Aufgabenblatt 1 - Mathematisches Institut Heidelberg

SS 2016
Höhere Mathematik für’s Studium der Physik
21. April 2016
Aufgabenblatt 1
Abgabe bis 28.4.2016, 14.00 Uhr
Aufgabe 1.1 (Angeordnete Körper)
Bitte beweisen Sie:
a
c
(a) Sei (K, P ) ein angeordneter Körper. Für a, b, c, d ∈ K mit c, d > 0 und
a+b
b
a
c < c+d < d ;
<
b
d
gilt
(b) Ein endlicher Körper lässt sich nicht anordnen.
(Tipp: (iv) aus Lemma 1.4)
Aufgabe 1.2 (Binomialkoeffizient)
Für natürliche Zahlen 0 ≤ k ≤ n sind die Binomialkoeffizienten
enten des Polynoms
n X
n k n−k
n
(x + y) =
x y
.
k
n
k
definiert als die Koeffizi-
k=0
Zeigen Sie bitte
(a) Für k < n gilt die Rekursionsformel
für jedes n ≥ 0.
n+1
k+1
=
n
k
+
n
k+1
. Außerdem gilt
n
0
=
n
n
=1
(b) Die Binomialkoeffizienten sind natürliche Zahlen.
(c) Definiert man
n! := 1 · 2 · · · n für natürliche Zahlen n > 0 und 0! := 1, dann gilt die
n
n!
Formel k = k!(n−k)!
.
Hinweis: Bei (b) und (c) bietet sich die vollständige Induktion als Beweismethode an.
Aufgabe 1.3 (Ungleichungen)
Bitte beweisen Sie folgende Ungleichungen.
1
(a) Für 0 < x < 1, x ∈ R und n ∈ N − {0} gilt (1 − x)n < 1+nx
.
√
√
√
(b) Für 0 < a < b, a, b ∈ R und k ∈ N, k > 1, gilt 0 < k b − k a < k b − a.
Aufgabe 1.4 (Dedekindsche Schnitte)
Sei R := {A ⊂ Q | A ist Dedekindscher Schnitt}, wobei wir die Definition eines Dedekindschen
Schnittes aus der Vorlesung verwenden. Sei ferner 0∗ := {x ∈ Q|x < 0} und für A ∈ R sei
A := {x ∈ Q | ∃r > 0, r ∈ Q : −x − r 6∈ A}. Wir definieren auf R wie folgt eine Addition
+:R×R→R :
A1 + A2 := {x + y|x ∈ A1 , y ∈ A2 }
Zeigen Sie, dass diese Addition wohldefiniert ist (d.h. tatsächlich nach R abbildet) und, dass
(R, +) eine abelsche Gruppe ist, wobei 0∗ die Rolle des neutralen Elements übernimmt und
für A ∈ R A der Kandidat für das inverse Element ist.
Prof. Johannes Walcher
Timo Essig
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Aufgabenblatt 1
10 Punkte pro Aufgabe