§ 41 Normierte Räume über dem Körper der komplexen Zahlen

§ 41
Normierte Räume über dem Körper der
komplexen Zahlen
41.1
41.2
Rechenregeln für komplexe pseudonormierte Räume
Stetigkeits-, Differenzierbarkeits- und Integrierbarkeitskriterien für
Abbildungen in einen endlich-dimensionalen C-Vektorraum
Eigenschaften der komplexen Exponentialfunktion
41.3
Um die Lösungsgesamtheiten von linearen Differentialgleichungssystemen einfacher beschreiben zu können, benötigen wir den Cn . Hierzu sei zunächst an
die Einführung der komplexen Zahlen C erinnert (siehe z.B. Aufgabe 10 der
Linearen Algebra I):
In R2 = R × R ist bzgl. der kanonischen Vektoraddition,
a + b := (a1 + b1 , a2 + b2 )
für a := (a1 , a2 ), b := (b1 , b2 ) ∈ R2 ,
(R2 , +) eine abelsche Gruppe. Ferner definiert man in R2 die folgende Verknüpfungsrelation ·, Multiplikation“ genannt:
”
(a1 , a2 ) · (b1 , b2 ) := (a1 b1 − a2 b2 , a1 b2 + a2 b1 ).
Dann ist C := (R2 , +, ·) ein (kommutativer) Körper, der Körper der komplexen
Zahlen genannt wird.
Wie üblich bezeichnen e1 := (1, 0) und e2 := (0, 1) die beiden Einheitsvektoren
des R2 . Man setzt
i := (0, 1) = e2 ∈ C
und nennt i die imaginäre Einheit. Es gilt
i2 = (−1, 0).
Die Abbildung
j : R → C, definiert durch j(a1 ) = a1 e1 = (a1 , 0),
ist ein injektiver Homomorphismus (d.h. j ist injektiv und es gilt: j(a1 + b1 ) =
j(a1 ) + j(b1 ) sowie j(a1 · b1 ) = j(a1 ) · j(b1 ) ). Man identifiziert daher a1 ∈ R
mit j(a1 ) = (a1 , 0).
Somit schreibt man
(a1 , a2 ) = (a1 , 0) + (0, 1) · (a2 , 0) =“ a1 + ia2 .
”
Ist (a1 , a2 ) = a1 + ia2 ∈ C, so heißt
a1 + ia2 := a1 − ia2
die konjugiert komplexe Zahl zu a1 + ia2 .
C1
[41]–1
Kapitel X
Differentialgleichungssysteme und Differentialgleichungen n. Ordnung
Es gilt für komplexe Zahlen a, b ∈ C
a·b=a·b
a + b = a + b,
(siehe z.B. den Beweis des Satzes 18.7 Lineare Algebra I) und
a
a
( ) = für a ∈ C, b ∈ C \ {0}.
b
b
2
Der R-Vektorraum R = C besitzt die euklidische Norm k k2 , die mit | | bezeichnet wird, d.h.
q
|a| := kak2 = a21 + a22 für a = (a1 , a2 ) ∈ R2 .
Dann gilt nach 33.2
ferner folgt wegen
auch
|a · b|2
|a| = 0 ⇐⇒ a = 0;
|a| =
= a · b a · b = aa bb =
√
|a + b| ≤ |a| + |b|;
aa, a ∈ C
|a|2 |b|2 ,
also
|a · b| = |a||b| für a, b ∈ C.
C ist ein Körper. Wegen i2 = −1 kann jedoch C zu keinem angeordneten
Körper gemacht werden (siehe 2.3: In jedem angeordneten Körper K gilt für
jedes Element t ∈ K, daß 1 + t2 > 0 ist).
Ist a = a1 + ia2 ∈ C mit a1 , a2 ∈ R, so bezeichnet man a1 als Realteil und a2
als Imaginärteil von a, kurz
Re(a) := a1 ,
Im(a) := a2 .
Also ist a = Re(a) + i Im(a).
Ist f : D → C, so sind Re(f ), Im(f ) : D → R erklärt durch die punktweisen
Festsetzungen
(Re(f ))(p) := Re(f (p)), (Im(f ))(p) := Im(f (p)) für p ∈ D.
Ist also f = (f1 , f2 ) = f1 + if2 mit reellwertigen f1 , f2 , so ist
Re(f ) = f1 , Im(f ) 
= f2 .


c1
a11 + ia12
..
 mit aj1 , aj2 ∈ R,
Ist c =  ...  ∈ Cn (mit ci ∈ C), d.h. ist c = 
.
cn
an1 + ian2




so schreibt man
a12
a11
Re(c) :=  ...  , Im(c) :=  ...  .
an2
an1
Also ist auch in diesem Fall




Im(c1 )
Re(c1 )
..
.
c = Re(c) + iIm(c) =  ...  + i 
.

Re(cn )
Im(c1 )
Wichtig (und trivial zu beweisen) ist:
Sind a, b, c, d ∈ Rn und gilt a + ib = c + id, so folgt a = c und b = d.
[41]–2
C1
Normierte Räume über dem Körper der komplexen Zahlen

f1
Für f : D → Cn , also f =  ... , definiert man entsprechend Re(f ) und Im(f )
fn
wieder punktweise:

(Re(f ))(p) := Re(f (p)), (Im(f ))(p) := Im(f (p)) für p ∈ D.




Re(f1 )
Im(f1 )
..
..
 , Im(f ) = 
.
Daher ist
Re(f ) = 
.
.
Re(fn )
Im(fn )
Ist V ein Vektorraum über C, so ist — wenn man die Abbildung
C × V 3 (λ, v) → λv
auf R × V einschränkt — V auch ein Vektorraum über R.
Ist V ein Vektorraum über C mit dimC (V ) = n und ist v1 , . . . , vn eine Basis
des C-Vektorraums V, so ist
v1 , . . . , vn , iv1 , . . . , ivn Basis des R-Vektorraumes V.
Insbesondere ist dann dimR (V ) = 2n.
P
Beweis. Ist v ∈ V, so gilt v = nj=1 (aj1 + iaj2 )vj mit aj1 , aj2 ∈ R. Also ist
P
P
v = nj=1 aj1 vj + nj=1 aj2 (ivj ),
d.h. v1 , . . . , vn , iv1 , . . . , ivn ist ein Erzeugendensystem für den R-Vektorraum V.
Zu zeigen bleibt
v1 , . . . , vn , iv1 , . . . , ivn sind R-linear unabhängig.
P
P
Sei hierzu j=1 aj1 vj + nj=1 aj2 (ivj ) = 0, dann ist nj=1 (aj1 + iaj2 )vj = 0
und wegen der C-linearen Unabhängigkeit von v1 , . . . , vn folgt aj1 + iaj2 = 0 für
j = 1, . . . , n. Also sind a11 , . . . , an1 , a12 , . . . , an2 alle gleich Null; dies zeigt (1).
(1)
Pn
Sei nun V ein Vektorraum über C. Dann heißt V ein pseudonormierter oder
normierter Raum, wenn man in 33.1 die Bedingung (ii) für α ∈ C an Stelle von
α ∈ R fordert.
Ist V ein Vektorraum über C und ein pseudonormierter (bzw. normierter)
Raum, dann ist V ein Vektorraum über R, der ein pseudonormierter (bzw.
normierter) Raum im Sinne von 33.1 ist. Daher kann man nach 33.7
— indem man V als Vektorraum über R auffaßt — auch in diesem Fall eine
Pseudometrik (bzw. Metrik) für V gemäß
gewinnen.
dk k (p, q) = kp − qk
Alle metrischen und topologischen Aussagen über Punkte oder Teilmengen von
V beziehen sich im folgenden stets auf diese Metrik bzw. Topologie. Insbesondere ist also für einen Vektorraum V über C, der pseudonormiert ist, erklärt,
wann
f : X1 → V bzw. f : D → X2 , D ⊂ V
in einem Punkt stetig sind, vorausgesetzt, X1 und X2 sind topologische Räume.
Ist V ein endlich-dimensionaler Vektorraum über C, dann sind, da V dann auch
ein endlich-dimensionaler R-Vektorraum ist, je zwei Normen für V äquivalent.
C1
[41]–3
Kapitel X
Differentialgleichungssysteme und Differentialgleichungen n. Ordnung
V ist dann stets mit der Topologie versehen, die von irgendeiner dieser Normen
herrührt.
Ist D ⊂ R, dann ist gemäß § 37 (bzw. § 38) erklärt, wann
f : D → V in t0 differenzierbar (bzw. einseitig differenzierbar) ist,
f : [a, b] → V Riemann-integrierbar ist.
Man hat hierzu jeweils nur V als endlich-dimensionalen Vektorraum über R
aufzufassen:
Ist z.B. V := C = R2 , so ist
• f = (f1 , f2 ) = f1 + if2 genau dann in t0 differenzierbar (bzw. einseitig
differenzierbar), wenn f1 und f2 in t0 differenzierbar (bzw. einseitig differenzierbar) sind.
Ist f in t0 differenzierbar, so gilt (siehe 37.2 (bzw. 37.7 für die einseitige
Differenzierbarkeit)):
f 0 (t0 ) = f10 (t0 ) + if20 (t0 )
• f = f1 + if2 genau dann über [a, b] Riemann-integrierbar, wenn f1 und f2
Riemann-integrierbar über [a, b] sind.
Ist f Riemann-integrierbar über [a, b], so gilt (siehe 38.5):
Rb
Rb
Rb
a f (x) dx = a f1 (x) dx + i a f2 (x) dx.
Die Multiplikation mit komplexen Zahlen ermöglicht es, für komplexe pseudonormierte Räume einige zusätzliche Rechenregeln herzuleiten.
41.1
Rechenregeln für komplexe pseudonormierte Räume
Sei V ein pseudonormierter C-Vektorraum für (i) und (ii).
(i)
Seien (vn )n≥m eine Folge in V, (λn )n≥m eine Folge in C und v ∈ V,
λ ∈ C. Dann gilt:
(vn → v, λn → λ) ⇒ λn vn → λv.
(ii) Seien D, E ⊂ X1 , X1 ein pseudometrischer Raum. Dann gilt:
f : D → V in p0 stetig, h : E → C in p0 stetig ⇒ h · f in p0 stetig.
Sei V ein endlich-dimensionaler normierter Raum für (iii) und (iv).
(iii) Es gilt für D, E ⊂ R:
f : D → V in t0 differenzierbar, h : E → C in t0 differenzierbar
⇒ h · f in t0 differenzierbar mit
(h · f )0 (t0 ) = h0 (t0 )f (t0 ) + h(t0 )f 0 (t0 ).
Insbesondere ist
(λf )0 (t0 ) = λf 0 (t0 ) für λ ∈ C.
(iv) Es gilt:
f : [a, b] → V Riemann-integrierbar und h : [a, b] → C Riemann-integrierbar ⇒ h · f : [a, b] → V ist Riemann-integrierbar.
Insbesondere ist für λ ∈ C auch λf integrierbar mit
Rb
Rb
a λf (x) dx = λ a f (x) dx.
[41]–4
C1
Normierte Räume über dem Körper der komplexen Zahlen
Beweis. Sei k k eine Pseudonorm für V .
(i) Es ist λn = αn + iβn mit αn , βn ∈ R und λ = α + iβ. Es gilt αn → α und
βn → β (siehe etwa 34.5 mit V := R2 ). Damit folgt (siehe 33.22(iv)) αn vn → αv
und βn vn → βv, also auch
kiβn vn − iβvk = |i| kβn vn − βvk → 0,
und somit λn vn = αn vn + iβn vn → αv + iβv = λv (siehe 33.22(ii)).
(ii) Ist f in p0 stetig, so ist auch i · f in p0 stetig, wegen kf (p) − f (p0 )k =
kif (p) − if (p0 )k. Da h = h1 + ih2 in p0 stetig ist, sind h1 , h2 in p0 stetig und
somit auch h1 · f und h2 · f (siehe 33.36(iii)), also auch h1 · f und ih2 · f. Daher
ist h1 · f + ih2 · f = h · f in p0 stetig (siehe 33.36(i)).
(iii)
Ist f in t0 differenzierbar, so folgt aus
if (t)−if (t0 )
t−t0
f (t)−f (t0 )
t−t0
→ f 0 (t0 ) auch, daß
→ if 0 (t0 ). Also ist if in t0 differenzierbar mit (if )0 (t0 ) = if 0 (t0 ).
Wegen h · f = h1 · f + h2 · i · f ist daher auch h · f differenzierbar mit
(h · f )0 (t0 ) = (h1 · f )0 (t0 ) + (h2 · if )0 (t0 )
(benutze 37.3(iii), (i)). Da (h2 · if )0 (t0 ) = i(h2 · f )0 (t0 ) nach Vorüberlegung ist,
folgt die Formel für die Differenzierbarkeit, indem man 37.3(iii) auf h1 und h2
— an Stelle des dortigen h — anwendet.
(iv) Wegen h · f = h1 · f + h2 · (i · f ) sowie der Riemann-Integrierbarkeit von
h1 und h2 reicht es (wegen 38.6 und 38.4(i)) zu zeigen:
Mit f ist auch i · f Riemann-integrierbar.
Rb
Dies folgt mit 38.3, da aus S(f, Zj , ξ j ) → a f (x) dx die Konvergenz
Rb
S(if, Zj , ξ j ) = i S(f, Zj , ξ j ) −→ i a f (x) dx
(i)
folgt. Also gilt ferner auch:
Rb
a
if (x) dx = i
Rb
a
f (x) dx.
Hieraus folgt dann durch Zerlegung von λ = α + iβ in Real- und Imaginärteil
Rb
Rb
auch a λf (x) dx = λ a f (x) dx.
41.2
Stetigkeits-, Differenzierbarkeits- und Integrierbarkeitskriterien für Abbildungen in einen endlich-dimensionalen
C-Vektorraum
Seien W ein m-dimensionaler C-Vektorraum mit m ∈ N und (w1 , . . . , wm )
eine beliebige Basis von W. Sei f : D → W. Dann ist
P
f= m
j=1 fj wj mit eindeutig bestimmten Funktionen fj : D → C
und es gilt:
(i)
C1
Ist D Teilmenge eines pseudometrischen Raumes, so gilt:
f ist in p0 stetig ⇐⇒ f1 , . . . , fm sind in p0 stetig.
[41]–5
Kapitel X
Differentialgleichungssysteme und Differentialgleichungen n. Ordnung
(ii) Ist D ⊂ R, so gilt:
f ist in t0 differenzierbar ⇐⇒ f1 , . . . , fm sind in t0 differenzierbar.
Gilt eine dieser beiden äquivalenten Aussagen, so ist
P
0
f 0 (t0 ) = m
j=1 fj (t0 )wj .
Entsprechendes gilt auch für einseitige Differenzierbarkeit.
(iii) Ist D := [a, b], so gilt:
f : [a, b] → W ist Riemann-integrierbar
⇐⇒ f1 , . . . , fm : [a, b] → C sind Riemann-integrierbar.
Gilt eine dieser beiden äquivalenten Aussagen, so ist
Rb
Pm R b
j=1 ( a fj (x) dx)wj .
a f (x) dx =
Beweis. Da (w1 , . . . , wm ) eine Basis des C-Vektorraumes W bildet, ist nach einer der obigen einführenden Überlegungen (w1 , . . . , wm , iw1 , . . . , iwm ) eine Basis des R-Vektorraumes W. Zerlegt man fj : D → C in fj = fj1 + ifj2 mit
fj1 , fj2 : D → R, so folgen die Behauptungen wegen
P
f= m
j=1 (fj1 wj + fj2 (iwj ))
aus den Sätzen über R-Vektorräume:
(i) Nach 34.14 ist f stetig in p0 genau dann, wenn f11 , f12 , . . . , fm1 , fm2 stetig
in p0 sind. Letzteres ist aber wieder äquivalent zur Stetigkeit von f1 , . . . , fm
in p0 .
(ii) Nach 37.2 ist f in t0 differenzierbar genau dann, wenn f11 , f12 , . . . , fm1 , fm2
differenzierbar in t0 sind. Es gilt dann
P
Pm
0
0
0
0
f 0 (t0 ) = m
j=1 (fj1 (t0 )wj + fj2 (t0 )(iwj )) =
j=1 (fj1 (t0 ) + ifj2 (t0 ))wj .
Da fj genau dann in t0 differenzierbar ist, wenn fj1 , fj2 in t0 differenzierbar
sind, und weil dann
0 (t ) + i(f 0 (t ))
fj0 (t0 ) = fj1
0
j2 0
ist, folgt die Behauptung.
Für die einseitige Differenzierbarkeit siehe entsprechend 37.7.
(iii) Nach 38.5 ist f : [a, b] → W Riemann-integrierbar genau dann, wenn
f11 , f12 , . . . , fm1 , fm2 : [a, b] → R Riemann-integrierbar sind. Es gilt dann
Rb
Rb
Pm R b
j=1 ( a fj1 (x) dx)wj + ( a fj2 (x) dx)(iwj ))
a f (x) dx =
Rb
Pm R b
=
j=1 ( a fj1 (x) dx + i a fj2 (x) dx)wj .
Da fj genau dann über [a, b] Riemann-integrierbar ist, wenn fj1 und fj2 Riemann-integrierbar über [a, b] sind, und weil dann
Rb
Rb
Rb
a fj (x) dx = a fj1 (x) dx + i a fj2 (x) dx
ist, folgt die Behauptung.
[41]–6
C1
Normierte Räume über dem Körper der komplexen Zahlen
Die identische Abbildung von C in C bezeichnen wir mit z.
z : C → C ist stetig. Also ist auch jedes Polynom
P
P = nj=0 aj z j (wobei z 0 := 1)
(mit komplexen Koeffizienten aj ∈ C) stetig:
Nach 41.1(ii) ist zunächst z 2 = z · z und dann z 3 = z · z 2 und schließlich
z j : C → C für j ∈ N stetig. Dann sind — wiederum nach 41.1(ii) — zunächst
aj z j , und schließlich auch P stetig (benutze 33.36(i)).
Für α + iβ ∈ C (mit α, β ∈ R) definiert man
exp(α + iβ) := exp(α)(cos(β) + i sin(β)).
Ist die komplexe Zahl α + iβ reell, so ist β = 0 und wir erhalten
exp(α + i0) = exp(α)(cos(0) + i sin(0)) = exp(α).
Die neue Definition stimmt also für α + iβ ∈ R mit der alten überein.
Es ist exp(z) : C → C eine Funktion mit folgenden Eigenschaften:
41.3
Eigenschaften der komplexen Exponentialfunktion
Für α + iβ ∈ C (mit α, β ∈ R) ist exp(α + iβ) definiert durch
exp(α + iβ) := exp(α)(cos(β) + i sin(β))
Es gilt:
(i)
|exp(α + iβ)| = exp(α) > 0, also exp(α + iβ) 6= 0.
(ii) Für jedes ϕ ∈ R ist exp(iϕ) = cos(ϕ) + i sin(ϕ), also |exp(iϕ)| = 1.
(iii) exp(a + b) = exp(a) · exp(b) für alle a, b ∈ C.
(iv) exp(a + 2π i n) = exp(a) für alle n ∈ Z und a ∈ C.
Die Exponentialfunktion ist also periodisch mit der Periode 2πi.
(v) exp : C → C ist stetig.
(vi) Sei λ ∈ C. Dann ist R 3 t → exp(λt) ∈ C differenzierbar mit
(exp(λx))0 = λexp(λx).
An Stelle von exp(α + iβ) schreibt man auch wieder eα+iβ .
An Stelle der Funktion exp(z) : C → C schreibt man auch ez .
|exp(α + iβ)| = |exp(α)(cos(β) + i sin(β))|
Def.
p
= |exp(α)| · |cos(β) + isin(β)| = exp(α) · cos2 β + sin2 β = exp(α).
Beweis. (i)
(ii) Folgt wegen i ϕ = 0+i ϕ (mit 0, ϕ ∈ R) aus der Definition von exp(0+iϕ).
(iii) Seien a = a1 + ia2 , b = b1 + ib2 . Dann gilt:
(1)
C1
exp(a + b) = exp(a1 + b1 )(cos(a2 + b2 ) + i sin(a2 + b2 ))
= exp(a1 )exp(b1 )(cos(a2 )cos(b2 ) − sin(a2 )sin(b2 )
+isin(a2 )cos(b2 ) + icos(a2 )sin(b2 )),
[41]–7
Kapitel X
Differentialgleichungssysteme und Differentialgleichungen n. Ordnung
und somit
exp(a) · exp(b) = [exp(a1 )(cos(a2 ) + i sin(a2 )][exp(b1 ) (cos(b2 ) + i sin(b2 ))]
= exp(a1 )exp(b1 )·
i2 =−1
·(cos(a2 )cos(b2 )+i sin(a2 )cos(b2 )+icos(a2 )sin(b2 )−sin(a2 )sin(b2 ))
= exp(a + b).
(1)
(iv) Ist a = a1 + ia2 , so gilt:
exp(a+2πin) = exp(a1 +i(a2 +2πn)) = exp(a1 )(cos(a2 +2πn)+i sin(a2 +2πn))
= exp(a1 )(cos(a2 ) + isin(a2 )) = exp(a).
(v) Mit den stetigen Funktionen x, y : R2 = C → R gilt z = (x, y), also
exp(z) = exp(x)(cos(y) + i sin(y)) = (exp(x)cos(y), exp(x)sin(y)).
Hieraus folgt die Stetigkeit von exp(z) : R2 → R2 .
(vi) Mit λ = α + iβ ist f (t) := exp(λt) = exp(αt)(cos(βt) + i sin(βt)) für
t ∈ R. Also ist nach 37.2
f (t) = (exp(αt)cos(βt), exp(αt)sin(βt)) =: (f1 (t), f2 (t))
differenzierbar mit
f 0 (t) = (f10 (t), f20 (t)).
(1)
Die Behauptung folgt nun aus:
(2)
(3)
f10 (t) = αexp(αt)cos(βt) − βexp(αt)sin(βt)
f20 (t) = αexp(αt)sin(βt) + βexp(αt)cos(βt)
wegen
λexp(λt) = (α + iβ)exp(αt)(cos(βt) + i sin(βt))
= αexp(αt)cos(βt) − βexp(αt)sin(βt) + iαexp(αt)sin(βt) + iβexp(αt)cos(βt)
= f10 (t) + if20 (t) = f 0 (t).
(2),(3)
[41]–8
(1)
C1