Atomphysik 2003/04 Übungszettel 1 Abgabe: 3.11.2003

Atomphysik 2003/04
Johannes-Gutenberg Universität
Prof. Immanuel Bloch
www.uni-mainz.de/FB/Physik/IPH/Atomphysik03
Übungszettel 1
Abgabe: 3.11.2003
Eine kleine Auffrischung der Quantenmechanik zu Beginn der Übungen ! Probieren Sie
zunächst so weit wie möglich zu kommen, ohne in Ihre Skripten oder Bücher zu schauen und
notieren Sie bitte, wo Sie Schwierigkeiten hatten. Versuchen Sie dann die Aufgaben unter
Zuhilfenahme Ihrer Skripten und Bücher zu lösen.
Aufgabe 1 – Magnetische Momente
Punkte: 1
Das magnetische Dipolmoment µ einer Stromschleife ist durch µ=I A definiert. Hierbei ist I
der durch die Schleife fließende Strom und Α ist die Fläche der Leiterschleife und der
Flächenvektor A steht senkrecht zur Ebene der Stromschleife. Eine solche stromdurchflossene
Leiterschleife kann durch einen Ladung e beschrieben werden, die mit einer konstanten
Geschwindigkeit eine Kreisbahn beschreibt.
a) Argumentieren Sie mit Hilfe der klassischen Elektrodynamik, daß das magnetische
Dipolmoment µ mit dem Drehimpuls L des geladenen Teilchens mit Masse m
verknüpft ist und das gilt:
e
µ=
L.
2m
b) Wenn die Länge des Drehimpulsvektors durch L = = gegeben ist, berechnen Sie das
magnetische Moment für i) ein Elektron und ii) ein Proton.
Aufgabe 2 - Wellenpakete
Punkte: 3
Die Ortswellenfunktion eines Teilchens in einer Dimension sei gegeben durch:
1
ψ ( x) =
exp(− x 2 / 4∆ 2 ) .
2 1/ 4
( 2π ∆ )
Hierbei gibt ∆ die Breite der Ortswellenfunktion an. Zeigen Sie, daß
a) der Zustand des Teilchens normiert ist.
b) die Impulsverteilung des Teilchens P(p) durch
1/ 2
2
P( p) =  
π
∆
exp(−2 p 2 ∆ 2 / = 2 ) gegeben ist..
=
c) das Produkt aus den Unschärfen der Impuls und Ortskoordinaten den minimalen Wert
hat, der durch die Heisenberg’sche Unschärferelation vorgegeben ist.
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Punkte: 2
Aufgabe 3 – Superpositionsprinzip
Der Operator A einer physikalischen Observablen soll nicht mit dem Hamiltonoperator H des
zugehörigen Systems kommutieren. Zu den Eigenwerten a1 und a2 des Operators A sollen die
Eigenfunktionen φ1 = (u1 + u2 ) / 2; φ2 = (u1 − u2 ) / 2 gehören. Hierbei sind u1 und u2
Eigenfunktionen des Hamiltonoperators H mit Energie Eigenwerten E1 und E2. Zum
Zeitpunkt t=0 soll sich das System im Zustand φ1 befinden. Zeigen Sie, daß für den
Erwartungswert des Operators A zu einem beliebigen späteren Zeitpunkt t gilt:
A =
a1 + a2 a1 − a2
 ( E − E2 )t 
+
cos  1

2
2
=


Aufgabe 4 – Drehimpulse in der QM
Punkte: 2
Ein quantenmechanisches System im Zustand ψ = φlm ist ein Eigenzustand der
Drehimpulsoperatoren L2 und Lz. Berechnen Sie die Erwartungswerte Lx und L2x .
Aufgabe 5 – Leiteroperatoren des harmonischen Oszillators
Punkte: 3
Erinnern Sie sich noch an die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren beim harmonischen
Oszillator ? Diese werden für uns bei der Quantisierung des elektromagnetischen Feldes eine
wichtige Rolle spielen. Hier eine kleine Übung zur Wiederholung der wesentlichen
Eigenschaften:
Gegeben sei ein eindimensionaler harmonischer Oszillator mit Masse m und
Resonanzfrequenz ω. Zum Zeitpunkt t=0 soll der zeitabhängige Zustand ψ ( x, t ) eine
Eigenzustand des Vernichtungsoperators â mit Eigenwert α sein. Es gilt also:
aˆψ ( x, t ) = αψ ( x, t )
Zeigen Sie, daß:
αn
u n , wobei un die normierte Eigenfunktion mit Quantenzahl n des
a) ψ ( x, 0 ) = c0 ∑
n!
n=0
harmonischen Oszillators ist und c0 eine Normierungskonstante ist.
∞
b) Zu einem späteren Zeitpunkt t, ist ψ ( x, t ) Eigenfunktion von â mit dem
Eigenwert α exp(−iωt ) .
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