Exponential- Verteilung und Zweidimensionale Gaußsche Normalvert

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&% Die Lebensdauer T (in Stunden) von Dioden eines Herstellers sei eine
exponentiellverteilte Zufallsvariable. Die mittlere Lebensdauer dieser Dioden beträgt
µ = 200 Stunden [h].
% Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Lebensdauer einer Diode höchstens 200
[h] beträgt?
% Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Lebensdauer einer Diode mindesten 300
[h] beträgt?
% Bestimmen Sie die Lebensdauerzeit, so dass die Wahrscheinlichkeit für
Lebensdauerzeiten weniger als diese Zeit 0,5 beträgt. (Median)
Lösg: a) 0,6321
b) 0,2231
c) 138,6294 [h]
'% Für die Produktion von Bildschirmen hat eine Firma Flüssigkristallanzeigen (LCD) bei
zwei verschiedenen Herstellern A bzw. B bestellt. Die Lebensdauer der LCDs sei eine
normalverteilte Zufallsvariable. Die mittlere Lebensdauer der LCDs vom Hersteller A bzw.
B sind µ A = 6,2 [Jahre] bzw. µ B = 6,0 [Jahre] und die Standardabweichungen betragen
σ A = 0,4 [Jahre] bzw. σ B = 0,3 [Jahre].
(
Die Lebensdauern der LCDs der beiden Hersteller dürfen als unabhängig
voneinander betrachtet werden.
% Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Lebensdauer eines LCDs vom
Hersteller A im Vergleich zu der vom Hersteller B größer als ein Jahr ist?
% Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Lebensdauer eines LCDs vom
Hersteller B im Vergleich zu der vom Hersteller A größer als ein Jahr ist?
Lösg: a) 0,0548
b) 0,008
)% Eine Maschine produziert Bolzen, deren Durchmesser normalverteilt ist mit dem
Mittelwert µ X = 9,8 [mm] und der Standardabweichung σ X = 0,1 [mm]. Eine andere
Maschine bohrt Löcher in eine Metallplatte, deren Durchmesser normalverteilt sind mit dem
Mittelwert µ Y = 10,0 [mm] und der Standardabweichung σ Y = 0,08 [mm].
(
Die beiden Durchmessern dürfen als unabhängig voneinander betrachtet
werden.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bolzen in ein beliebig
ausgewähltes Loch passt?
Lösg: 0,9406
1
(
f(t)
P(T
t 0 ) =F ( t 0 ) = 0,5
t
t0 = ?
f(w)
σW = σ ²X + σ ²Y
0 µW = 0,2
w0 = 1
Die Lebensdauer X von A ist
normalverteilt und die Lebensdauer Y
von B ist ebenfalls normalverteilt.
Somit ist nach dem Additionssatz der
Normalverteilung die Summe oder die
Differenz der Lebensdauern der
beiden auch normalverteilt.
w
µW = µX – µY
σW = σ ²X + σ ²Y
f(w)
w0 = 0
µW = 0,2
µW = µY – µX
w
Der Durchmesser X der Bolzen ist
normalverteilt und der Innendurchmesser Y
der Löcher ist ebenfalls normalverteilt. Somit
sind nach dem Additionssatz der
Normalverteilung die Summe oder die
Differenz der Durchmessern der beiden
auch normalverteilt. Ein Bolzen passt dann,
wenn Y > X ist, d.h., es muss gelten:
W= Y – X>0
2
Erwartungswert und Varianz für die Differenz zweier Zufallsvariablen Y_und X__
Nach den Sätzen für die Kennwerte von Wahrscheinlichkeitsverteilungen für mehrerer
Zufallsvariablen gelten folgende Sätze: (s. Kapitel: Wahrscheinlichkeitsverteilungen)
Satz 1)
Für den Erwartungswert der Summe von zwei Zufallsvariablen X und Y gilt:
=
µ X+Y
µX
+
µY
Bemerkung: Dabei ist egal , ob X und Y unabhängig oder abhängig sind.
Satz 3)
Seien X und Y unabhängige Zufallsvariablen. Dann gilt für die Varianz der Summe von X
und Y :
σ ² X+Y = σ ² X + σ ² Y
Bemerkung: Für die Standardabweichung gilt: σ
=
X +Y
( σ X2
+ σ Y2
)
Satz 5)
Sei X eine Zufallsvariable und seien a und b beliebige reelle Zahlen und g( X ) = a X + b
eine Zufallsvariable. Dann gilt
für den Erwartungswert :
µ g(X)
und für die Varianz :
σ ² g(X)
=
=
a·µX
+ b
a²·σ²X
Formeln für den Erwartungswert und Varianz der Zufallsvariable W = Y – X_
Wir setzen X = – X (In diesem Fall ist X = g( X ) = – X mit a = – 1 und b = 0)
Also folgt aus Satz-5:
µ
σ
X*
2
X*
( − 1) ⋅ µ X + 0
=
=
( − 1 ) 2 σ X2
=
=
−µX
σ X2
Folglich erhält man für den Erwartungswert von W = Y – X nach Satz -1:
µ
Y +X*
= µY + µ
X*
µY − X = µY − µ X
Und für die Varianz von W = Y – X erhält man aus Satz -3:
σ
2
Y +X*
= σ Y2 + σ
2
X*
σ Y2 − X = σ Y2 + σ X2
3