3
2
8
7
6
5
4
3
9
8
7
6
5
4
10
-1
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
-6
-5
-4
-3
-2
1
0
3
9
8
7
6
5
Der Mathematiker sagt, sie bilden eine Gruppe3.
Eine Menge G bezüglich einer ◦ Operation (Verknüpfung) G x G
G bildet
eine Gruppe, wenn
1.) (ABG)
für jede Verknüpfung innerhalb der Menge G bleibt: a ◦ b = c mit c ∈ G
2.) (ASS)
die Verknüpfung ASSOZIATIV ist, d.h. das Klammerungsgesetz gilt
(a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c
3. (NE)
2
Man könnte von den genau soweit von der Null auf der Zahlengeraden
entfernten Antizahlen sprechen, und sie statt mit Minuszeichen zu
versehen einfach (als Schuldenzahlen) rot darstellen. Die Antizahl
bezüglich der Multiplikation ist der Kehrwert (reziproke Wert), den man
auch mit >>hoch minus 1<< kennzeichnet.
3
Genauer gesagt, handelt es sich um eine kommutative oder abelsche
Gruppe, d. h. es gilt zusätzlich noch das Vertauschungsgesetz
a◦b=b◦a
Da die Operation also „schön symmetrisch“ ist, wird die Gruppentafel
symmetrisch zur Hauptdiagonalen.
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ein neutrales Element n der Gruppe angehört, das „nichts bewirkt“
x◦ n=x
für alle x ∈ G
4.) (INV)
zu jedem Element x ∈ G ein neutralisierendes Umkehrelement (oder
Gegenelement) x* ∈ G existiert, mit
x ◦ x* = n
Daraus folgt nun, dass wenn x ◦ z = y ◦ z ist, folgt x = y.
Diese Gruppen-Struktur gewährleistet die eindeutige Auflösbarkeit von
Gleichungen! Auch die Multiplikation von Brüchen4, - den rationalen
oder messbaren Zahlen -, bildet eine Gruppe5, wenn man von der Null
absieht (diese hat eine Sonderstellung unter den Zahlen).
4
auch nur die positiven schon alleine für sich genommen
mit der 1 statt der Null als Neutralität (Neutrales Element, Einselement),
denn die Addition mit 0 ändert wie die Multiplikation mit 1 gar nichts am
Wert.
5
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Anmerkungen:
Nun gibt es ja unendlich viele Zahlen und daher ist dies eine Gruppe
unendlicher
Ordnung. Es
gibt aber
auch endliche
Gruppen (siehe
übernächstes Kapitel)!
Für mathematisch mehr bewanderte:
Da die Multiplikation keine immer ausführbare Umkehrung besitzt (die
Umkehrung des Verdoppelns wäre das Halbieren, also die Teilung durch 2,
und z.B. ist die Eins innerhalb der Menge der ganzen Zahlen |Z nicht
durch Zwei teilbar, da ½ keine ganze Zahl ist), bildet |Z nur eine
multiplikative Halbgruppe. In ihrer Struktur bilden die ganzen Zahlen |Z
bezüglich der Addition und Multiplikation einen sog. Integritäts-RING,
einen nullteilerfreien Ring (d.h. wenn ein Produkt Null ist, muss auch
einer der Faktoren Null sein) mit einem multiplikativen neutralen Element
(Einselement) und mit vertauschbaren Faktoren.
Hat man zwei Gruppenstrukturen, wie die Addition und die Multiplikation
der messbaren Zahlen, wobei man bei der zweiten Verknüpfung , dann
das neutale (Null-) Element der ersten ausschließen muss, und wenn noch
die Distributivgesetze (Verteilungsgesetze) gelten,
a(b+c) = ab +ac
dann spricht man von einer Köperstruktur.
Für endliche Körper müssen beide Gruppen kommutativ (vertauschbar)
sein. Ist nur die eine Verknüpfung (die additive) kommutativ, nicht aber
die multiplikative, so spricht man von einem Schiefkörper.
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