Origami Geometry Projects for Math Fairs

Origami und
Geometrie – Papier
kann mehr als man
denkt
Robert Geretschläger
BRG Kepler, Graz
Zürich, 12.9.2012
Konstruktionsaxiome
Zirkel und Lineal:
P2
P1
P
zufälliger Punkt
Punkt auf Objekt
P
P3
P1
r
P2
Schnittpunkt
P
Konstruktionsaxiome
Papierfalten:
(O1)
P
Konstruktionsaxiome
l
(O2)
2
a'
(O3)
m
l
l
2
1
a
l
(O4)
1
(O5)
l
P
Q
Q
P
b
Konstruktionsaxiome
P
l
(O6)
l
Y
P'
P
l
X
Q
(O7)
P
P
c
P
l
Konstruktionsaxiome
(O7*)
l1
P
1
P
l
2
2
5-eck
Der Goldene Schnitt
a : 1 = 1 : (a-1)
 a² - a = 1
 a² - a – 1 = 0
1
1
1
1
a-1
a
 a=
f=a:1
5-eck
Winkel im regelmäßigen 5-eck
36°
36°
108°
d
d
1
36°
72°
72°
1
5-eck
Das Goldene Dreieck
36°
d : 1 = 1 : (d-1)
1
d
1
36°
36°
72°
72°
1
 d=
d-1
=f
5-eck
Platzierung des
Pentagons auf dem
a
d=1
Papier
1
1
5-eck
Schritt 1
D
A
1
C
B
5-eck
Schritt 2
1
5-eck
Schritt 3
1
5-eck
Schritt 4
1
2
I
5-eck
Schritt 5
1
5
2
5-eck
Schritt 6
1
5
2
5-eck
Schritt 7
5-eck
Schritt 8
5-eck
weitere Herausforderungen für
fortgeschrittene Pentagonisten:
+++ Kann ein regelmäßiges 5-eck mit Seitenlänge a
größer als 1/f im Inneren eines Einheitsquadrats
platziert werden?
+++ Bestimme eine Faltsequenz für ein größeres
regelmäßiges Fünfeck.
+++ Bestimme den größtmöglichen Wert von a.
Beweise, dass dieser Wert tatsächlich maximal ist.
Gleichung 1. Grades
lineare Gleichung ax = b
Lösung: x =
b
a
y
5
x
-5
Steigung der Faltkante ist
5
b
a
a
-5
b
Gleichung 2. Gradesten
Quadratische Gleichung x²+px+q = 0
Parabel:
x² = 2uy
Tangente:
y = s(x - v) + w
x² - 2usx + 2uvs – 2uw = 0
u²s² - 2uvs + 2uw = 0
s  2uv  s  2uw = 0
2
y
p :x²=2uy
o
u = 2, v = -p, w = q
Parabel: x² = 4y
O
x
P (v,w)
o
(Brennpunkt F(0/1),
Leitlinie y = -1)
P0(-p,q)
Gleichung 3. Gradesten
t: y = cx + d
y
p :x²=2by
2
p :y²=2ax
1
p1: yy1 = ax + ax1
p2: xx2 = by + by2
P (x ,y )
2 2 2
x
P (x ,y )
1 1 1
t:y=cx+d
a
c=
b
3
Gleichung 3. Grades
l1
y
1
3
a
b
F
2
F
1
x
l
t
2
Gleichung 3. Grades
t: y = cx + d
p1: (y-n)(y1–n) = a(x-m) + a(x1–m)
p2: xx2 = by + by2
c 3  2bm  c 2  2bn  c  ba = 0
y
p :x²= 2by
2
p :(y-n)²=2a(x-m)
1
x³ + px² + qx + r = 0
p = -2m, q = 2n,
r = a, b = 1
A1(m ,n)
P (x ,y )
2 2 2
P (x ,y )
1 1 1

x

F1   , ; l : x =   2r
t: y=cx+d
p
2
r
2
q
2
p
2
7-eck
y
z
3
z
2
z7 − 1 = 0
z4
c
O
b
a
z =1
1
z
5
z
z
6
7
x
7-eck
7-eck
B
A
A
7-eck
B
C
A
D
7-eck
E
7-eck
M
7
2
1
7-eck
M
2
7-eck
5
4
[email protected]
http://geretschlaeger.brgkepler.at
-lichen Dank für die Aufmerksamkeit