Klassische Theoretische Physik II

Institut für Theoretische Physik
Universität zu Köln
Alexander Altland
Alessandro Fasse
Klassische Theoretische Physik II
Blatt 1 - Wiederholung I
Wintersemester 2014/15
Internetseite:
Abgabe:
www.ketbra.net/ktp2/
14.10.2014 - 10:00 Uhr.
1. Elektrostatisches Feld
(15 Punkte)
Betrachten wir vier Punktladungen, die wie folgt angeordnet seien sollen:
y
−Q
1
+Q
q
x
1
−Q
α ∈ [0, ∞] 1
~ im Punkt (x, y) = (0, 0)? Skizzieren
Für welchen Wert q = q(α, Q) verschwindet das elektrische Feld E
Sie das dazu gehörige elektrische Feld.
2. Helmholtz-Spule
(15 Punkte)
In der nächsten Aufgabe werden wir sehen, dass das magnetische Feld eines kreisförmigen Leiters
entlang der Symmetrieachse (∝ ~ez ) gegeben ist durch
~
B(z)
=
2πR2 j0
3
c (z 2 + R2 ) 2
Eine Helmholtz-Spule ergibt sich durch zwei solcher Ringe in den Ebenen z =
Leitern ieÿe der selbe Strom j0 in die selbe Richtung.
1
(1)
~ez .
a
2
und z = − a2 . In beiden
~ez
j0
a
2
R
~ey
j0
− a2
R
~ex
Für welchen Wert a ist das magnetische Feld um z = 0 ungefähr homogen, also
3. Magnetische Feld eines kreisförmigen Leiters
∂2B
(0)
∂z 2
= B 00 (0) = 0?
(10 Punkte)
Betrachten Sie einen axialsymmetrischen Draht, der in der x-y -Ebene mit Radius R liegt und in dem
ein konstanter Strom vorliegt, also |~j| = j0 .
a) Geben Sie die zugehörige Stromdichte ~j(~r) an.
b) Benutzen Sie das Biot-Savart-Gesetz
~ r) = 1
B(~
c
Z
d3 r 0
~j(r~0 ) × (~r − r~0 )
|~r − r~0 |3
(2)
~ entland der z -Achse zu berechnen.
um das magnetische Feld B
4. Inhomogen geladene Kugel
(10 Punkte)
Betrachten Sie die folgende Ladungsdichte
(3)
ρ(~r) = ρ(r, θ) = ρ0 · sin θ · Θ(R − r),
wobei ρ0 ∈ R eine Konstante und Θ(·) die Heavyside-Theta-Funktion ist. Berechnen Sie die folgenden
Gröÿen:
a) Die Gesamtladung q =
R
d3 r ρ(~r).
b) Das Dipol-Moment p~ =
R
d3 r ρ(~r)~r.
c) Alle Komponenten des Quadrupolmoment Qij =
Länge des Ortsvektors ~r ist.
R
d3 r ρ(~r) 3~ri~rj − r2 δij , wobei r =
√
~r · ~r die
d) Benutzen Sie nun die vorherigen Ergebnisse und geben Sie das genäherte Potential φ(~r) bis einschlieÿlich der Quadrupol-Näherung an.
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