¨Ubungen zur Vorlesung Topologie im Wintersemester 2003/04 bei

Übungen zur Vorlesung Topologie
im Wintersemester 2003/04 bei Prof. V. Bangert
Blatt 14
3. Februar 2004
Bitte schreiben Sie Ihren Namen auf Ihr Blatt.
1. Betrachten Sie S 1 als S 1 = R/Z. Sei n ∈ N \ {0}. Zeigen Sie :
(a) Die Abbildung π̃ : R → R, x 7→ nx, induziert eine stetige Abbildung π : S 1 → S 1 .
(b) π : S 1 → S 1 ist eine n-blättrige Überlagerung.
2. Betrachten Sie auf Rn die Äquivalenzrelation x ∼ y ⇐⇒ x − y ∈ Zn . Der Quotientenraum Rn /∼ wird meistens Rn /Zn geschrieben, da er gleichzeitig der Quotient der
topologischen Gruppe (Rn , +) nach der Untergruppe Zn ist, und heißt n-dimensionaler
Torus T n . Zeigen Sie:
(a) Die kanonische Projektion π : Rn → Rn /Zn ist eine Überlagerung.
1
1
2πix1
2πixn
(b) Die Abbildung h̃ : Rn → S
×
·
·
·
×
S
,
h̃(x
,
.
.
.
,
x
)
=
e
,
.
.
.
,
e
induziert
1
n
|
{z
}
n-mal
einen Homöomorphismus h : Rn /Zn → S 1 × · · · × S 1 .
(c) Für R > r > 0 induziert die Abbildung f˜: R2 → R3 ,
f˜(x1 , x2 ) = (R + r cos 2πx1 ) cos 2πx2 , (R + r cos 2πx1 ) sin 2πx2 , r sin 2πx1
einen Homöomorphismus f : T 2 → f (T 2 ) ⊆ R3 .
Skizzieren Sie f (T 2 ) ⊆ R3 durch einige der Kurven x1 7→ f˜(x1 , c) bzw. x2 7→ f˜(c, x2 ).
3. Sei Ω ⊆ C offen, z1 ∈ Ω und z0 ∈ C \ Ω. Für die Definition der Umlaufzahl nγ einer
stetigen und geschlossenen Kurve γ : [0, 1] → Ω um z0 siehe Anwesenheitsaufgabe 1.
Zeigen Sie:
(a) Sind die geschlossenen Wege γ1 , γ2 : [0, 1] → Ω homotop in Ω, so ist nγ1 (z0 ) = nγ2 (z0 ).
(b) Dies induziert einen Gruppenhomomorphismus [γ] ∈ π1 (Ω, z1 ) 7→ nγ (z0 ) ∈ Z.
(c) Ist γ : [0, 1] → Ω stetig differenzierbar und geschlossen, so gilt
Z 1
γ 0 (t)
1
dt .
nγ (z0 ) =
2πi 0 γ(t) − z0
4. Sei p ∈ R2 und für i = 1, 2 seien γi : S 1 = R/Z → γi (S 1 ) ⊆ R2 Homöomorphismen mit
γ1 (S 1 ) ∩ γ2 (S 1 ) = {p}. Sei X = γ1 (S 1 ) ∪ γ2 (S 1 ) ⊆ R2 und Y = (R × Z) ∪ (Z × R) ⊆ R2 .
(a) Skizzieren Sie X und Y .
(b) Zeigen Sie: Die Abbildung π : Y → X, definiert durch π(y1 , y2 ) = γ1 ([y1 ]) falls y2 ∈ Z
und π(y1 , y2 ) = γ2 ([y2 ]) falls y1 ∈ Z, ist eine Überlagerung.
(c) Für (k1 , k2 ) ∈ Z2 bezeichne T(k1 ,k2 ) : R2 → R2 die Translation (y1 , y2 ) ∈ R2 7→ (y1 +
k 1 , y2 + k 2 ) ∈ R 2 .
Zeigen Sie: π ◦ T(k1 ,k2 ) = π.
Abgabe: Dienstag, 10. Februar vor der Vorlesung
Internet: http://home.mathematik.uni-freiburg.de/geometrie/topologie/