2.8 Optische Eigenschaften von Kristallen

2.8 Optische Eigenschaften von Kristallen
Aufgrund des Welle-Teilchen-Dualismus lässt sich Licht mit der Frequenz ν und der Wellenlänge λ
mit νλ = c als elektromagnetische Welle beschreiben, oder auch als Teilchen bzw. Photon interpretieren. Dies geschieht nach Max Planck durch die Zuordnung der Energie E = hν und des Impulses
p = h/λ mit E = pc. Welche Beschreibungsform im Einzelfall die geeignete ist, hängt vom beobachteten
Wechselwirkungsprozess zwischen Licht und Materie ab.
Die Beugungsfigur an einem Spalt z.B. ergibt sich im Wellenbild aus dem Verhältnis zwischen der
Spaltbreite und der Wellenlänge des Lichtes, das in der Größenordnung von eins liegen muss.
Bei der Registrierung des Lichtes im Detektor, dessen Durchmesser der Eintrittsöffnung groß ist
im Vergleich zur Wellenlänge, ist dagegen das Teilchenbild anzuwenden, denn es werden die Energie E
und der Impuls p gemessen.
Trifft eine elektromagnetische Welle mit dem elektrischen Feld E z.B. auf einen Kristall, so wirkt
auf jedes einzelne Kristallelektron die Kraft −e0 E. Da die elektronischen Energieniveaus nach der
Quantenmechanik gebundener Atome gequantelt sind, muss die elektromagnetische Welle wie auch bei
isolierten Atomen in quantisierter Form behandelt werden, wie sich das aus dem Kombinationsprinzip
von Ritz bei den atomaren Spektren ergibt.
Energieband bei Metallen
Die elektronischen Energieniveaus in periodischen
Kristallen liegen aber beliebig dicht beieinander, d.h.
E(k)
sie sind praktisch kontinuierlich in Energiebändern angeordnet. Beträgt nun die Frequenz der elektromagnetischen Welle z.B. ν = 50Hz, so ist E = hν = 2·10−13 eV
und λ = c/ν = 6 · 106 m. Im sogenannten elektrotechnischen Bereich liegt das außerhalb der Messgenauigkeit,
EF
sodass Intrabandübergänge entstehen und die elektromagnetische Welle als klassisches, nicht quantisiertes
Feld beschrieben werden kann.
Die Elektronen können aus besetzten Niveaus dicht
unterhalb der Fermi-Energie EF durch das elektrische
∆k
k
Feld der Welle in dicht darüber liegende unbesetzte
gelangen. Nach der klassischen Mechanik ist die Impulsänderung h̄∆k = −e0 E∆t in der Zeit ∆t, und man
erhält im Rahmen der klassischen Mechanik
d
h̄k = −e0 E.
dt
Das elektronische Spektrum der Kristalle enthält auch Energielücken im optischen Bereich wie bei
Atomen und Molekülen, die zur Interpretation auch die Quantennatur des Lichtes erfordern. Diese
Interbandübergänge gehorchen in erster Näherung der k-Auswahlregel. Liegt ein solcher Übergang im
sichtbaren Bereich, führt das bei Metallen zur Einfärbung der glänzenden Oberfläche.
E(k)
E(k)
EF
Eg
EF
0
k
Γ
Interbandübergang
bei Halbleitern
X
Interbandübergang
bei Kupfer
K
k
Außerdem kann Licht bei der Photoemission ein Elektron vom Valenzband aus dem Kristall hinausbefördern. Die Energie des Photons entspricht dabei der Energie E(k) eines Valenzbandes plus der
Austrittsarbeit an der Oberfläche und der kinetischen Energie des Elektrons außerhalb. Ferner können
durch Licht auch Exzitonen erzeugt werden, also Anregungen in Mehrelektronenniveaus aufgrund von
Elektron-Loch-Wechselwirkungen in Halbleitern.
E(k)
E(k)
N
b
k
Eg
Ex
EF
bc
Photoemission
N: Nullpunkt der mikroskopischen Energie
0
k
Die Exziton-Anregungsenergie Ex
ist kleiner als die Bandlücke Eg