Lehrstuhl für Wirtschafts

Lehrstuhl für Wirtschafts- und
Sozialstatistik
WS 2011/12
Übungen zur Vorlesung Statistische Inferenz
Blatt 2
Die Aufgaben werden in der Übung am Montag, dem 14.11.2011, 08:15 – 09:45 Uhr im
HS 4 (C.-Zeiß-Str. 3) besprochen.
Aufgabe 6
In einem Fernmeldesystem werden bei der Übertragung der Zeichen Punkt und Strich durch
Störungen im Mittel 9 % der gesendeten Punkte als Striche und 7 % der gesendeten Striche
als Punkte empfangen. Punkte und Striche werden im Verhältnis 1:2 gesendet.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein empfangenes Zeichen ein Punkt?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt gesendet wurde, falls ein Punkt empfangen wurde?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein übertragenes Zeichen sowohl beim Sender als
auch beim Empfänger ein Punkt?
Aufgabe 7 (in Anlehnung an Klausur WS 2009/10, Aufgabe 1)
Die zweidimensionale Zufallsvariable (X,Y) hat die folgende Dichtefunktion
 1 ⋅ (3 + 6 x − 2 y − 4 xy) für 0 ≤ x ≤ 1 ; 0 ≤ y ≤ 1
f XY ( x , y) =  4
sonst
0
a) Bestimmen Sie die Randdichten von X und Y.
b) Sind X und Y unabhängig und/oder unkorreliert?
c) Bestimmen Sie P(0,2 ≤ X ≤ 0,5 ; Y ≤ 0,5) und P(0,2 ≤ X ≤ 0,5 ; 1 ≤ Y ≤ 2) .
Aufgabe 8
Gegeben seien die dichotomen Zufallsvariablen X, Y und Z. Prüfen Sie, ob diese identisch
verteilt, austauschbar und/oder gemeinsam unabhängig sind, falls eine der folgenden gemeinsamen Verteilungen gilt:
a)
X=0
X =1
c)
X=0
X =1
Z=0
Y = 0 Y =1
1
1
/2
/16
1
1
/8
/16
Z =1
Y = 0 Y =1
1
1
/8
/16
1
0
/16
Z=0
Y = 0 Y =1
1
1
/2
/16
1
1
/8
/16
Z =1
Y = 0 Y =1
1
1
/8
/16
1
/16
0
b)
X=0
X =1
Z=0
Y = 0 Y =1
1
1
/2
/8
1
/8
0
Z =1
Y = 0 Y =1
1
/8
0
1
0
/8
Aufgabe 9
Aus einer Urne mit einigen weißen und 2 schwarzen Kugeln werden 3 Kugeln ohne Zurücklegen entnommen. Die Wahrscheinlichkeit, beide schwarze Kugeln zu ziehen, ist 0,3. Die
Zufallsvariable X gibt die Anzahl der gezogenen weißen Kugeln und die Zufallsvariable Y
die Anzahl der gezogenen schwarzen Kugeln an.
a) Wie viele weiße Kugeln befinden sich in der Urne?
b) Geben Sie die gemeinsame Verteilung von X und Y an.
c) Berechnen Sie die Varianzen, die Kovarianz und die Korrelation von
c1) X und Y .
c2) g (X) = 2X und h (Y) = 2 − Y .
d) Bestimmen Sie die bedingte Erwartung von g (X) gegeben Y.
Aufgabe 10
Eine Zufallsvariable X habe den Erwartungswert ½ und die Varianz ⅛.
a) Geben Sie für P(0 < X < 1) eine möglichst genaue Untergrenze an.
b) Eine faire Münze wird zweimal geworfen. X sei der Anteil der Würfe, bei denen die
Münze „Kopf“ zeigt. Bestimmen Sie P(0 < X < 1) .
c) Bestimmen Sie P(0 < X < 1) , wenn X normalverteilt ist.
Aufgabe 11
Die Zufallsvariable Y ist lognormalverteilt mit den Parametern µ = 1 und σ² = 14 .
a) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von Y.
b) Berechnen Sie P(Y < 5) und P(Y > e ) .