Lehrstuhl für Wirtschafts

Lehrstuhl für Wirtschafts- und
Sozialstatistik
WS 2013/14
Übungen zur Vorlesung Statistische Inferenz
Blatt 3
Die Aufgaben werden in der Übung am Montag, dem 18.11.2013, 08:15 – 09:45 Uhr in
HS 1 (Carl-Zeiß-Str. 3) besprochen.
Aufgabe 10
Gegeben seien die dichotomen Zufallsvariablen X, Y und Z. Prüfen Sie, ob diese identisch
verteilt, austauschbar und/oder gemeinsam unabhängig sind.
a)
X=0
X =1
c)
X=0
X =1
Z=0
Y = 0 Y =1
1
1
/2
/16
1
1
/8
/16
Z =1
Y = 0 Y =1
1
1
/8
/16
1
0
/16
Z=0
Y = 0 Y =1
1
1
/2
/16
1
1
/8
/16
Z =1
Y = 0 Y =1
1
1
/8
/16
1
/16
0
b)
X=0
X =1
Z=0
Y = 0 Y =1
1
1
/2
/8
1
/8
0
Z =1
Y = 0 Y =1
1
/8
0
1
0
/8
Aufgabe 11 (aus Klausur WS 12/13)
Gegeben sind die Zufallsvariablen X, Y und Z mit den folgenden Verteilungen:
X ~ N(1,4), Y ~ Re[2, 8], Z ~ N(0,1).
Die Kovarianz zwischen X und Y beträgt 0,5. X und Z sind unabhängig.
Bestimmen Sie:
a) Var(2X+5)
b) E(3X+Y–1)
c) Var(X-2+Y)
d) corr(aX, 3X+1) mit a > 0
e) corr(3X, 2Z+1)
Aufgabe 12
Aus einer Urne mit einigen weißen und 2 schwarzen Kugeln werden 3 Kugeln ohne Zurücklegen entnommen. Die Wahrscheinlichkeit, beide schwarze Kugeln zu ziehen, ist 0,3. Die
Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen weißen Kugeln und die Zufallsvariable Y
die Anzahl der gezogenen schwarzen Kugeln an.
a) Wie viele weiße Kugeln befinden sich in der Urne?
b) Geben Sie die gemeinsame Verteilung von X und Y an.
c) Berechnen Sie die Varianzen, die Kovarianz und die Korrelation von
c1) X und Y .
c2) g (X) = 2X und h (Y) = 2 − Y .
d) Bestimmen Sie die bedingte Erwartung von g (X) gegeben Y.
Aufgabe 13
Eine Zufallsvariable X habe den Erwartungswert ½ und die Varianz ⅛.
a) Geben Sie für P(0 < X < 1) eine möglichst genaue Untergrenze an.
b) Eine faire Münze wird zweimal geworfen. X sei der Anteil der Würfe, bei denen die
Münze „Kopf“ zeigt. Bestimmen Sie P(0 < X < 1) .
c) Bestimmen Sie P(0 < X < 1) , wenn X normalverteilt ist.
Aufgabe 14
Aus der 10000 Einheiten umfassenden Produktion von Projektionslampen wurden 10 Einheiten durch Ziehen einer einfachen Stichprobe ausgewählt und deren Brenndauer (in Stunden)
festgestellt. Die Ergebnisse sind: 98, 102, 98, 94, 102, 97, 104, 103, 106, 96. Aus vergangenen Produktionsdurchläufen ist bekannt, dass die Varianz der Brenndauer σ2 =
15,5 beträgt.
a) Schätzen Sie die durchschnittliche Brenndauer der Projektionslampen der Produktion.
b) Schätzen Sie die Varianz der Schätzfunktion aus a).
c) Wie groß muss der Stichprobenumfang sein, damit die Standardabweichung der Schätzfunktion höchstens 0.9 ist?